NumiSum

Hva er et matematisk bevis?

Et bevis er en kjede av begrunnede steg som fører fra noe vi ALLEREDE vet til påstanden vi vil vise. Hvert steg må følge av det forrige – ikke bare «virke rimelig». Forskjellen fra et eksempel er avgjørende: et eksempel viser at påstanden stemmer i ETT tilfelle, et bevis viser at den stemmer i ALLE. At 3+5=83 + 5 = 8 er et partall sier ingenting om alle andre par av oddetall; et bevis må bruke bokstaver, slik at det dekker hvert eneste tilfelle samtidig.

Partall

2n2n, der nn er et helt tall

Oddetall

2n+12n + 1, der nn er et helt tall

Eksempel, motbevis og bevis
TypeHva det viserNok til å konkludere?
Ett eksempelat det stemmer én gangnei
Hundre eksemplerat det stemmer hundre gangernei
Ett moteksempelat påstanden er usannja
Bevis med bokstaverat det stemmer alltidja

Tips

  • Skriv ned hva du VET øverst og hva du SKAL VISE nederst. Beviset er veien mellom dem, og da ser du med én gang om du er i ferd med å anta det du skulle vise.
  • Aldri bruk et konkret tall der påstanden gjelder alle tall. Bokstaven nn er det som gjør et argument til et bevis.

Eksempel: Fra eksempel til bevis

Påstand: summen av to oddetall er alltid et partall. Vis først at det stemmer for 33 og 55, og bevis så påstanden generelt.

Beviset steg for steg
StegBegrunnelse
2m + 1 og 2n + 1definisjon av oddetall
Summen: 2m + 2n + 2vanlig addisjon
2(m + n + 1)felles faktor 2
Partall2 gange et helt tall
Løsning:
  1. Vi sjekker tallene først: 3+5=83 + 5 = 8, som er et partall
  2. men det er bare ett tilfelle, og påstanden gjelder alle
  3. skriv derfor de to oddetallene generelt som 2m+12m + 1 og 2n+12n + 1
  4. summer dem: (2m+1)+(2n+1)=2m+2n+2(2m + 1) + (2n + 1) = 2m + 2n + 2
  5. sett 22 utenfor parentes: 2(m+n+1)2(m + n + 1)
  6. dette er 22 ganget med et helt tall, altså per definisjon et partall. Summen er alltid et partall.
Alternativ forklaring/metode: Se det som to ufullstendige par

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Visuelt bevis (klosser eller ruter)

Tegn hvert oddetall som par av klosser med ÉN kloss til overs. Legger du to slike figurer sammen, finner de to løse klossene hverandre og danner et nytt helt par – ingen blir til overs, og summen er derfor et partall. Argumentet er like gyldig som det algebraiske, og for mange er det her forståelsen faktisk slår inn. Det algebraiske beviset er likevel det som kreves skriftlig.

Den ene løse klossen fra hvert tall finner hverandre
Oddetall 1 (par + 1 løs)Oddetall 2 (par + 1 løs)Sum
3 = 1 par + 1 løs5 = 2 par + 1 løs8 = 4 hele par
7 = 3 par + 1 løs9 = 4 par + 1 løs16 = 8 hele par

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Er 3+5=83 + 5 = 8 et bevis for at summen av to oddetall er et partall?

Vis fasit
BeregningResultat
3 + 58 viser ett tilfelle
nei, det er bare et eksempel
  1. 3 + 5 = 8 viser ett tilfelle
  2. nei, det er bare et eksempel

L-12Hvordan skriver vi et vilkårlig partall med bokstaver?

Vis fasit
BeregningResultat
Et partall er 2 ganget med et helt tall
2n
  1. Et partall er 2 ganget med et helt tall
  2. 2n

L-13Hvordan skriver vi et vilkårlig oddetall med bokstaver?

Vis fasit
BeregningResultat
Et oddetall er et partall pluss 1
2n + 1
  1. Et oddetall er et partall pluss 1
  2. 2n + 1
Middels(3)

M-11Er 2(m+n+1)2(m + n + 1) et partall for alle hele mm og nn?

Vis fasit
BeregningResultat
2 gange (m + n + 1) er 2 gange et helt tall
ja, alltid et partall
  1. 2 gange (m + n + 1) er 2 gange et helt tall
  2. ja, alltid et partall

M-12Hvor mange eksempler trengs for å bevise en påstand om alle tall?

Vis fasit
BeregningResultat
Det finnes uendelig mange tall
ingen endelig mengde eksempler holder
  1. Det finnes uendelig mange tall
  2. ingen endelig mengde eksempler holder

M-13Hvor mange moteksempler trengs for å velte en påstand?

Vis fasit
BeregningResultat
Én sak som bryter påstanden gjør den usann
ett moteksempel
  1. Én sak som bryter påstanden gjør den usann
  2. ett moteksempel
Vanskelig(3)

V-11Hva er summen av to partall, 2m2m og 2n2n?

Vis fasit
BeregningResultat
2m + 2n
sett 2 utenfor parentes
2(m + n)
et partall
  1. 2m + 2n
  2. sett 2 utenfor parentes
  3. 2(m + n)
  4. et partall

V-12Hva blir 2m+(2n+1)2m + (2n + 1), altså partall pluss oddetall?

Vis fasit
BeregningResultat
2m + 2n + 1
2(m + n) + 1
formen 2k + 1
et oddetall
  1. 2m + 2n + 1
  2. 2(m + n) + 1
  3. formen 2k + 1
  4. et oddetall

V-13Hvorfor holder det ikke å bevise en påstand for n=1,2,3n = 1, 2, 3?

Vis fasit
BeregningResultat
n1, 2, 3 er tre tilfeller av uendelig mange
de resterende er ikke sjekket
  1. n = 1, 2, 3 er tre tilfeller av uendelig mange
  2. de resterende er ikke sjekket