Hva er et matematisk bevis?

Et bevis er en kjede av begrunnede steg som fører fra noe vi ALLEREDE vet til påstanden vi vil vise. Hvert steg må følge av det forrige, ikke bare «virke rimelig». Forskjellen fra et eksempel er avgjørende: et eksempel viser at påstanden stemmer i ETT tilfelle, et bevis viser at den stemmer i ALLE. At $3 + 5 = 8$ er et partall sier ingenting om alle andre par av oddetall; et bevis må bruke bokstaver, slik at det dekker hvert eneste tilfelle samtidig.

Partall

$2n$ , der $n$ er et helt tall

Oddetall

$2n + 1$ , der $n$ er et helt tall

Eksempel, motbevis og bevis
Type	Hva det viser	Nok til å konkludere?
Ett eksempel	at det stemmer én gang	nei
Hundre eksempler	at det stemmer hundre ganger	nei
Ett moteksempel	at påstanden er usann	ja
Bevis med bokstaver	at det stemmer alltid	ja

Tips

Skriv ned hva du VET øverst og hva du SKAL VISE nederst. Beviset er veien mellom dem, og da ser du med én gang om du er i ferd med å anta det du skulle vise.
Aldri bruk et konkret tall der påstanden gjelder alle tall. Bokstaven $n$ er det som gjør et argument til et bevis.

Eksempel: Fra eksempel til bevis

Påstand: summen av to oddetall er alltid et partall. Vis først at det stemmer for $3$ og $5$ , og bevis så påstanden generelt.

Løsning:

Vi sjekker tallene først: $3 + 5 = 8$ , som er et partall
men det er bare ett tilfelle, og påstanden gjelder alle
skriv derfor de to oddetallene generelt som $2m + 1$ og $2n + 1$
summer dem: $(2m + 1) + (2n + 1) = 2m + 2n + 2$
sett $2$ utenfor parentes: $2(m + n + 1)$
dette er $2$ ganget med et helt tall, altså per definisjon et partall. Summen er alltid et partall.

Beviset steg for steg
Steg	Begrunnelse
2m + 1 og 2n + 1	definisjon av oddetall
Summen: 2m + 2n + 2	vanlig addisjon
2(m + n + 1)	felles faktor 2
Partall	2 gange et helt tall

Alternativ forklaring/metode: Se det som to ufullstendige par

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Visuelt bevis (klosser eller ruter)

Tegn hvert oddetall som par av klosser med ÉN kloss til overs. Legger du to slike figurer sammen, finner de to løse klossene hverandre og danner et nytt helt par. Ingen blir til overs, og summen er derfor et partall. Argumentet er like gyldig som det algebraiske, og for mange er det her forståelsen faktisk slår inn. Det algebraiske beviset er likevel det som kreves skriftlig.

Den ene løse klossen fra hvert tall finner hverandre
Oddetall 1 (par + 1 løs)	Oddetall 2 (par + 1 løs)	Sum
3 = 1 par + 1 løs	5 = 2 par + 1 løs	8 = 4 hele par
7 = 3 par + 1 løs	9 = 4 par + 1 løs	16 = 8 hele par

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Er $3 + 5 = 8$ et bevis for at summen av to oddetall er et partall?

Vis fasit

3 + 5 = 8 viser ett tilfelle
nei, det er bare et eksempel

L-12Hvordan skriver vi et vilkårlig partall med bokstaver?

Vis fasit

Et partall er 2 ganget med et helt tall
2n

L-13Hvordan skriver vi et vilkårlig oddetall med bokstaver?

Vis fasit

Et oddetall er et partall pluss 1
2n + 1

Middels(3)

M-11Er

2(m + n + 1)

et partall for alle hele

m

n

Vis fasit

$2 \cdot (m + n + 1)$ er $2 \cdot$ et helt tall
ja, alltid et partall

M-12Hvor mange eksempler trengs for å bevise en påstand om alle tall?

Vis fasit

Det finnes uendelig mange tall
ingen endelig mengde eksempler holder

M-13Hvor mange moteksempler trengs for å velte en påstand?

Vis fasit

Én sak som bryter påstanden gjør den usann
ett moteksempel

Vanskelig(3)

V-11Hva er summen av to partall, $2m$ og $2n$ ?

Vis fasit

2m + 2n
sett 2 utenfor parentes
2(m + n)
et partall

V-12Hva blir $2m + (2n + 1)$ , altså partall pluss oddetall?

Vis fasit

2m + 2n + 1
2(m + n) + 1
formen 2k + 1
et oddetall

V-13Hvorfor holder det ikke å bevise en påstand for $n = 1, 2, 3$ ?

Vis fasit

n = 1, 2, 3 er tre tilfeller av uendelig mange
de resterende er ikke sjekket