NumiSum

Direkte bevis

I et direkte bevis starter du med forutsetningen og regner deg fram til konklusjonen i en ubrutt kjede. Oppskriften er alltid den samme: skriv det generelle tilfellet med bokstaver, bruk regnereglene du allerede har, og gjenkjenn formen du er ute etter til slutt. Her betaler faktoriseringen fra algebra seg: nesten alle direkte bevis om tall ender med at du setter en felles faktor utenfor parentes og leser av hva formen betyr.

Delelig med 3

3n3n, der nn er et helt tall

Kvadratsetning

(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Konjugatsetningen

(a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

5 5
Et kvadrat med side 5 har areal 25 – med side n blir arealet n², og det er slik et bevis går fra ett tall til alle

Tips

  • Slutt beviset med en setning som sier hva formen betyr: «dette er 22 ganget med et helt tall, altså et partall». Uten den setningen er beviset uferdig.
  • Bruk ULIKE bokstaver for tall som kan være forskjellige. Skriver du 2n+12n + 1 for begge oddetallene, har du i praksis bevist påstanden bare for to like tall.

Eksempel: Direkte bevis med kvadratsetningen

Bevis at differansen mellom kvadratet av et oddetall og 11 alltid er delelig med 88. Test først med 55.

Løsning:
  1. Vi tester tallet først: 52−1=25−1=245^2 - 1 = 25 - 1 = 24, og 24=8⋅324 = 8 \cdot 3
  2. skriv så oddetallet generelt som 2n+12n + 1
  3. kvadrer med kvadratsetningen: (2n+1)2=4n2+4n+1(2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1
  4. trekk fra 11: 4n2+4n4n^2 + 4n
  5. sett 4n4n utenfor parentes: 4n(n+1)4n(n + 1)
  6. av nn og n+1n + 1 er alltid én av dem et partall, så produktet n(n+1)n(n + 1) er delelig med 22
  7. dermed er 4n(n+1)4n(n + 1) delelig med 4⋅2=84 \cdot 2 = 8.
Test av påstanden
OddetallKvadrat minus 1Delelig med 8?
38ja
524ja
748ja
980ja
Alternativ forklaring/metode: Faktoriser før du ganger ut

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Faktorisering med konjugatsetningen

I stedet for å kvadrere (2n+1)2(2n + 1)^2 og så trekke fra 11, kan du se hele uttrykket som en differanse av to kvadrater: (2n+1)2−12=(2n+1+1)(2n+1−1)=(2n+2)(2n)(2n + 1)^2 - 1^2 = (2n + 1 + 1)(2n + 1 - 1) = (2n + 2)(2n). Det gir 4n(n+1)4n(n + 1) direkte, uten å gange ut noe som helst. Metoden krever at du gjenkjenner konjugatsetningen, men sparer et helt regnesteg, og gjenkjenning av form er nettopp det som gjør bevisføring lettere med trening.

Konjugatsetningen på (2n+1)² - 1
StegUttrykk
Differanse av kvadrater(2n+1)2−12(2n+1)^2-1^2
Konjugatsetningen(2n+1+1)(2n+1−1)(2n+1+1)(2n+1-1)
Forenkle(2n+2)(2n)(2n+2)(2n)
Faktoriser ut4n(n+1)4n(n+1)

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Hva starter du med i et direkte bevis?

Vis fasit
  1. Et direkte bevis går fra det gitte til konklusjonen
  2. start med forutsetningen

L-32Hva er (2n+1)2(2n + 1)^2 ganget ut?

Vis fasit
  1. (2n + 1)² med kvadratsetningen
  2. 4n² + 4n + 1
  3. 4n² + 4n + 1

L-33Hva blir 4n2+4n4n^2 + 4n faktorisert?

Vis fasit
  1. 4n² + 4n har felles faktor 4n
  2. 4n(n + 1)
Middels(3)

M-31Hvorfor er n(n+1)n(n + 1) alltid et partall?

Vis fasit
  1. Av n og n + 1 er alltid ett partall
  2. produktet inneholder faktoren 2
  3. alltid et partall

M-32Bevis at summen av tre påfølgende tall er delelig med 33.

Vis fasit
  1. 3 påfølgende tall: n, n + 1, n + 2
  2. summen er 3n + 3
  3. 3(n + 1), altså delelig med 3

M-33Er 72−17^2 - 1 delelig med 88?

Vis fasit
  1. 72−1=49−1=487^2 - 1 = 49 - 1 = 48
  2. 48:8=648 : 8 = 6
  3. ja
Vanskelig(3)

V-31Bevis at produktet av to påfølgende partall er delelig med 88.

Vis fasit
  1. Produktet skal vises delelig med 8
  2. to påfølgende partall er 2n og 2n + 2
  3. produktet 4n(n + 1)
  4. n(n + 1) er partall
  5. delelig med 8

V-32Hva er (a+b)(a−b)(a + b)(a - b)?

Vis fasit
  1. (a + b)(a - b) er konjugatsetningen
  2. a² - b²

V-33Hvorfor må du bruke 2m+12m + 1 og 2n+12n + 1, ikke 2n+12n + 1 to ganger?

Vis fasit
  1. 2n + 1 to ganger tvinger tallene til å være like
  2. bruk 2m + 1 og 2n + 1