Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal lage et program som regner ut summene $S_1$ til $S_{20}$, og bevise sammenhengen vi oppdager mellom $S_n$ og $n$ ved hjelp av figuren.

Strategi og formel: For a) bruker vi en løkke som legger sammen oddetallene $1, 3, 5, \ldots$ ett og ett, og skriver ut delsummen hver gang. For b) sammenligner vi de utregnede summene med kvadrattall, og bruker gnomon-figuren (et kvadrat bygget opp av L-formede rammer) til å bevise at mønsteret gjelder for ALLE $n$, ikke bare de vi har regnet ut.

Trinnvis utregning:

1. a) et program kan starte med sum $=0$, gå gjennom $n$ fra $1$ til $20$ i en løkke, legge til oddetallet $(2n-1)$ til sum for hver runde, og skrive ut sum
2. b) regn ut de første summene: $S_1=1=1^2$
3. $S_2=1+3=4=2^2$
4. $S_3=1+3+5=9=3^2$
5. $S_4=1+3+5+7=16=4^2$
6. mønsteret ser ut til å være $S_n=n^2$
7. figuren viser hvorfor: et kvadrat med side $n-1$ har $(n-1)^2$ prikker
8. for å bygge et kvadrat med side $n$ legges det til én rad og én kolonne, altså en L-formet ramme (et «gnomon») med $2n-1$ prikker
9. $2n-1$ er nettopp det $n$-te oddetallet
10. derfor: $(n-1)^2+(2n-1)=n^2-2n+1+2n-1=n^2$
11. sammenhengen $S_n=n^2$ stemmer for alle $n$

Svar: a) Programmet gir $S_1=1$, $S_2=4$, $S_3=9$, ..., $S_{20}=400$. b) Sammenhengen er $S_n=n^2$ – summen av de $n$ første oddetallene er alltid et kvadrattall.