Innsettingsmetoden

Idéen er å bli kvitt den ene ukjente. Løs den ene likningen med hensyn på én variabel, og sett dette uttrykket inn i den ANDRE likningen. Da står du igjen med én likning med bare én ukjent, som du løser på vanlig måte – og til slutt setter du svaret tilbake for å finne den andre variabelen.

Framgangsmåte

$y = \text{uttrykk i } x \Rightarrow \text{sett inn i likning 2}$

Tips

Velg den variabelen som er lettest å isolere – helst en som allerede står alene eller har koeffisient $1$ .
Husk det siste steget: når du har funnet den ene verdien, må du sette den tilbake for å finne den andre. Et likningssystem har ikke ett svar, men et tallPAR.

Eksempel: Løse med innsetting

Løs systemet $y = 4x - 3$ og $2x + y = 15$ .

Innsetting: fra likning til løsning
Steg	Uttrykk
Likning 1 gir y	y = 4x - 3
Sett 4x - 3 inn for y i likning 2	2x + (4x - 3) = 15
Samle x-leddene	6x - 3 = 15
Løs for x	x = 3

Løsning:

Vi har $y = 4x - 3$ og $2x + y = 15$ . Den første likningen sier at $y$ er det samme som (er lik) $4x - 3$ , så vi setter $4x - 3$ inn for $y$ i den andre
$2x + (4x - 3) = 15$
samle like ledd: $6x - 3 = 15$
legg til $3$ : $6x = 18$
del på $6$ : $x = 3$
sett $x = 3$ tilbake i $y = 4x - 3$ : $y = 4 \cdot 3 - 3 = 9$ . Løsningen er $x = 3$ og $y = 9$ .

Alternativ forklaring/metode: Sjekk alltid svaret i BEGGE likningene

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Kontroll ved innsetting i begge

Et tallpar som passer i den ene likningen er ikke nødvendigvis løsningen – det må passe i begge samtidig. Setter du $(3, 9)$ inn i $y = 4x - 3$ får du $9 = 9$ , og i $2x + y = 15$ får du $6 + 9 = 15$ . Begge stemmer, altså er det riktig. Denne kontrollen tar ti sekunder og avslører nesten alle regnefeil.

Sjekk (3, 9) i begge likningene
Likning	Innsetting	Stemmer?
$y=4x-3$	$9=4 \cdot 3-3$	ja
$2x+y=15$	$2 \cdot 3+9=15$	ja

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Løs $y = x + 3$ og $x + y = 7$ . Oppgi $x$ .

Vis fasit

y = x + 3 og x + y = 7
likning 1 sier at y er det samme som x + 3, så vi setter x + 3 inn for y i likning 2: x + (x + 3) = 7
2x + 3 = 7
2x = 4
x = 2

L-12Løs

y = 2x

x + y = 9

. Oppgi

x

Vis fasit

y = 2x og x + y = 9
likning 1 sier at y er det samme som 2x, så vi setter 2x inn for y i likning 2: x + 2x = 9
3x = 9
x = 3

L-13I systemet over (

y = 2x

x + y = 9

): hva er

y

Vis fasit

x = 3 er allerede funnet
sett x = 3 tilbake i den første likningen, y = 2x: y = 2 · 3 = 6

Middels(3)

M-11Løs

y = 3x - 2

2x + y = 8

. Oppgi

x

Vis fasit

y = 3x - 2 og 2x + y = 8
likning 1 sier at y er det samme som 3x - 2, så vi setter 3x - 2 inn for y i likning 2: 2x + (3x - 2) = 8
5x - 2 = 8
5x = 10
x = 2

M-12Løs

x = y + 4

2x + y = 14

. Oppgi

y

Vis fasit

x = y + 4 og 2x + y = 14
likning 1 sier at x er det samme som y + 4, så vi setter y + 4 inn for x i likning 2: 2(y + 4) + y = 14
2y + 8 + y = 14
3y = 6
y = 2

M-13Løs

y = 5 - x

3x + 2y = 12

. Oppgi

x

Vis fasit

y = 5 - x og 3x + 2y = 12
likning 1 sier at y er det samme som 5 - x, så vi setter 5 - x inn for y i likning 2: 3x + 2(5 - x) = 12
3x + 10 - 2x = 12
x = 2

Vanskelig(3)

V-11Løs

2x + y = 7

x - y = 2

med innsetting. Oppgi

x

Vis fasit

2x + y = 7 og x - y = 2
likning 2 løses med hensyn på y: y = x - 2
vi setter x - 2 inn for y i likning 1: 2x + (x - 2) = 7
3x = 9
x = 3

V-12Hvorfor holder det ikke å sjekke svaret i bare én av likningene?

Vis fasit

Én likning med to ukjente har uendelig mange løsninger
bare tallpar som passer i BEGGE likningene er løsningen på systemet
fordi løsningen må gjelde begge samtidig

V-13Løs

y = 4 - 2x

4x + 2y = 8

. Hva skjer?

Vis fasit

y = 4 - 2x og 4x + 2y = 8
likning 1 sier at y er det samme som 4 - 2x, så vi setter 4 - 2x inn for y i likning 2: 4x + 2(4 - 2x) = 8
4x + 8 - 4x = 8
8 = 8
alltid sant, uansett hvilken x du velger
uendelig mange løsninger – likningene er like