NumiSum

Grafisk løsning

Hver lineær likning med to ukjente kan tegnes som en rett linje. Løsningen på systemet er punktet der linjene KRYSSER hverandre, der gjelder begge likningene samtidig. Metoden viser tydelig hvorfor et system kan ha én løsning (linjene krysser), ingen (parallelle linjer) eller uendelig mange (samme linje).

Tips

  • Skriv begge likningene på formen y=ax+by = ax + b før du tegner. Da er stigningstall og konstantledd lette å lese av.
  • Grafisk løsning gir ofte et omtrentlig svar. Bruk den til å forstå og til å kontrollere, men regn nøyaktig med innsetting eller addisjon.
  • Du kan tegne linjene for hånd på papir, eller i et digitalt verktøy som GeoGebra eller Desmos: skriv inn begge likningene, og skjæringspunktet leses av eksakt med én gang. Særlig nyttig når tallene ikke er «pene». På eksamen del 2 er det digitale verktøyet en fullt lovlig og ofte forventet framgangsmåte: husk å ta med et skjermbilde eller forklare hva du gjorde.
  • Løs i CAS. Løs({y=x+2, y=-x+6},{x,y}) gir løsningen x=2x = 2 og y=4y = 4, altså skjæringspunktet mellom de to linjene. Bruk det som kontroll av avlesningen i grafen.

Eksempel: Finne skjæringspunktet

Løs y=2x+1y = 2x + 1 og y=−x+7y = -x + 7 grafisk.

xy-112345510(0, 1)+1+2(0, 7)+1-1(2, 5)
y = 2x + 1 og y = -x + 7

Skjæringspunkt: x = 2, y = 5

Løsning:
  1. Likningene y=2x+1y = 2x + 1 og y=−x+7y = -x + 7 står allerede på formen y=ax+by = ax + b
  2. den første linja har stigningstall 22 og skjærer yy-aksen i 11
  3. den andre har stigningstall −1-1 og skjærer i 77
  4. tegner vi begge, krysser de hverandre ett sted. Vi kontrollerer med regning: 2x+1=−x+72x + 1 = -x + 7
  5. 3x=63x = 6
  6. x=2x = 2, og da er y=2⋅2+1=5y = 2 \cdot 2 + 1 = 5. Skjæringspunktet er (2,5)(2, 5).

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-51Hva kalles punktet der to linjer møtes?

Vis fasit
  1. Der begge likningene gjelder samtidig
  2. skjæringspunktet
Punktet der linjene møtes
BetingelseNavn
Begge likninger gjelderskjæringspunktet

L-52Hvor mange løsninger har et system der linjene er parallelle?

Vis fasit
  1. Parallelle linjer møtes aldri
  2. ingen løsning
Antall løsninger, parallelle linjer
LinjerLøsninger
Parallelle0

L-53Hva er stigningstallet til y=3x−4y = 3x - 4?

Vis fasit
  1. y = 3x - 4 har formen y = ax + b
  2. a er tallet foran x
  3. 3
Stigningstall for y=3x-4
FormStigningstall
y=ax+ba=3
Middels(3)

M-51Finn skjæringspunktet mellom y=x+2y = x + 2 og y=−x+6y = -x + 6. Oppgi xx.

Vis fasit
  1. Sett like: x + 2 = -x + 6
  2. 2x = 4
  3. x = 2
Skjæring: y=x+2, y=-x+6
StegVerdi
2x4
x2

M-52Finn skjæringspunktet mellom y=x+2y = x + 2 og y=−x+6y = -x + 6. Oppgi yy.

Vis fasit
  1. x = 2 settes inn i y = x + 2
  2. y = 4
Finn y når x=2
StegVerdi
y=2+24

M-53Hvor mange løsninger har systemet y=2x+1y = 2x + 1 og y=2x+5y = 2x + 5?

Vis fasit
  1. Samme stigningstall 2, ulikt konstantledd
  2. parallelle linjer
  3. ingen løsning
y=2x+1 og y=2x+5
LinjeStigningstall
Begge2, parallelle, ingen løsning
Vanskelig(3)

V-51Hvor mange løsninger har y=3x+2y = 3x + 2 og 2y=6x+42y = 6x + 4?

Vis fasit
  1. Del den andre likningen på 2
  2. 2y = 6x + 4 blir y = 3x + 2
  3. nøyaktig samme linje som den første
  4. uendelig mange løsninger

V-52Skriv 2x+y=62x + y = 6 på formen y=ax+by = ax + b.

Vis fasit
  1. 2x + y = 6
  2. trekk fra 2x på begge sider
  3. y = -2x + 6
Skriv 2x+y=6 på formen y=ax+b
StegVerdi
Trekk fra 2xy=-2x+6

V-53Hvordan ser du på likningene at et system ikke har løsning?

Vis fasit
  1. Like a-verdier (stigningstall) gir parallelle linjer; ulik b (konstantledd) betyr at de ikke er nøyaktig samme linje
  2. parallelle, ikke-identiske linjer møtes aldri
  3. samme stigningstall, men ulikt konstantledd