NumiSum

Grafisk løsning

Hver lineær likning med to ukjente kan tegnes som en rett linje. Løsningen på systemet er punktet der linjene KRYSSER hverandre – der gjelder begge likningene samtidig. Metoden viser tydelig hvorfor et system kan ha én løsning (linjene krysser), ingen (parallelle linjer) eller uendelig mange (samme linje).

Tips

  • Skriv begge likningene på formen y=ax+by = ax + b før du tegner – da er stigningstall og konstantledd lette å lese av.
  • Grafisk løsning gir ofte et omtrentlig svar. Bruk den til å forstå og til å kontrollere, men regn nøyaktig med innsetting eller addisjon.
  • Du kan tegne linjene for hånd på papir, eller i et digitalt verktøy som GeoGebra eller Desmos – skriv inn begge likningene, og skjæringspunktet leses av eksakt med én gang. Særlig nyttig når tallene ikke er «pene». På eksamen del 2 er det digitale verktøyet en fullt lovlig og ofte forventet framgangsmåte – husk å ta med et skjermbilde eller forklare hva du gjorde.

Eksempel: Finne skjæringspunktet

Løs y=2x+1y = 2x + 1 og y=−x+7y = -x + 7 grafisk.

xy-112345510(0, 1)+1+2(0, 7)+1-1(2, 5)
y = 2x + 1 og y = -x + 7

Skjæringspunkt: x = 2, y = 5

Løsning:
  1. Likningene y=2x+1y = 2x + 1 og y=−x+7y = -x + 7 står allerede på formen y=ax+by = ax + b
  2. den første linja har stigningstall 22 og skjærer yy-aksen i 11
  3. den andre har stigningstall −1-1 og skjærer i 77
  4. tegner vi begge, krysser de hverandre ett sted. Vi kontrollerer med regning: 2x+1=−x+72x + 1 = -x + 7
  5. 3x=63x = 6
  6. x=2x = 2, og da er y=2⋅2+1=5y = 2 \cdot 2 + 1 = 5. Skjæringspunktet er (2,5)(2, 5).

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-41Hva kalles punktet der to linjer møtes?

Vis fasit
Punktet der linjene møtes
BetingelseNavn
Begge likninger gjelderskjæringspunktet
  1. Der begge likningene gjelder samtidig
  2. skjæringspunktet

L-42Hvor mange løsninger har et system der linjene er parallelle?

Vis fasit
Antall løsninger, parallelle linjer
LinjerLøsninger
Parallelle0
  1. Parallelle linjer møtes aldri
  2. ingen løsning

L-43Hva er stigningstallet til y=3x−4y = 3x - 4?

Vis fasit
Stigningstall for y=3x-4
FormStigningstall
y=ax+ba=3
  1. y = 3x - 4 har formen y = ax + b
  2. a er tallet foran x
  3. 3
Middels(3)

M-41Finn skjæringspunktet mellom y=x+2y = x + 2 og y=−x+6y = -x + 6. Oppgi xx.

Vis fasit
Skjæring: y=x+2, y=-x+6
StegVerdi
2x4
x2
  1. Sett like: x + 2 = -x + 6
  2. 2x = 4
  3. x = 2

M-42I oppgaven over: hva er yy i skjæringspunktet?

Vis fasit
Finn y når x=2
StegVerdi
y=2+24
  1. x = 2 settes inn i y = x + 2
  2. y = 4

M-43Hvor mange løsninger har systemet y=2x+1y = 2x + 1 og y=2x+5y = 2x + 5?

Vis fasit
y=2x+1 og y=2x+5
LinjeStigningstall
Begge2, parallelle, ingen løsning
  1. Samme stigningstall 2, ulikt konstantledd
  2. parallelle linjer
  3. ingen løsning
Vanskelig(3)

V-41Hvor mange løsninger har y=3x+2y = 3x + 2 og 2y=6x+42y = 6x + 4?

Vis fasit
  1. Del den andre likningen på 2
  2. 2y = 6x + 4 blir y = 3x + 2
  3. nøyaktig samme linje som den første
  4. uendelig mange løsninger

V-42Skriv 2x+y=62x + y = 6 på formen y=ax+by = ax + b.

Vis fasit
Skriv 2x+y=6 på formen y=ax+b
StegVerdi
Trekk fra 2xy=-2x+6
  1. 2x + y = 6
  2. trekk fra 2x på begge sider
  3. y = -2x + 6

V-43Hvordan ser du på likningene at et system ikke har løsning?

Vis fasit
  1. Like a-verdier (stigningstall) gir parallelle linjer; ulik b (konstantledd) betyr at de ikke er nøyaktig samme linje
  2. parallelle, ikke-identiske linjer møtes aldri
  3. samme stigningstall, men ulikt konstantledd