Addisjonsmetoden

Still først opp de to likningene i en tabell eller et ruteark med samme type ledd over hverandre – x-ledd under x-ledd, y-ledd under y-ledd, tall alene under tall alene. Da ser du lett hvilken variabel som er klar til å elimineres. Her legger du de to likningene sammen ELLER trekker dem fra hverandre, slik at den ene ukjente forsvinner av seg selv. Har variabelen MOTSATT fortegn i de to likningene (som $+y$ og $-y$ ), LEGGER du sammen. Har den SAMME fortegn (som $+y$ og $+y$ ), TREKKER du fra. Begge deler er addisjonsmetoden – ikke to ulike metoder. I begge tilfeller kreves det at koeffisienten foran variabelen har samme TALLVERDI i begge likningene – er den ikke det, ganger du opp en av likningene først til den blir det.

Framgangsmåte

$\text{gang opp} \Rightarrow \text{legg sammen ELLER trekk fra} \Rightarrow \text{én ukjent}$

Tips

Se etter en variabel med samme TALLVERDI (koeffisient) i begge likningene: har den MOTSATT fortegn, legger du likningene sammen; har den SAMME fortegn, trekker du dem fra hverandre. Er tallverdien ulik i de to likningene, må du gange opp én av dem først – motsatt fortegn alene er ikke nok.
Ganger du opp en likning, må HELE likningen ganges, også høyresiden. Å glemme det er den vanligste feilen i denne metoden.

Eksempel: Løse med addisjon

Løs systemet $2x + y = 11$ og $x - y = 1$ .

Addisjon av de to likningene
	x-ledd	y-ledd	=
Likning 1	2x	+y	11
Likning 2	+x	-y	1
Sum (likn.1+likn.2)	3x	0	12

Løsning:

Vi ser at $y$ har koeffisient $+1$ i den første og $-1$ i den andre
de er allerede motsatte, så vi legger likningene rett sammen: $(2x + y) + (x - y) = 11 + 1$
$y$ -leddene kansellerer: $3x = 12$
del på $3$ : $x = 4$
sett $x = 4$ inn i $x - y = 1$ : $4 - y = 1$ , altså $y = 3$ . Løsningen er $x = 4$ og $y = 3$ .

Eksempel 2: Løse med subtraksjon

Løs systemet $4x + y = 15$ og $x + y = 6$ .

Subtraksjon av de to likningene
	x-ledd	y-ledd	=
Likning 1	4x	+y	15
Likning 2	-x	-y	-6
Differanse (likn.1-likn.2)	3x	0	9

Løsning:

Vi ser at $y$ har koeffisient $+1$ i BEGGE likningene
samme fortegn, så denne gangen TREKKER vi den andre likningen fra den første i stedet for å legge sammen: $(4x + y) - (x + y) = 15 - 6$
$y$ -leddene kansellerer: $3x = 9$
del på $3$ : $x = 3$
sett $x = 3$ inn i $x + y = 6$ : $3 + y = 6$ , altså $y = 3$ . Løsningen er $x = 3$ og $y = 3$ .

Alternativ forklaring/metode: Regn ut med determinanter i stedet for å eliminere

Tilleggsinformasjon – ikke pensum på dette nivået

Determinanter / Cramers regel (Gabriel Cramer, 1 750)

Forutsetninger:

Metoden står IKKE i læreplanen for 1T og forventes ikke på eksamen. Den er tatt med fordi den viser en fin, generell sammenheng, ikke fordi du må kunne den – addisjon/subtraksjon over er hovedmetoden.

For et likningssett $ax+by=e$ og $cx+dy=f$ finnes en fast formel: regn ut determinanten $D=ad-bc$ for koeffisientene, og bytt ut én kolonne av gangen med tallene på høyresiden for å finne $D_x$ og $D_y$ . Da er $x=\frac{D_x}{D}$ og $y=\frac{D_y}{D}$ – en mekanisk snarvei uten å eliminere noen variabel underveis. For $2x+y=11$ og $x-y=1$ : $D=2 \cdot (-1)-1 \cdot 1=-3$ , $D_x=11 \cdot (-1)-1 \cdot 1=-12$ gir $x=\frac{-12}{-3}=4$ , og $D_y=2 \cdot 1-11 \cdot 1=-9$ gir $y=\frac{-9}{-3}=3$ – samme svar som addisjonsmetoden.

Cramers regel for 2x+y=11, x-y=1
Determinant	Utregning	Verdi
$D$ (koeffisienter)	$2 \cdot (-1)-1 \cdot 1$	-3
$D_x$ (x-kolonnen byttet ut)	$11 \cdot (-1)-1 \cdot 1$	-12
$D_y$ (y-kolonnen byttet ut)	$2 \cdot 1-11 \cdot 1$	-9
$x=D_x \div D$	$\frac{-12}{-3}$	4
$y=D_y \div D$	$\frac{-9}{-3}$	3

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Løs $x + y = 8$ og $x - y = 2$ . Oppgi $x$ .

Vis fasit

Addisjon: x+y=8, x-y=2
Steg	Verdi
2x	10
x	5

Legg sammen: 2x = 10
x = 5

L-22I systemet over (

x + y = 8

x - y = 2

): hva er

y

Vis fasit

Finn y når x=5
Steg	Verdi
5+y=8	y=3

x = 5 settes inn i x + y = 8
5 + y = 8
y = 3

L-23Løs

2x + y = 9

x - y = 0

. Oppgi

x

Vis fasit

Addisjon: 2x+y=9, x-y=0
Steg	Verdi
3x	9
x	3

Legg sammen: 3x = 9
x = 3

Middels(3)

M-21Løs

3x + y = 10

x + y = 6

. Oppgi

x

Vis fasit

Subtraksjon av de to likningene
	x-ledd	y-ledd	=
Likning 1	3x	+y	10
Likning 2	-x	-y	-6
Differanse (likn.1-likn.2)	2x	0	4

3x + y = 10 og x + y = 6
y har SAMME fortegn i begge (+y), så trekk likning 2 fra likning 1: (3x + y) - (x + y) = 10 - 6
2x = 4
x = 2

M-22Løs

2x + 3y = 13

2x - y = 5

. Oppgi

y

Vis fasit

Subtraksjon: 2x+3y=13, 2x-y=5
Steg	Verdi
4y	8
y	2

Trekk fra: (2x + 3y) - (2x - y) = 13 - 5
4y = 8
y = 2

M-23Hva må

x + 2y = 5

ganges med for at

y

-leddet skal kansellere mot

3x - 4y = 1

Vis fasit

Finn multiplikator for y
Ledd	Faktor
2y → 4y	2

2y må bli 4y for å kansellere mot -4y
gang hele likningen med 2

Vanskelig(3)

V-21Løs

x + 2y = 5

3x - 4y = 1

. Oppgi

x

Vis fasit

Addisjon etter gange opp
Steg	Verdi
2x+4y	10
5x	11, x=2,2

Gang første med 2: 2x + 4y = 10
legg sammen med 3x - 4y = 1
5x = 11
x = 2,2

V-22Løs

2x + 3y = 12

4x - 3y = 6

. Oppgi

x

Vis fasit

Addisjon: 2x+3y=12, 4x-3y=6
Steg	Verdi
6x	18
x	3

2x + 3y = 12 og 4x - 3y = 6
y har motsatt fortegn, så legg sammen: 6x = 18
x = 3

V-23En elev ganger

x + y = 4

med 3 og skriver

3x + 3y = 4

. Hva er feil?

Vis fasit

Gange en likning med 3
Side	Ganges
Venstre (x+y)	3x+3y
Høyre (4)	12

x + y = 4 ganget med 3
hele likningen må ganges, ikke bare venstresiden
3x + 3y = 12