Eksamensoppgaver – Likhet og likevekt (8. trinn)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2009, Del 1 – Oppgave 6

Uten hjelpemidler – 1 poeng

Løs ligningen $6x + 2 = 9x - 13$ .

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne verdien av $x$ som gjør ligningen sann.

Strategi og formel: Vi samler alle $x$ -ledd på én side og alle konstantledd på den andre siden, og løser deretter for $x$ som vanlig.

Trinnvis utregning:

$6x + 2 = 9x - 13$
flytt $6x$ over til høyre (trekk fra $6x$ på begge sider): $2 = 3x - 13$
flytt $-13$ over til venstre (legg til 13 på begge sider): $15 = 3x$
del på 3: $x = 5$

Svar: $x = 5$

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Kommer fram til $x = 5$ med vist mellomregning (flytting av ledd på begge sider).
0/1	Feil svar, eller kun et gjettet/uteregnet svar uten vist fremgangsmåte.

Sensor-tips

En vanlig feil er å bytte fortegn feil vei når et ledd flyttes over likhetstegnet – vis gjerne mellomregningen med ett flyttet ledd om gangen for å unngå dette.
Sjekk svaret ved å sette $x=5$ inn i BEGGE sider av den opprinnelige ligningen: venstre side $6\cdot5+2=32$ , høyre side $9\cdot5-13=32$ – like, så svaret stemmer.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2009, Del 1, Oppgave 6

Utdanningsdirektoratet

Vår 2015, Del 1 – Oppgave 11

Uten hjelpemidler – 1 poeng

Marius er halvparten så gammel som Gabriel. Andreas er tre år eldre enn Gabriel. Til sammen er de tre guttene 53 år.

Lag en likning, og bruk denne til å regne ut hvor gammel hver av guttene er.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne alderen til Marius, Gabriel og Andreas.

Strategi og formel: Vi lar $x$ være Gabriels alder, siden de to andre aldrene er beskrevet i forhold til ham. Marius blir da $\frac{x}{2}$ og Andreas blir $x+3$ . Summen av alle tre skal være 53, som gir ligningen $\frac{x}{2} + x + (x+3) = 53$ .

Trinnvis utregning:

$\frac{x}{2} + x + (x+3) = 53$
gang hele ligningen med 2 for å bli kvitt brøken: $x + 2x + 2(x+3) = 106$
gang ut parentesen: $x + 2x + 2x + 6 = 106$
samle like ledd: $5x + 6 = 106$
trekk fra 6: $5x = 100$
del på 5: $x = 20$
Gabriel er 20 år, Marius er $20:2=10$ år, Andreas er $20+3=23$ år

Svar: Gabriel er 20 år, Marius er 10 år, og Andreas er 23 år

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Setter opp en riktig likning ut fra teksten og finner riktig alder for alle tre guttene (Marius 10, Gabriel 20, Andreas 23), med sjekk av at summen blir 53.
0/1	Feil likning, feil svar, eller kun gjettede aldre uten vist likning.

Sensor-tips

Den vanligste feilen er å la $x$ være Marius sin alder i stedet for Gabriels – siden BÅDE Marius og Andreas er beskrevet ut fra Gabriel, blir likningen enklest når $x$ er Gabriels alder.
Sjekk til slutt at summen av de tre alderne faktisk blir 53 – det er den opprinnelige betingelsen i teksten, ikke bare et sjekkpunkt for selve likningen.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2015, Del 1, Oppgave 11