Modellere en situasjon med en ligning

Å modellere med en ligning er en full syklus: LES situasjonen, SETT OPP en ligning med en variabel for det ukjente, LØS ligningen, og TOLK svaret tilbake i den opprinnelige sammenhengen.

Tips

Skriv gjerne et lite «forklar variabelen»-steg først: «la $x$ = antall år Kari er nå» – det gjør resten av modelleringen mye lettere å følge, også for deg selv.
Etter at du har løst ligningen, still spørsmålet «gir dette svaret mening i situasjonen?» – en lengde kan ikke være negativ, en alder må være et rimelig tall, osv.

Eksempel: Omkrets av et rektangel

Et rektangel har lengde $x$ og bredde 4 cm mindre enn lengden. Omkretsen er 40 cm. Finn lengden.

Løse 2x + 2(x - 4) = 40
Steg	Ligning
Gang ut parentesen	4x - 8 = 40
Legg til 8	4x = 48
Del på 4	x = 12

Løsning:

Vi setter opp: bredden er $x - 4$ , og omkretsen er to lengder pluss to bredder: $2x + 2(x - 4) = 40$
gang ut parentesen: $2x + 2x - 8 = 40$
samle x-ledd: $4x - 8 = 40$
legg til 8: $4x = 48$
del på 4: $x = 12$ . Svaret er lengde $= 12$ cm. Sjekk: bredde $= 8$ cm, omkrets $= 2 \cdot 12 + 2 \cdot 8 = 24 + 16 = 40$ ✓.

Alternativ forklaring/metode: Gjett en fornuftig lengde og juster

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Prøve og feile med et overslag

Oppgaven er: et rektangel har lengde $x$ og bredde 4 cm mindre enn lengden, og omkretsen er 40 cm – finn lengden. I stedet for å sette opp en ligning kan du prøve en fornuftig verdi for lengden, f.eks. 10 cm: bredde blir $10 - 4 = 6$ cm, omkrets $2 \cdot 10 + 2 \cdot 6 = 32$ cm (for lite, må øke) → prøv 12 cm: bredde $8$ cm, omkrets $24 + 16 = 40$ cm ✓. Denne metoden fungerer, men den algebraiske løsningen gir svaret direkte uten å måtte gjette flere ganger.

Gjett lengde	Omkrets
10 cm	32 cm (for lite)
12 cm	40 cm, riktig

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Summen av to tall er 30. Det ene tallet er $x$ , det andre er 8 mer enn $x$ . Sett opp og løs ligningen $x + (x + 8) = 30$ .

Vis fasit

Steg	Ligning
2x + 8 = 30	2x = 22
Del på 2	x = 11

2x + 8 = 30
2x = 22
x = 11

L-32Et rektangel har lengde

x

og bredde 3 cm. Omkretsen er 26 cm. Sett opp og løs ligningen

2x + 6 = 26

Vis fasit

Steg	Ligning
2x + 6 = 26	2x = 20
Del på 2	x = 10

2x + 6 = 26
2x = 20
x = 10

L-33Kari er

x

år. Om 5 år er hun 17 år. Sett opp og løs ligningen

x + 5 = 17

Vis fasit

Steg	Ligning
x = 17 - 5	12

x + 5 = 17
x = 12

Middels(3)

M-31Et rektangel har lengde

x

og bredde 5 cm mindre enn lengden. Omkretsen er 50 cm. Finn lengden.

Vis fasit

Steg	Ligning
Gang ut parentesen	4x - 10 = 50
Legg til 10	4x = 60
Del på 4	x = 15

2x + 2(x-5) = 50
4x - 10 = 50
4x = 60
x = 15

M-32Tre søsken deler 900 kr slik at den eldste får dobbelt så mye som hver av de to yngste, som får like mye. Sett opp og løs ligningen

x + x + 2x = 900

Vis fasit

Steg	Ligning
4x = 900	x = 225

4x = 900
x = 225

M-33En sum penger deles mellom to personer slik at den ene får 3 ganger så mye som den andre. Til sammen har de 800 kr. Sett opp og løs ligningen

x + 3x = 800

Vis fasit

Steg	Ligning
4x = 800	x = 200

4x = 800
x = 200

Vanskelig(3)

V-31Et rektangel har omkrets 60 cm og bredde 8 cm mindre enn lengden. Finn både lengde og bredde.

Vis fasit

Steg	Ligning
Gang ut parentesen	4x - 16 = 60
Legg til 16	4x = 76
Lengde x	19, bredde 11

2x + 2(x-8) = 60
4x - 16 = 60
4x = 76
x = 19, bredde = 19-8 = 11

V-32Faren er 3 ganger så gammel som sønnen. Til sammen er de 52 år. Sett opp og løs ligningen

x + 3x = 52

, og finn begges alder.

Vis fasit

Steg	Ligning
4x = 52	x = 13 (sønnen)
Far (3*13)	39

4x = 52
x = 13 (sønnen), far = 3*13 = 39

V-33En elev setter opp ligningen

x + (x+8) = 30

for oppgaven «summen av to tall er 30, det andre er 8 mer enn det første», men glemmer parentesen og skriver

x + x + 8 = 30

uten parentes rundt (x+8). Gir dette samme svar?

Vis fasit

Steg	Ligning
Med parentes	x + (x+8)
Uten parentes	x + x + 8
Konklusjon	Samme, ja

Plusstegn foran en parentes endrer ingenting når parentesen fjernes: x+(x+8) = x+x+8
ja, samme ligning og samme svar