Stokastiske forsøk og stokastiske variabler

Et STOKASTISK FORSØK er et forsøk med et tilfeldig utfall (et myntkast, et terningkast). En STOKASTISK VARIABEL $X$ er en funksjon som knytter ETT TALL til hvert utfall av forsøket – for eksempel «antall kron» eller «gevinstbeløp». FORVENTNINGSVERDIEN $E(X)$ er gjennomsnittsverdien du kan forvente over MANGE gjentakelser av forsøket, regnet ut som summen av hver verdi ganget med sannsynligheten for den.

Forventningsverdi

$E(X) = \sum x \cdot P(X = x)$

Stokastisk variabel for et terningkast
Verdi x	P(X = x)
1, 2, 3, 4, 5, 6	$\frac{1}{6}$ hver
Forventningsverdi	3,5

Tips

Forventningsverdien trenger IKKE være en mulig verdi av $X$ selv – et terningkast kan aldri gi $3,5$ øyne, men det er likevel gjennomsnittet over mange kast.
Digitale verktøy (som en tilfeldig tallgenerator i et regneark) kan SIMULERE et stokastisk forsøk mange ganger, og gi et anslag på sannsynligheter og forventningsverdier som stemmer godt med de teoretiske.

Eksempel: Forventningsverdien til et enkelt lotteri

Et lotteri gir $100$ kr i gevinst med sannsynlighet $0,1$ , og ingenting ellers. Definer den stokastiske variabelen $X$ = gevinstbeløp, og finn forventningsverdien $E(X)$ .

Fra utfall til forventningsverdi
Verdi x	P(X = x)	x · P(X = x)
100 kr	0,1	10
0 kr	0,9	0
Sum (E(X))		10 kr

Løsning:

Den stokastiske variabelen $X$ kan ta to verdier: $X = 100$ med sannsynlighet $0,1$ , eller $X = 0$ med sannsynlighet $0,9$ (siden sannsynlighetene må summere til $1$ )
forventningsverdien er summen av hver verdi ganget med sin sannsynlighet: $E(X) = 100 \cdot 0,1 + 0 \cdot 0,9 = 10 + 0$ . Forventningsverdien er $10$ kr – den gjennomsnittlige gevinsten per lodd, over mange lodd.

Alternativ forklaring/metode: Bruk en tilfeldig tallgenerator til å simulere mange lodd

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Simulere forsøket digitalt

I stedet for å regne teoretisk, kan du bruke et digitalt verktøy til å SIMULERE lotteriet mange ganger (for eksempel $10\ 000$ simulerte lodd, der hvert lodd tilfeldig gir gevinst med sannsynlighet $0,1$ ), og regne ut gjennomsnittsgevinsten over alle simuleringene. Med nok simuleringer vil dette gjennomsnittet nærme seg $10$ kr – den teoretiske forventnings- verdien. Simulering er spesielt nyttig når den teoretiske utregningen er for komplisert til å gjøre for hånd.

Teoretisk verdi vs. simulert gjennomsnitt
Metode	Fremgangsmåte	Resultat
Teoretisk	E(X) = 100 · 0,1 + 0 · 0,9	10 kr (eksakt)
Simulering	10 000 simulerte lodd, regn gjennomsnittsgevinst	≈10 kr (tilnærmet)

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva kalles et forsøk med et tilfeldig utfall?

Vis fasit

Steg
Et forsøk uten forhåndsbestemt utfall
stokastisk forsøk

Et forsøk uten forhåndsbestemt utfall
stokastisk forsøk

L-22Hva er

E(X)

et symbol for?

Vis fasit

Steg
E(X) er gjennomsnittsverdien over mange gjentakelser
forventningsverdien

E(X) er gjennomsnittsverdien over mange gjentakelser
forventningsverdien

L-23Et terningkast har

X

= antall øyne, med verdiene

1

til

6

, hver med sannsynlighet

\frac{1}{6}

. Hva er

E(X)

Vis fasit

Steg	Resultat
Summen 1+2+3+4+5+6=21, delt på 6	3,5

Summen 1+2+3+4+5+6=21, delt på 6 = 3,5

Middels(3)

M-21To myntkast gir

X

= antall kron, med

P(X=0) = 0,25

P(X=1) = 0,5

P(X=2) = 0,25

. Finn

E(X)

Vis fasit

Steg	Resultat
P(X=0)=0,25, P(X=1)=0,5, P(X=2)=0,25
E(X) = 0·0,25 + 1·0,5 + 2·0,25	1

P(X=0)=0,25, P(X=1)=0,5, P(X=2)=0,25
E(X) = 0·0,25 + 1·0,5 + 2·0,25 = 1

M-22Hvorfor kan forventningsverdien til et terningkast (

3,5

) aldri være det faktiske utfallet av ett eneste kast?

Vis fasit

Steg
3,5 er et GJENNOMSNITT over mange kast, ikke et mulig enkeltutfall
3,5 er ikke blant de mulige verdiene 1-6

3,5 er et GJENNOMSNITT over mange kast, ikke et mulig enkeltutfall
3,5 er ikke blant de mulige verdiene 1-6

M-23Et spill koster

20

kr å spille, og gir

100

kr tilbake med sannsynlighet

0,15

, ellers ingenting. Er dette et lønnsomt spill i det lange løp?

Vis fasit

Steg	Resultat
E(gevinst) = 100 gange 0,15	15 kr
15 kr er mindre enn innsatsen 20 kr
spillet er ulønnsomt i det lange løp

E(gevinst) = 100 gange 0,15 = 15 kr
15 kr er mindre enn innsatsen 20 kr
spillet er ulønnsomt i det lange løp

Vanskelig(3)

V-21Forklar hvordan du kan bruke digital simulering til å ANSLÅ

E(X)

for et forsøk der den teoretiske utregningen er vanskelig.

Vis fasit

Steg
Mange simulerte gjentakelser nærmer seg den teoretiske forventningsverdien
gjennomsnittet av simuleringene er et godt anslag på E(X)

Mange simulerte gjentakelser nærmer seg den teoretiske forventningsverdien
gjennomsnittet av simuleringene er et godt anslag på E(X)

V-22Et lotteri har tre gevinstnivåer:

500

kr med sannsynlighet

0,02

50

kr med sannsynlighet

0,1

, og

0

kr ellers. Finn

E(X)

Vis fasit

Steg	Resultat
500 kr (p=0,02), 50 kr (p=0,1), 0 kr ellers
E(X) = 10 + 5 + 0	15 kr

500 kr (p=0,02), 50 kr (p=0,1), 0 kr ellers
E(X) = 10 + 5 + 0 = 15 kr

V-23Hvorfor må sannsynlighetene i den forrige oppgaven (

0,02

0,1

og sannsynligheten for

0

kr) summere til nøyaktig

1

Vis fasit

Steg
0,02 og 0,1 og resten dekker alle utfall til sammen
summen av alle sannsynligheter i et forsøk må være 1

0,02 og 0,1 og resten dekker alle utfall til sammen
summen av alle sannsynligheter i et forsøk må være 1