NumiSum

Stokastiske forsøk og stokastiske variabler

Et STOKASTISK FORSØK er et forsøk med et tilfeldig utfall (et myntkast, et terningkast). En STOKASTISK VARIABEL XX er en funksjon som knytter ETT TALL til hvert utfall av forsøket, for eksempel «antall kron» eller «gevinstbeløp». FORVENTNINGSVERDIEN E(X)E(X) er gjennomsnittsverdien du kan forvente over MANGE gjentakelser av forsøket, regnet ut som summen av hver verdi ganget med sannsynligheten for den.

Forventningsverdi

E(X)=∑x⋅P(X=x)E(X) = \sum x \cdot P(X = x)

Stokastisk variabel for et terningkast
Verdi xP(X = x)
1, 2, 3, 4, 5, 616\frac{1}{6} hver
Forventningsverdi3,5

Tips

  • Forventningsverdien trenger IKKE være en mulig verdi av XX selv: et terningkast kan aldri gi 3,53{,}5 øyne, men det er likevel gjennomsnittet over mange kast.
  • Digitale verktøy (som en tilfeldig tallgenerator i et regneark) kan SIMULERE et stokastisk forsøk mange ganger, og gi et anslag på sannsynligheter og forventningsverdier som stemmer godt med de teoretiske.

Eksempel: Forventningsverdien til et enkelt lotteri

Et lotteri gir 100100 kr i gevinst med sannsynlighet 0,10{,}1, og ingenting ellers. Definer den stokastiske variabelen XX = gevinstbeløp, og finn forventningsverdien E(X)E(X).

Løsning:
  1. Den stokastiske variabelen XX kan ta to verdier: X=100X = 100 med sannsynlighet 0,10{,}1, eller X=0X = 0 med sannsynlighet 0,90{,}9 (siden sannsynlighetene må summere til 11)
  2. forventningsverdien er summen av hver verdi ganget med sin sannsynlighet: E(X)=100⋅0,1+0⋅0,9=10+0E(X) = 100 \cdot 0{,}1 + 0 \cdot 0{,}9 = 10 + 0. Forventningsverdien er 1010 kr. Den gjennomsnittlige gevinsten per lodd, over mange lodd.
Fra utfall til forventningsverdi
Verdi xP(X = x)x · P(X = x)
100 kr0,110
0 kr0,90
Sum (E(X))10 kr
Alternativ forklaring/metode: Bruk en tilfeldig tallgenerator til å simulere mange lodd

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Simulere forsøket digitalt

I stedet for å regne teoretisk, kan du bruke et digitalt verktøy til å SIMULERE lotteriet mange ganger (for eksempel 10 00010\ 000 simulerte lodd, der hvert lodd tilfeldig gir gevinst med sannsynlighet 0,10{,}1), og regne ut gjennomsnittsgevinsten over alle simuleringene. Med nok simuleringer vil dette gjennomsnittet nærme seg 1010 kr. Den teoretiske forventnings- verdien. Simulering er spesielt nyttig når den teoretiske utregningen er for komplisert til å gjøre for hånd.

Teoretisk verdi vs. simulert gjennomsnitt
MetodeFremgangsmåteResultat
TeoretiskE(X) = 100 · 0,1 + 0 · 0,910 kr (eksakt)
Simulering10 000 simulerte lodd, regn gjennomsnittsgevinst≈10 kr (tilnærmet)

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Hva kalles et forsøk med et tilfeldig utfall?

Vis fasit
  1. Et forsøk uten forhåndsbestemt utfall
  2. stokastisk forsøk

L-32Hva er E(X)E(X) et symbol for?

Vis fasit
  1. E(X) er gjennomsnittsverdien over mange gjentakelser
  2. forventningsverdien

L-33Et terningkast har XX = antall øyne, med verdiene 11 til 66, hver med sannsynlighet 16\frac{1}{6}. Hva er E(X)E(X)?

Vis fasit

Summen 1+2+3+4+5+6=211+2+3+4+5+6=21, 216=\frac{21}{6} = 3,5

Middels(3)

M-31To myntkast gir XX = antall kron, med P(X=0)=0,25P(X=0) = 0{,}25, P(X=1)=0,5P(X=1) = 0{,}5, P(X=2)=0,25P(X=2) = 0{,}25. Finn E(X)E(X).

Vis fasit
  1. P(X=0)=0,25, P(X=1)=0,5, P(X=2)=0,25
  2. E(X) = 0·0,25 + 1·0,5 + 2·0,25 = 1

M-32Hvorfor kan forventningsverdien til et terningkast (3,53{,}5) aldri være det faktiske utfallet av ett eneste kast?

Vis fasit
  1. 3,5 er et GJENNOMSNITT over mange kast, ikke et mulig enkeltutfall
  2. 3,5 er ikke blant de mulige verdiene 1-6

M-33Et spill koster 2020 kr å spille, og gir 100100 kr tilbake med sannsynlighet 0,150{,}15, ellers ingenting. Er dette et lønnsomt spill i det lange løp?

Vis fasit
  1. E(gevinst) = 100⋅0,15=15100 \cdot 0{,}15 = 15 kr
  2. 15 kr er mindre enn innsatsen 20 kr
  3. spillet er ulønnsomt i det lange løp
Vanskelig(3)

V-31Forklar hvordan du kan bruke digital simulering til å ANSLÅ E(X)E(X) for et forsøk der den teoretiske utregningen er vanskelig.

Vis fasit
  1. Mange simulerte gjentakelser nærmer seg den teoretiske forventningsverdien
  2. gjennomsnittet av simuleringene er et godt anslag på E(X)

V-32Et lotteri har tre gevinstnivåer: 500500 kr med sannsynlighet 0,020{,}02, 5050 kr med sannsynlighet 0,10{,}1, og 00 kr ellers. Finn E(X)E(X). Svar i kroner.

Vis fasit
  1. 500 kr (p=0,02), 50 kr (p=0,1), 0 kr ellers
  2. E(X) = 10 + 5 + 0 = 15 kr

V-33Et lotteri har tre gevinstnivåer: 500500 kr med sannsynlighet 0,020{,}02, 5050 kr med sannsynlighet 0,10{,}1, og 00 kr ellers. Hvorfor må sannsynlighetene (0,020{,}02, 0,10{,}1 og sannsynligheten for 00 kr) summere til nøyaktig 11?

Vis fasit
  1. 0,02 og 0,1 og resten dekker alle utfall til sammen
  2. summen av alle sannsynligheter i et forsøk må være 1