Ordnede og uordnede utvalg

Skal du velge $r$ objekter fra $n$ objekter, avhenger antall MULIGE utvalg av om REKKEFØLGEN betyr noe. Betyr rekkefølgen noe (en ORDNET utvalg, som topp-3-plassering i et løp), bruker du PERMUTASJONER: $P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ . Betyr rekkefølgen IKKE noe (et UORDNET utvalg, som en komité), bruker du KOMBINASJONER: $C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ : kombinasjonen er permutasjonen delt på $r!$ , siden hvert utvalg da er telt flere ganger (én gang for hver rekkefølge det kan stå i).

Permutasjon (ordnet utvalg)

$P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$

Kombinasjon (uordnet utvalg)

$C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

Ordnet eller uordnet?
Situasjon	Rekkefølge betyr noe?	Bruk
Topp-3 i et løp	Ja	Permutasjon
Velge en komité på 3	Nei	Kombinasjon

Tips

Spør deg selv: «hvis jeg bytter om på to av de valgte, blir det da et NYTT utvalg, eller det SAMME?» Ja, nytt → permutasjon. Samme → kombinasjon.
Kombinasjonen $C(n,r)$ er ALLTID mindre enn eller lik permutasjonen $P(n,r)$ for samme $n$ og $r$ , siden den teller færre (rekkefølgen fjernes).

Eksempel: Komité vs. topp-3-plassering

En gruppe har $8$ elever. På hvor mange måter kan (a) en komité på $3$ elever velges, der rekkefølgen ikke betyr noe, og (b) en topp-3-plassering (1., 2., 3. plass) i en konkurranse med $3$ av de $8$ elevene avgjøres, der rekkefølgen betyr noe?

Løsning:

For komiteen (a) betyr rekkefølgen IKKE noe, så vi bruker kombinasjoner: $C(8,3) = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{336}{6} = 56$
for topp-3- plasseringen (b) betyr rekkefølgen noe, så vi bruker permutasjoner: $P(8,3) = \frac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ . Det finnes $56$ mulige komiteer, men $336$ mulige topp-3- plasseringer: seks ganger så mange, siden hver komité kan ordnes på $3! = 6$ ulike måter som en plassering.

Samme grunnvalg, ulikt antall muligheter
Type utvalg	Formel	Antall
Komité (uordnet)	C(8,3)	56
Topp-3 (ordnet)	P(8,3)	336

Alternativ forklaring/metode: Tell utvalgene direkte med multiplikasjonsprinsippet

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Gå veien om multiplikasjonsprinsippet

For en ORDNET liste (topp-3), kan du telle direkte: det er $8$ valg for førsteplassen, deretter $7$ gjenværende valg for andreplassen, og $6$ for tredjeplassen: $8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ : samme svar som permutasjonsformelen, men uten å måtte huske selve formelen. For et uordnet utvalg må du i tillegg dele på $3! = 6$ (antall måter de $3$ valgte kan ordnes på) for å unngå å telle samme komité flere ganger: $336 : 6 = 56$ .

Telle direkte med multiplikasjonsprinsippet
Plass	Antall gjenværende valg
Førsteplass	8
Andreplass	7
Tredjeplass	6
Produkt	8 · 7 · 6 = 336

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Regn ut $C(5,2)$ .

Vis fasit

C(5,2) = $\frac{5!}{2! \cdot 3!}$
$\frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} =$ 10

L-22Regn ut $P(5,2)$ .

Vis fasit

P(5,2) =

5 \cdot 4 =

L-23Skal du velge $2$ representanter (uten spesifikke roller) fra en klasse på $5$ , bruker du permutasjon eller kombinasjon?

Vis fasit

2 representanter uten roller: rekkefølgen betyr ikke noe
kombinasjon

Middels(3)

M-21Regn ut $C(6,3)$ .

Vis fasit

C(6,3) = $\frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1}$
$\frac{120}{6} =$ 20

M-22Regn ut $P(6,3)$ .

Vis fasit

P(6,3) =

6 \cdot 5 \cdot 4 =

120

M-23På hvor mange måter kan gull-, sølv- og bronsemedaljer deles ut blant $10$ deltakere?

Vis fasit

10 deltakere, medaljene har ulik rang
P(10,3) = $10 \cdot 9 \cdot 8 =$ 720

Vanskelig(3)

V-21På hvor mange måter kan en gruppe på $4$ velges ut fra $10$ personer til et prosjektarbeid, uten spesifikke roller?

Vis fasit

Gruppe på 4 fra 10, rekkefølgen betyr ikke noe
C(10,4) = 10! delt på (4! gange 6!) = 210

V-22Forklar hvorfor

C(10,4)

er mindre enn

P(10,4)

, og regn ut forholdet mellom dem.

Vis fasit

P(10,4) = 5 040 og C(10,4) = 210
$\frac{5\,040}{210} =$ 24, som er 4!, antall rekkefølger de 4 valgte kan stå i

V-23Et lotteri har $12$ deltakere, og det trekkes $5$ VINNERE uten spesifikk rangering (alle vinner samme premie). Hvor mange mulige vinnergrupper finnes?

Vis fasit

12 deltakere, 5 vinnere uten rangering
C(12,5) = 792