Binomisk fordeling

Den BINOMISKE fordelingen passer når et forsøk gjentas $n$ GANGER UAVHENGIG av hverandre, hver gang med samme sannsynlighet $p$ for «suksess» (som å få kron, eller å gjette riktig). Den stokastiske variabelen $X$ = antall suksesser i de $n$ forsøkene. Sannsynligheten for NØYAKTIG $k$ suksesser regnes med en formel som kombinerer ANTALL MÅTER dette kan skje på (en kombinasjon) med sannsynligheten for HVER av dem.

Binomisk sannsynlighet

$P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

Forventningsverdi (binomisk)

$E(X) = n \cdot p$

Kravene for binomisk fordeling
Krav	Betydning
Fast antall forsøk n	Antallet er bestemt på forhånd
To utfall per forsøk	«Suksess» eller «ikke suksess»
Uavhengige forsøk	Utfallet i ett forsøk påvirker ikke de andre
Samme sannsynlighet p	p er lik for alle n forsøkene

Tips

Sjekk de FIRE kravene (fast n, to utfall, uavhengige forsøk, samme p) FØR du bruker binomisk fordeling. Trekker du KULER UTEN tilbakelegging, er forsøkene IKKE uavhengige. Da passer hypergeometrisk fordeling bedre.
$C(n,k)$ i formelen teller antall MÅTER å plassere $k$ suksesser blant $n$ forsøk. Ikke glem denne faktoren, den er lett å utelate.
Sjekk svaret mot forventningsverdien E(X) = np. En rask sunn fornuft-sjekk: forventningsverdien for antall kron i $5$ kast er $E(X) = n \cdot p = 5 \cdot 0{,}5 = 2{,}5$ . Siden $3$ ligger nær denne forventningsverdien, er det RIMELIG at $P(X=3)$ er en av de høyeste sannsynlighetene i fordelingen: noe som stemmer med svaret $31{,}25\ \%$ . Denne sjekken avslører ikke feil regning direkte, men fanger opp åpenbart urimelige svar (som en veldig lav sannsynlighet for en verdi nær forventningsverdien).

Eksempel: Nøyaktig tre kron av fem myntkast

En mynt kastes $5$ ganger. Hva er sannsynligheten for å få nøyaktig $3$ kron?

Løsning:

Vi har $n = 5$ forsøk, sannsynlighet for suksess (kron) er $p = 0{,}5$ hver gang, og vi vil finne $P(X = 3)$
bruk den binomiske formelen: $P(X=3) = C(5,3) \cdot 0{,}5^3 \cdot 0{,}5^{5-3}$
$C(5,3) = 10$
$0{,}5^3 = 0{,}125$ og $0{,}5^2 = 0{,}25$
$P(X=3) = 10 \cdot 0{,}125 \cdot 0{,}25 = 10 \cdot 0{,}03125$ . Sannsynligheten er $0{,}3125$ , altså $31{,}25\ \%$ .

Fra formel til sannsynlighet
Del	Verdi
C(5,3)	10
p³ = 0,5³	0,125
(1-p)² = 0,5²	0,25
Produkt	0,3125 (31,25 %)

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-41Hva er de fire kravene for at binomisk fordeling skal passe?

Vis fasit

Binomisk fordeling krever spesifikke betingelser
fast n, to utfall, uavhengighet, konstant p

L-42Regn ut $C(6,2)$ , som trengs i en binomisk formel med $n=6$ , $k=2$ .

Vis fasit

C(6,2) =

\frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} =

L-43En mynt kastes $4$ ganger. Hva er $E(X)$ for antall kron?

Vis fasit

E(X) =

n \cdot p = 4 \cdot 0{,}5 =

Middels(3)

M-41En mynt kastes $6$ ganger. Finn $P(X = 2)$ , sannsynligheten for nøyaktig $2$ kron. Oppgi svaret som desimaltall med tre desimaler.

Vis fasit

6 kast, k=2: C(6,2) gange 0,5² gange 0,5⁴
$15 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}063 =$ ≈0,234 (23,4 %)

M-42En mynt kastes $8$ ganger. Finn $P(X = 5)$ , sannsynligheten for nøyaktig $5$ kron. Oppgi svaret som desimaltall med tre desimaler.

Vis fasit

8 kast, k=5: C(8,5) gange 0,5⁵ gange 0,5³
$56 \cdot 0{,}031 \cdot 0{,}125 =$ ≈0,219 (21,9 %)

M-43En elev gjetter tilfeldig på $10$ flervalgsoppgaver, hver med $20\ \%$ sjanse for riktig svar. Finn $E(X)$ , forventet antall riktige.

Vis fasit

E(X) =

n \cdot p = 10 \cdot 0{,}2 =

Vanskelig(3)

V-41En elev gjetter tilfeldig på $10$ flervalgsoppgaver, hver med $20\ \%$ sjanse for riktig svar. Finn $P(X = 3)$ , sannsynligheten for nøyaktig $3$ riktige av $10$ . Oppgi svaret som desimaltall med tre desimaler.

Vis fasit

10 oppgaver, k=3: C(10,3) gange 0,2³ gange 0,8⁷
$120 \cdot 0{,}008 \cdot 0{,}210$ ≈ 0,201 (20,1 %)

V-42Hvorfor kan et myntkast-forsøk med $10$ kast IKKE modelleres binomisk hvis mynten faktisk endrer form (og dermed sannsynlighet) etter hvert kast?

Vis fasit

10 kast med endret sannsynlighet bryter kravet om KONSTANT p
binomisk fordeling forutsetter uendret p gjennom alle forsøkene

V-43Hvorfor er trekking AV LODD FRA EN POSE, UTEN Å LEGGE TILBAKE, IKKE et godt eksempel på binomisk fordeling?

Vis fasit

Uten tilbakelegging endres sammensetningen (og dermed sannsynligheten) for hvert trekk
bryter kravet om uavhengige forsøk med samme p, hypergeometrisk fordeling passer bedre