NumiSum

Binomisk fordeling

Den BINOMISKE fordelingen passer når et forsøk gjentas nn GANGER UAVHENGIG av hverandre, hver gang med samme sannsynlighet pp for «suksess» (som å få kron, eller å gjette riktig). Den stokastiske variabelen XX = antall suksesser i de nn forsøkene. Sannsynligheten for NØYAKTIG kk suksesser regnes med en formel som kombinerer ANTALL MÅTER dette kan skje på (en kombinasjon) med sannsynligheten for HVER av dem.

Binomisk sannsynlighet

P(X=k)=C(n,k)⋅pk⋅(1−p)n−kP(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

Forventningsverdi (binomisk)

E(X)=n⋅pE(X) = n \cdot p

Kravene for binomisk fordeling
KravBetydning
Fast antall forsøk nAntallet er bestemt på forhånd
To utfall per forsøk«Suksess» eller «ikke suksess»
Uavhengige forsøkUtfallet i ett forsøk påvirker ikke de andre
Samme sannsynlighet pp er lik for alle n forsøkene

Tips

  • Sjekk de FIRE kravene (fast n, to utfall, uavhengige forsøk, samme p) FØR du bruker binomisk fordeling. Trekker du KULER UTEN tilbakelegging, er forsøkene IKKE uavhengige – da passer hypergeometrisk fordeling bedre.
  • C(n,k)C(n,k) i formelen teller antall MÅTER å plassere kk suksesser blant nn forsøk – ikke glem denne faktoren, den er lett å utelate.

Eksempel: Nøyaktig tre kron av fem myntkast

En mynt kastes 55 ganger. Hva er sannsynligheten for å få nøyaktig 33 kron?

Fra formel til sannsynlighet
DelVerdi
C(5,3)10
p³ = 0,5³0,125
(1-p)² = 0,5²0,25
Produkt0,3125 (31,25 %)
Løsning:
  1. Vi har n=5n = 5 forsøk, sannsynlighet for suksess (kron) er p=0,5p = 0,5 hver gang, og vi vil finne P(X=3)P(X = 3)
  2. bruk den binomiske formelen: P(X=3)=C(5,3)⋅0,53⋅0,55−3P(X=3) = C(5,3) \cdot 0,5^3 \cdot 0,5^{5-3}
  3. C(5,3)=10C(5,3) = 10
  4. 0,53=0,1250,5^3 = 0,125 og 0,52=0,250,5^2 = 0,25
  5. P(X=3)=10⋅0,125⋅0,25=10⋅0,03125P(X=3) = 10 \cdot 0,125 \cdot 0,25 = 10 \cdot 0,03125. Sannsynligheten er 0,31250,3125, altså 31,25 %31,25\ \%.
Alternativ forklaring/metode: Sjekk svaret mot forventningsverdien E(X) = np

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Bruke forventningsverdien som en rask sjekk

En rask sunn fornuft-sjekk: forventningsverdien for antall kron i 55 kast er E(X)=n⋅p=5⋅0,5=2,5E(X) = n \cdot p = 5 \cdot 0,5 = 2,5. Siden 33 ligger nær denne forventningsverdien, er det RIMELIG at P(X=3)P(X=3) er en av de høyeste sannsynlighetene i fordelingen – noe som stemmer med svaret 31,25 %31,25\ \%. Denne sjekken avslører ikke feil regning direkte, men fanger opp åpenbart urimelige svar (som en veldig lav sannsynlighet for en verdi nær forventningsverdien).

Rimelighetssjekk mot forventningsverdien
StegResultat
E(X) = n · p = 5 · 0,52,5
x = 3 ligger nær E(X) = 2,5P(X=3) bør være høy, stemmer med 31,25 %

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Hva er de fire kravene for at binomisk fordeling skal passe?

Vis fasit
Steg
Binomisk fordeling krever spesifikke betingelser
fast n, to utfall, uavhengighet, konstant p
  1. Binomisk fordeling krever spesifikke betingelser
  2. fast n, to utfall, uavhengighet, konstant p

L-32Regn ut C(6,2)C(6,2), som trengs i en binomisk formel med n=6n=6, k=2k=2.

Vis fasit
StegResultat
C(6,2) = (6 gange 5) delt på (2 gange 1)15

C(6,2) = (6 gange 5) delt på (2 gange 1) = 15

L-33En mynt kastes 44 ganger. Hva er E(X)E(X) for antall kron?

Vis fasit
StegResultat
E(X) = n gange p = 4 gange 0,52

E(X) = n gange p = 4 gange 0,5 = 2

Middels(3)

M-31En mynt kastes 66 ganger. Finn P(X=2)P(X = 2), sannsynligheten for nøyaktig 22 kron.

Vis fasit
StegResultat
6 kast, k=2: C(6,2) gange 0,5² gange 0,5⁴
15 gange 0,25 gange 0,063≈0,234 (23,4 %)
  1. 6 kast, k=2: C(6,2) gange 0,5² gange 0,5⁴
  2. 15 gange 0,25 gange 0,063 = ≈0,234 (23,4 %)

M-32En mynt kastes 88 ganger. Finn P(X=5)P(X = 5), sannsynligheten for nøyaktig 55 kron.

Vis fasit
StegResultat
8 kast, k=5: C(8,5) gange 0,5⁵ gange 0,5³
56 gange 0,031 gange 0,125≈0,219 (21,9 %)
  1. 8 kast, k=5: C(8,5) gange 0,5⁵ gange 0,5³
  2. 56 gange 0,031 gange 0,125 = ≈0,219 (21,9 %)

M-33En elev gjetter tilfeldig på 1010 flervalgsoppgaver, hver med 20 %20\ \% sjanse for riktig svar. Finn E(X)E(X), forventet antall riktige.

Vis fasit
StegResultat
E(X) = n gange p = 10 gange 0,22

E(X) = n gange p = 10 gange 0,2 = 2

Vanskelig(3)

V-31For eleven i forrige oppgave: finn P(X=3)P(X = 3), sannsynligheten for nøyaktig 33 riktige av 1010.

Vis fasit
Steg
10 oppgaver, k=3: C(10,3) gange 0,2³ gange 0,8⁷
120 gange 0,008 gange 0,210 ≈ 0,201 (20,1 %)
  1. 10 oppgaver, k=3: C(10,3) gange 0,2³ gange 0,8⁷
  2. 120 gange 0,008 gange 0,210 ≈ 0,201 (20,1 %)

V-32Hvorfor kan et myntkast-forsøk med 1010 kast IKKE modelleres binomisk hvis mynten faktisk endrer form (og dermed sannsynlighet) etter hvert kast?

Vis fasit
Steg
10 kast med endret sannsynlighet bryter kravet om KONSTANT p
binomisk fordeling forutsetter uendret p gjennom alle forsøkene
  1. 10 kast med endret sannsynlighet bryter kravet om KONSTANT p
  2. binomisk fordeling forutsetter uendret p gjennom alle forsøkene

V-33Hvorfor er trekking AV LODD FRA EN POSE, UTEN Å LEGGE TILBAKE, IKKE et godt eksempel på binomisk fordeling?

Vis fasit
Steg
Uten tilbakelegging endres sammensetningen (og dermed sannsynligheten) for hvert trekk
bryter kravet om uavhengige forsøk med samme p, hypergeometrisk fordeling passer bedre
  1. Uten tilbakelegging endres sammensetningen (og dermed sannsynligheten) for hvert trekk
  2. bryter kravet om uavhengige forsøk med samme p, hypergeometrisk fordeling passer bedre