NumiSum

Hypergeometrisk fordeling og problemløsning

Den HYPERGEOMETRISKE fordelingen passer når du trekker et utvalg fra en ENDELIG populasjon UTEN tilbakelegging – da endres sannsynligheten for hvert trekk, ulikt den binomiske fordelingen. Populasjonen har NN objekter totalt, hvorav KK har den egenskapen du er interessert i. Du trekker nn objekter, og XX = antall med egenskapen blant de trukne. Å VELGE riktig fordeling (binomisk eller hypergeometrisk) for et gitt problem er selve kjernen i problemløsningen her.

Hypergeometrisk sannsynlighet

P(X=k)=C(K,k)⋅C(N−K,n−k)C(N,n)P(X = k) = \frac{C(K, k) \cdot C(N-K, n-k)}{C(N, n)}

Forventningsverdi (hypergeometrisk)

E(X)=n⋅KNE(X) = n \cdot \frac{K}{N}

Binomisk eller hypergeometrisk?
SituasjonFordeling
Trekker MED tilbakelegging (eller uavhengige forsøk)Binomisk
Trekker UTEN tilbakelegging fra en endelig populasjonHypergeometrisk

Tips

  • Identifiser FØRST NN (populasjonen totalt), KK (antall med ønsket egenskap), nn (antall du trekker) og kk (antall du vil ha av egenskapen) – riktig identifisering av disse fire tallene er halve jobben.
  • Hypergeometrisk sannsynlighet teller BÅDE måter å velge de kk «riktige» (C(K,k)C(K,k)) OG måter å velge resten fra de «gale» (C(N−K,n−k)C(N-K, n-k)), delt på det totale antallet mulige utvalg (C(N,n)C(N,n)).

Eksempel: Trekke røde kuler uten tilbakelegging

En eske har 1010 kuler: 44 røde og 66 blå. Du trekker 33 kuler tilfeldig, UTEN å legge dem tilbake. Hva er sannsynligheten for at nøyaktig 22 av de 33 trukne kulene er røde?

Fra kuler til sannsynlighet
DelVerdi
C(4,2) – røde kuler valgt6
C(6,1) – blå kuler valgt6
C(10,3) – alle mulige utvalg120
Sannsynlighet36120\frac{36}{120} = 0,3 (30 %)
Løsning:
  1. Vi identifiserer tallene: N=10N = 10 (totalt antall kuler), K=4K = 4 (røde kuler), n=3n = 3 (antall trukket), k=2k = 2 (antall røde vi ønsker)
  2. bruk den hypergeometriske formelen: P(X=2)=C(4,2)⋅C(10−4,3−2)C(10,3)=C(4,2)⋅C(6,1)C(10,3)P(X=2) = \frac{C(4,2) \cdot C(10-4, 3-2)}{C(10,3)} = \frac{C(4,2) \cdot C(6,1)}{C(10,3)}
  3. C(4,2)=6C(4,2) = 6, C(6,1)=6C(6,1) = 6, og C(10,3)=120C(10,3) = 120
  4. P(X=2)=6⋅6120=36120P(X=2) = \frac{6 \cdot 6}{120} = \frac{36}{120}. Sannsynligheten er 0,30,3, altså 30 %30\ \%.
Alternativ forklaring/metode: Se hvorfor binomisk fordeling ville gitt feil svar her

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Feilaktig bruke binomisk fordeling som sammenligning

Prøver du (feilaktig) å bruke binomisk fordeling med p=410=0,4p = \frac{4}{10} = 0,4 for dette problemet, får du P(X=2)=C(3,2)⋅0,42⋅0,61=3⋅0,16⋅0,6=0,288P(X=2) = C(3,2) \cdot 0,4^2 \cdot 0,6^1 = 3 \cdot 0,16 \cdot 0,6 = 0,288 – et ANNET svar enn de korrekte 0,30,3. Forskjellen er liten her, men prinsipielt feil: binomisk fordeling antar at sannsynligheten pp er KONSTANT gjennom alle trekkene, mens den her faktisk ENDRER SEG for hvert trekk siden vi ikke legger tilbake. Jo mindre populasjonen NN er i forhold til utvalget nn, jo større blir denne forskjellen.

Korrekt (hypergeometrisk) vs. feilaktig (binomisk)
MetodeRegningSvar
Hypergeometrisk (korrekt)C(4,2) · C(6,1) / C(10,3)0,3
Binomisk (feil her)C(3,2) · 0,4² · 0,6¹0,288

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-41Hva er hovedforskjellen mellom binomisk og hypergeometrisk fordeling?

Vis fasit
Steg
Uten tilbakelegging endres sammensetningen for hvert trekk
hypergeometrisk fordeling håndterer dette, binomisk gjør det ikke
  1. Uten tilbakelegging endres sammensetningen for hvert trekk
  2. hypergeometrisk fordeling håndterer dette, binomisk gjør det ikke

L-42I en hypergeometrisk fordeling: hva representerer bokstaven NN?

Vis fasit
Steg
N er det totale antallet objekter man trekker fra
hele populasjonen
  1. N er det totale antallet objekter man trekker fra
  2. hele populasjonen

L-43En eske har 1010 kuler: 44 røde og 66 blå. Hva er E(X)E(X), forventet antall røde, hvis du trekker 33 kuler?

Vis fasit
StegResultat
E(X) = n gange K delt på N = 3 gange 4 delt på 101,2

E(X) = n gange K delt på N = 3 gange 4 delt på 10 = 1,2

Middels(3)

M-41En pose har 1212 kuler: 55 røde og 77 blå. Du trekker 44 kuler uten tilbakelegging. Finn P(X=2)P(X=2), sannsynligheten for nøyaktig 22 røde.

Vis fasit
Steg
12 kuler, 5 røde, trekker 4, k=2: C(5,2) gange C(7,2) delt på C(12,4)
210 delt på 495 ≈ 0,424 (42,4 %)
  1. 12 kuler, 5 røde, trekker 4, k=2: C(5,2) gange C(7,2) delt på C(12,4)
  2. 210 delt på 495 ≈ 0,424 (42,4 %)

M-42En klasse på 1010 elever har 44 gutter og 66 jenter. En komité på 33 elever trekkes tilfeldig. Finn sannsynligheten for at nøyaktig 22 av de 33 er gutter.

Vis fasit
StegResultat
10 elever, 4 gutter, trekker 3, k=2: C(4,2) gange C(6,1) delt på C(10,3)
6 gange 6 delt på 1200,3 (30 %)
  1. 10 elever, 4 gutter, trekker 3, k=2: C(4,2) gange C(6,1) delt på C(10,3)
  2. 6 gange 6 delt på 120 = 0,3 (30 %)

M-43En eske med 2020 lodd har 88 vinnerlodd. Du trekker 55 lodd. Finn E(X)E(X), forventet antall vinnerlodd.

Vis fasit
StegResultat
E(X) = n gange K delt på N = 5 gange 8 delt på 202

E(X) = n gange K delt på N = 5 gange 8 delt på 20 = 2

Vanskelig(3)

V-41Forklar hvorfor forskjellen mellom binomisk og hypergeometrisk sannsynlighet blir MINDRE når populasjonen NN er stor i forhold til utvalget nn.

Vis fasit
Steg
I en stor populasjon endres andelen ubetydelig for hvert trekk
sannsynligheten forblir tilnærmet konstant, som binomisk fordeling forutsetter
  1. I en stor populasjon endres andelen ubetydelig for hvert trekk
  2. sannsynligheten forblir tilnærmet konstant, som binomisk fordeling forutsetter

V-42En eske med 1515 kuler har 66 røde og 99 blå. Du trekker 44 kuler. Finn P(X=2)P(X=2), sannsynligheten for nøyaktig 22 røde.

Vis fasit
Steg
15 kuler, 6 røde, trekker 4, k=2: C(6,2) gange C(9,2) delt på C(15,4)
540 delt på 1 365 ≈ 0,396 (39,6 %)
  1. 15 kuler, 6 røde, trekker 4, k=2: C(6,2) gange C(9,2) delt på C(15,4)
  2. 540 delt på 1 365 ≈ 0,396 (39,6 %)

V-43Et kvalitetskontrollteam skal sjekke 55 tilfeldige enheter fra et parti på 5050, der 33 er defekte. Bør de bruke binomisk eller hypergeometrisk fordeling for å finne sannsynligheten for å oppdage nøyaktig én defekt enhet? Begrunn.

Vis fasit
Steg
5 av 50 enheter trekkes UTEN tilbakelegging fra en KJENT, endelig populasjon
dette er nøyaktig situasjonen hypergeometrisk fordeling er laget for
  1. 5 av 50 enheter trekkes UTEN tilbakelegging fra en KJENT, endelig populasjon
  2. dette er nøyaktig situasjonen hypergeometrisk fordeling er laget for