Hypergeometrisk fordeling og problemløsning

Den HYPERGEOMETRISKE fordelingen passer når du trekker et utvalg fra en ENDELIG populasjon UTEN tilbakelegging. Da endres sannsynligheten for hvert trekk, ulikt den binomiske fordelingen. Populasjonen har $N$ objekter totalt, hvorav $K$ har den egenskapen du er interessert i. Du trekker $n$ objekter, og $X$ = antall med egenskapen blant de trukne. Å VELGE riktig fordeling (binomisk eller hypergeometrisk) for et gitt problem er selve kjernen i problemløsningen her.

Hypergeometrisk sannsynlighet

$P(X = k) = \frac{C(K, k) \cdot C(N-K, n-k)}{C(N, n)}$

Forventningsverdi (hypergeometrisk)

$E(X) = n \cdot \frac{K}{N}$

Binomisk eller hypergeometrisk?
Situasjon	Fordeling
Trekker MED tilbakelegging (eller uavhengige forsøk)	Binomisk
Trekker UTEN tilbakelegging fra en endelig populasjon	Hypergeometrisk

Tips

Identifiser FØRST $N$ (populasjonen totalt), $K$ (antall med ønsket egenskap), $n$ (antall du trekker) og $k$ (antall du vil ha av egenskapen): riktig identifisering av disse fire tallene er halve jobben.
Hypergeometrisk sannsynlighet teller BÅDE måter å velge de $k$ «riktige» ( $C(K,k)$ ) OG måter å velge resten fra de «gale» ( $C(N-K, n-k)$ ), delt på det totale antallet mulige utvalg ( $C(N,n)$ ).
Se hvorfor binomisk fordeling ville gitt feil svar her. Prøver du (feilaktig) å bruke binomisk fordeling med $p = \frac{4}{10} = 0{,}4$ for dette problemet, får du $P(X=2) = C(3,2) \cdot 0{,}4^2 \cdot 0{,}6^1 = 3 \cdot 0{,}16 \cdot 0{,}6 = 0{,}288$ : et ANNET svar enn de korrekte $0{,}3$ . Forskjellen er liten her, men prinsipielt feil: binomisk fordeling antar at sannsynligheten $p$ er KONSTANT gjennom alle trekkene, mens den her faktisk ENDRER SEG for hvert trekk siden vi ikke legger tilbake. Jo mindre populasjonen $N$ er i forhold til utvalget $n$ , jo større blir denne forskjellen.

Eksempel: Trekke røde kuler uten tilbakelegging

En eske har $10$ kuler: $4$ røde og $6$ blå. Du trekker $3$ kuler tilfeldig, UTEN å legge dem tilbake. Hva er sannsynligheten for at nøyaktig $2$ av de $3$ trukne kulene er røde?

Løsning:

Vi identifiserer tallene: $N = 10$ (totalt antall kuler), $K = 4$ (røde kuler), $n = 3$ (antall trukket), $k = 2$ (antall røde vi ønsker)
bruk den hypergeometriske formelen: $P(X=2) = \frac{C(4,2) \cdot C(10-4, 3-2)}{C(10,3)} = \frac{C(4,2) \cdot C(6,1)}{C(10,3)}$
$C(4,2) = 6$ , $C(6,1) = 6$ , og $C(10,3) = 120$
$P(X=2) = \frac{6 \cdot 6}{120} = \frac{36}{120}$ . Sannsynligheten er $0{,}3$ , altså $30\ \%$ .

Fra kuler til sannsynlighet
Del	Verdi
C(4,2) – røde kuler valgt	6
C(6,1) – blå kuler valgt	6
C(10,3) – alle mulige utvalg	120
Sannsynlighet	$\frac{36}{120}$ = 0,3 (30 %)

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-51Hva er hovedforskjellen mellom binomisk og hypergeometrisk fordeling?

Vis fasit

Uten tilbakelegging endres sammensetningen for hvert trekk
hypergeometrisk fordeling håndterer dette, binomisk gjør det ikke

L-52I en hypergeometrisk fordeling: hva representerer bokstaven $N$ ?

Vis fasit

N er det totale antallet objekter man trekker fra
hele populasjonen

L-53En eske har $10$ kuler: $4$ røde og $6$ blå. Hva er $E(X)$ , forventet antall røde, hvis du trekker $3$ kuler?

Vis fasit

E(X) =

\frac{n \cdot K}{N} = \frac{3 \cdot 4}{10} =

1,2

Middels(3)

M-51En pose har $12$ kuler: $5$ røde og $7$ blå. Du trekker $4$ kuler uten tilbakelegging. Finn $P(X=2)$ , sannsynligheten for nøyaktig $2$ røde. Oppgi svaret som desimaltall med tre desimaler.

Vis fasit

12 kuler, 5 røde, trekker 4, k=2: C(5,2) gange C(7,2) delt på C(12,4)
$\frac{210}{495}$ ≈ 0,424 (42,4 %)

M-52En klasse på $10$ elever har $4$ gutter og $6$ jenter. En komité på $3$ elever trekkes tilfeldig. Finn sannsynligheten for at nøyaktig $2$ av de $3$ er gutter. Oppgi svaret som desimaltall.

Vis fasit

10 elever, 4 gutter, trekker 3, k=2: C(4,2) gange C(6,1) delt på C(10,3)
$\frac{6 \cdot 6}{120} =$ 0,3 (30 %)

M-53En eske med $20$ lodd har $8$ vinnerlodd. Du trekker $5$ lodd. Finn $E(X)$ , forventet antall vinnerlodd.

Vis fasit

E(X) =

\frac{n \cdot K}{N} = \frac{5 \cdot 8}{20} =

Vanskelig(3)

V-51Forklar hvorfor forskjellen mellom binomisk og hypergeometrisk sannsynlighet blir MINDRE når populasjonen $N$ er stor i forhold til utvalget $n$ .

Vis fasit

I en stor populasjon endres andelen ubetydelig for hvert trekk
sannsynligheten forblir tilnærmet konstant, som binomisk fordeling forutsetter

V-52En eske med $15$ kuler har $6$ røde og $9$ blå. Du trekker $4$ kuler. Finn $P(X=2)$ , sannsynligheten for nøyaktig $2$ røde. Oppgi svaret som desimaltall med tre desimaler.

Vis fasit

15 kuler, 6 røde, trekker 4, k=2: C(6,2) gange C(9,2) delt på C(15,4)
$\frac{540}{1\,365}$ ≈ 0,396 (39,6 %)

V-53Et kvalitetskontrollteam skal sjekke $5$ tilfeldige enheter fra et parti på $50$ , der $3$ er defekte. Bør de bruke binomisk eller hypergeometrisk fordeling for å finne sannsynligheten for å oppdage nøyaktig én defekt enhet? Begrunn.

Vis fasit

5 av 50 enheter trekkes UTEN tilbakelegging fra en KJENT, endelig populasjon
dette er nøyaktig situasjonen hypergeometrisk fordeling er laget for