Eksamensoppgaver – Kombinatorikk og sannsynlighetsfordelinger (S1)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2025, Del 1 – Oppgave 6

Uten hjelpemidler – 5 poeng

Einar er fotballspiller og har skrevet programmet nedenfor.

from random import choice
#choice returnerer en tilfeldig verdi fra en liste

alternativer = ["bom", "bom", "bom", "treff", "treff"]
#liste med alternativer

skuddserie = 3
antall_treff = 0

for i in range(skuddserie):

    skudd = choice(alternativer)

    if skudd == "treff":

        antall_treff = antall_treff + 1


print(antall_treff/skuddserie)

a) Hvilke mulige verdier kan programmet skrive ut?

b) Bestem sannsynligheten for at programmet skriver ut $1{,}0$ .

Når Einar tar et straffespark, er sannsynligheten for at han scorer mål, $30\ \%$ .

c) Hva er det minste antallet straffespark Einar må ta for at sannsynligheten for at han scorer minst ett mål, skal være $50\ \%$ eller mer?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) og b) skal vi tolke koden som en binomisk modell (siden hvert skudd er uavhengig med samme treffsjanse) og finne mulige utfall og én konkret sannsynlighet. I c) skal vi snu spørsmålet: finne det MINSTE antallet forsøk som gir minst $50\ \%$ sjanse for minst ett treff.

Strategi og formel: I a), tenk gjennom hvor mange treff av 3 skudd som er mulig – resultatet blir alltid antall_treff delt på 3. I b), legg merke til at listen gir $P(\text{treff})=\frac{2}{5}$ per skudd (2 av 5 elementer er «treff»), og at $1{,}0$ krever ALLE tre skuddene treff. I c), bruk komplement-strategien: $P(\text{minst ett mål}) = 1 - P(\text{ingen mål})$ , og let etter minste $n$ som oppfyller kravet.

Trinnvis utregning:

a) antall_treff kan bli $0$ , $1$ , $2$ eller $3$ (av $3$ skudd)
programmet kan skrive ut $\frac{0}{3}=0$ , $\frac{1}{3}\approx 0{,}33$ , $\frac{2}{3}\approx 0{,}67$ eller $\frac{3}{3}=1{,}0$ . b) Listen har $5$ elementer, hvorav $2$ er «treff»
$P(\text{treff per skudd})=\frac{2}{5}=0{,}4$ . Programmet skriver ut $1{,}0$ kun hvis ALLE $3$ skuddene er treff, og skuddene er uavhengige: $P(1{,}0) = 0{,}4^3 = 0{,}064$ . c) $P(\text{minst ett mål av } n) = 1-(1-0{,}3)^n = 1-0{,}7^n$ . Krav: $1-0{,}7^n \geq 0{,}5$ . Prøver $n=1$ : $1-0{,}7=0{,}3 < 0{,}5$ – ikke nok. Prøver $n=2$ : $1-0{,}7^2=1-0{,}49=0{,}51 \geq 0{,}5$ – oppfylt.

Svar: a) Mulige verdier: $0$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{2}{3}$ og $1{,}0$ . b) $P(1{,}0) = 0{,}4^3 = 0{,}064$ . c) Minst 2 straffespark.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 5 poeng)

Poeng	Krav
5/5	Lister riktig opp alle fire mulige verdier i a), finner riktig $P(\text{treff})=0{,}4$ og regner riktig ut $0{,}4^3=0{,}064$ i b), og finner riktig minste $n=2$ i c) med en tydelig sjekk av $n=1$ og $n=2$ .
3-4/5	Riktig i to av de tre delene, eller riktig strategi i alle tre men med en mindre regnefeil (f.eks. glemmer å sjekke at $n=1$ IKKE er nok i c)).
1-2/5	Finner riktig $P(\text{treff})=0{,}4$ fra listen, men mangler den binomiske strategien i b) og/eller c) (f.eks. bruker $30\%$ direkte som svar i c) uten komplement-regningen).
0/5	Leser feil sannsynlighet ut av listen (f.eks. $\frac{3}{5}$ i stedet for $\frac{2}{5}$ ), eller mangler en fungerende strategi helt.

Sensor-tips

Den vanligste feilen i b) er å regne $P(\text{treff})$ som $\frac{1}{2}$ (siden det er «bom eller treff», altså to utfall) i stedet for å telle elementene i selve listen – $2$ av $5$ elementer er «treff», så $P=\frac{2}{5}$ .
I c) er komplement-strategien ( $1-P(\text{ingen mål})$ ) mye enklere enn å summere $P(\text{nøyaktig 1 mål})+P(\text{nøyaktig 2 mål})+\ldots$ direkte – se etter at eleven bruker den, ikke bare gjetter seg fram til $n=2$ .

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen S1 matematikk, Høst 2025, Del 1, Oppgave 6

Utdanningsdirektoratet

Vår 2024, Del 2 – Oppgave 4

Med hjelpemidler – 4 poeng

I en skuff ligger det 6 gule, 5 svarte og 4 hvite sokker.

a) Tenk deg at du tar 2 sokker tilfeldig fra skuffen. Bestem sannsynligheten for at begge sokkene er gule.

b) Tenk deg at du tar 3 sokker tilfeldig fra skuffen. Bestem sannsynligheten for at minst 2 av sokkene har samme farge.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi finne sannsynligheten for et konkret utfall når 2 sokker trekkes uten tilbakelegging. I b) skal vi finne sannsynligheten for «minst 2 like» av 3 trukne sokker – et utfall det er lurere å finne via komplementet.

Strategi og formel: Bruk kombinasjoner (binomialkoeffisienten $\binom{n}{k}$ , « $n$ over $k$ ») til å telle antall gunstige og antall mulige utvalg – trekkingen skjer uten tilbakelegging, så rekkefølgen spiller ingen rolle. I b), snu problemet: «minst 2 like farger» er det MOTSATTE av «alle tre ulik farge» (siden det bare finnes tre farger totalt).

Trinnvis utregning:

Totalt antall sokker: $6+5+4=15$ . a) Antall måter å velge $2$ gule av $6$ : $\binom{6}{2}=15$ . Antall måter å velge $2$ sokker av alle $15$ : $\binom{15}{2}=105$ .
$P(\text{begge gule}) = \dfrac{15}{105} = \dfrac{1}{7} \approx 0{,}143$ . b) Komplementet til «minst 2 like farge» er «alle tre ulik farge» (én av hver: gul, svart, hvit). Antall måter å velge én av hver: $6\cdot 5\cdot 4=120$ . Antall måter å velge $3$ sokker totalt: $\binom{15}{3}=455$ .
$P(\text{alle ulik farge}) = \dfrac{120}{455} = \dfrac{24}{91} \approx 0{,}264$ . $P(\text{minst 2 samme farge}) = 1 - \dfrac{24}{91} = \dfrac{67}{91} \approx 0{,}736$ .

Svar: a) $P(\text{begge gule}) = \dfrac{1}{7} \approx 0{,}143$ . b) $P(\text{minst 2 samme farge}) = \dfrac{67}{91} \approx 0{,}736$ .

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)

Poeng	Krav
4/4	Regner riktig ut $P(\text{begge gule})=\frac{1}{7}$ i a), OG bruker komplement-strategien riktig i b) til å finne $P(\text{minst 2 samme})=\frac{67}{91}$ .
2-3/4	Riktig i a), men mangler komplement-strategien i b) (prøver å telle «minst 2 like» direkte og går seg vill, eller får feil svar pga. en regnefeil i en ellers riktig komplement-tilnærming).
1/4	Setter opp riktig antall totalt ( $15$ sokker) og forstår at kombinasjoner skal brukes, men bommer på selve telleutrykkene i både a) og b).
0/4	Bruker permutasjoner (der rekkefølge teller) i stedet for kombinasjoner, eller mangler en fungerende strategi helt.

Sensor-tips

Den vanligste snarveien i b) er å prøve å summere $P(\text{nøyaktig 2 like})+P(\text{alle 3 like})$ direkte – det er en gyldig, men mye lengre vei enn komplementet. Godta begge tilnærmingene så lenge regningen stemmer.
Sjekk at eleven bruker binomialkoeffisienten $\binom{15}{2}=105$ (ikke $15\cdot 14=210$ , som er permutasjoner) i nevneren i a) – det er den vanligste enkeltfeilen i denne oppgavetypen.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen S1 matematikk, Vår 2024, Del 2, Oppgave 4