Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2020, Del 1 – Oppgave 17

Uten hjelpemidler – 3 poeng

I diagrammet nedenfor ser du en graf som beskriver vekt i kilogram hos et barn i perioden fra 0 til 12 måneder. Grafen er en rett linje som går gjennom $(0, 4)$ og $(10, 9)$ .

a) Hvor mye veier barnet ved fødselen (0 måneder)?
b) Hvor mye øker vekten per måned det første leveåret?
c) Lag et funksjonsuttrykk for grafen: $f(x) = \_\_\_\_$

f(x) = 0,5x + 4 (vekt i kg, x i måneder)

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal lese av fødselsvekten (skjæringen med $y$ -aksen), finne stigningstallet (vektøkning per måned), og sette dem sammen til et funksjonsuttrykk.

Strategi og formel: Fødselsvekten er $y$ -verdien der $x=0$ (grafens skjæringspunkt med $y$ -aksen). Stigningstallet finner vi med formelen $a = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ fra to punkter på linjen. Til slutt setter vi begge inn i $f(x) = ax + b$ .

Trinnvis utregning:

a) grafen krysser $y$ -aksen i $(0, 4)$
fødselsvekt $= 4$ kg
b) stigningstall mellom $(0,4)$ og $(10,9)$ : $a = \frac{9-4}{10-0} = \frac{5}{10} = 0,5$ kg/måned
c) sett $a=0,5$ og $b=4$ inn i $f(x)=ax+b$

Svar: a) 4 kg, b) 0,5 kg/måned, c) $f(x) = 0,5x + 4$

Sensorveiledning og poengkrav (maks 3 poeng)

Poeng	Krav
3/3	Alle tre deloppgaver riktig: a) 4 kg, b) 0,5 kg/måned, c) $f(x)=0,5x+4$ .
2/3	To av tre deloppgaver riktig, typisk a) og b) riktig men feil/manglende funksjonsuttrykk i c).
1/3	Kun én deloppgave riktig løst.
0/3	Ingen av deloppgavene riktig løst.

Sensor-tips

Del c) bygger direkte på svarene fra a) og b) – stigningstallet fra b) ER $a$ , og fødselsvekten fra a) ER $b$ i $f(x)=ax+b$ . En elev som får a) og b) riktig, men ikke kobler dem sammen i c), har ikke fullført oppgaven.
En vanlig feil i b) er å lese av vekten ved 12 måneder og dele på 12 i stedet for å bruke stigningstall-formelen mellom to punkter – dette gir samme svar HER (fordi linjen går nøyaktig gjennom origo-forskjøvet), men er ikke en pålitelig metode generelt.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2020, Del 1, Oppgave 17

Utdanningsdirektoratet

Vår 2025, Del 2 – Oppgave 3

Med hjelpemidler – 3 poeng

Jonas vil spare 20 000 kroner han tjente på sommerjobben, og setter pengene i banken. Jonas har funnet ut at han kan bruke funksjonen $f$ gitt ved

$f(x) = 20 000 \cdot 1,04^x$

for å regne ut hvor mye penger han vil ha i banken om $x$ år.

a) Forklar hva tallene $20 000$ og $1,04$ , og variabelen $x$ betyr i sparingen til Jonas.
b) Bruk funksjonen og finn ut hvor mange kroner Jonas har i banken etter 15 år.

f(x) = 20 000 * 1,04^x

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal forklare hva tallene i funksjonsuttrykket betyr, og bruke funksjonen til å regne ut sparebeløpet etter 15 år.

Strategi og formel: I a) kjenner vi igjen formen $y = b \cdot a^x$ : $b$ er startverdien, $a$ er vekstfaktoren, og $x$ er antall perioder (her år). I b) setter vi $x=15$ inn i funksjonsuttrykket og regner ut.

Trinnvis utregning:

a) $20 000$ er beløpet Jonas setter inn i banken i dag (startverdien), $1,04$ er vekstfaktoren (svarer til 4 % rente per år), og $x$ er antall år pengene står i banken
b) $f(15) = 20 000 \cdot 1,04^{15}$
$1,04^{15} \approx 1,80094$
$f(15) \approx 20 000 \cdot 1,80094 \approx 36 019$

Svar: a) $20 000$ er startbeløpet, $1,04$ er vekstfaktoren (4 % årlig rente), $x$ er antall år. b) Ca. $36 019$ kr etter 15 år.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 3 poeng)

Poeng	Krav
3/3	Riktig forklaring av alle tre delene i a) (startbeløp, vekstfaktor/rentesats, tidsvariabel), OG riktig beløp i b) (ca. 36 019 kr).
2/3	Riktig svar i b), men ufullstendig forklaring i a) (f.eks. mangler at 1,04 er en vekstfaktor/rentesats) – eller omvendt.
1/3	Delvis riktig forklaring i a), og feil eller manglende svar i b).
0/3	Verken a) eller b) besvart riktig.

Sensor-tips

Full poengsum i a) krever at eleven kobler $1,04$ til en 4 %-vekst, ikke bare gjentar at det er 'et tall i formelen' – sjekk at forklaringen faktisk viser forståelse av vekstfaktor-begrepet.
En vanlig feil i b) er å regne $20 000 \cdot 1,04 \cdot 15$ (gange med 15 i stedet for å opphøye i 15. potens) – dette forveksler eksponentiell vekst med lineær vekst, nøyaktig den begrepsforskjellen temaet handler om.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2025, Del 2, Oppgave 3

Utdanningsdirektoratet

Vår 2024, Del 2 – Oppgave 5

Med hjelpemidler – 2 poeng

I løpet av seks måneder økte antall følgere Nikoline hadde på Instagram fra 30 til 30 000.

Nikoline lagde to modeller for å vise veksten i antall følgere.

Forklar de to modellene og hvordan de beskriver veksten av følgere.

Lineær modell g: g(x) = 4995x + 30

Eksponentiell modell f: f(x) ≈ 30 * 3,16^x

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Hva de to modellene (g, lineær, og f, eksponentiell) faktisk beskriver, og hvordan veksten i antall følgere ser ulik ut i de to modellene.

Strategi og formel: Begge modellene går gjennom de samme to punktene, $(0, 30)$ og $(6, 30 000)$ , men $g$ endrer seg med et FAST TILLEGG per måned (lineær vekst), mens $f$ endrer seg med en FAST VEKSTFAKTOR per måned (eksponentiell vekst) – vi finner stigningstallet til $g$ og vekstfaktoren til $f$ fra de samme to punktene.

Trinnvis utregning:

Lineær modell g: stigningstall $a = \frac{30 000-30}{6-0} = \frac{29 970}{6} = 4 995$
$g(x) = 4995x + 30$
Eksponentiell modell f: $f(x) = 30 \cdot b^x$ , og $f(6)=30 000$ gir $30 \cdot b^6 = 30 000$
$b^6 = 1 000$
$b = \sqrt[6]{1 000} = \sqrt{10} \approx 3{,}16$
$f(x) \approx 30 \cdot 3{,}16^x$

Svar: $g$ er en lineær modell som legger til 4 995 følgere hver måned (samme tillegg uansett hvor mange følgere Nikoline allerede har). $f$ er en eksponentiell modell der antall følgere ganges med ca. 3,16 hver måned – veksten starter langsomt, men skyter fart etter hvert som følgertallet blir større.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Forklarer BEGGE modellene riktig – at g har konstant TILLEGG (stigningstall) mens f har konstant VEKSTFAKTOR (prosentvis vekst) – og knytter dette til hvorfor kurvene ser så ulike ut.
1/2	Forklarer riktig type for kun én av modellene, eller beskriver forskjellen upresist (f.eks. bare «den ene vokser raskere» uten å forklare hvorfor).
0/2	Forveksler hvilken graf som er lineær og hvilken som er eksponentiell, eller gir ingen matematisk begrunnelse.

Sensor-tips

Sjekk at eleven skiller presist mellom «legger til det samme hver måned» (lineær, g) og «ganges med det samme hver måned» (eksponentiell, f) – ikke bare «den ene er en rett linje, den andre er en kurve».
Begge modellene går gjennom de SAMME to punktene $(0, 30)$ og $(6, 30 000)$ – det er nettopp derfor de er lette å forveksle tidlig i grafen (begge er lave og nære hverandre for små x), men den eksponentielle modellen tar raskt igjen og forbikjører den lineære etter hvert.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2024, Del 2, Oppgave 5