Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Numisum.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2020, Del 1 – Oppgave 17

Uten hjelpemidler – 3 poeng

I diagrammet nedenfor ser du en graf som beskriver vekt i kilogram hos et barn i perioden fra 0 til 12 måneder. Grafen er en rett linje som går gjennom $(0, 4)$ og $(10, 9)$ .

a) Hvor mye veier barnet ved fødselen (0 måneder)?
b) Hvor mye øker vekten per måned det første leveåret?
c) Lag et funksjonsuttrykk for grafen: $f(x) = \_\_\_\_$

f(x) = 0,5x + 4 (vekt i kg, x i måneder)

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal lese av fødselsvekten (skjæringen med $y$ -aksen), finne stigningstallet (vektøkning per måned), og sette dem sammen til et funksjonsuttrykk.

Strategi og formel: Fødselsvekten er $y$ -verdien der $x=0$ (grafens skjæringspunkt med $y$ -aksen). Stigningstallet finner vi med formelen $a = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ fra to punkter på linjen. Til slutt setter vi begge inn i $f(x) = ax + b$ .

Trinnvis utregning:

a) grafen krysser $y$ -aksen i $(0, 4)$
fødselsvekt $= 4$ kg
b) stigningstall mellom $(0,4)$ og $(10,9)$ : $a = \frac{9-4}{10-0} = \frac{5}{10} = 0{,}5$ kg/måned
c) sett $a=0{,}5$ og $b=4$ inn i $f(x)=ax+b$

Svar: a) 4 kg, b) 0,5 kg/måned, c) $f(x) = 0{,}5x + 4$

Sensorveiledning og poengkrav (maks 3 poeng)

Poeng	Krav
3/3	Alle tre deloppgaver riktig: a) 4 kg, b) 0,5 kg/måned, c) $f(x)=0{,}5x+4$ .
2/3	To av tre deloppgaver riktig, typisk a) og b) riktig men feil/manglende funksjonsuttrykk i c).
1/3	Kun én deloppgave riktig løst.
0/3	Ingen av deloppgavene riktig løst.

Sensor-tips

Del c) bygger direkte på svarene fra a) og b): stigningstallet fra b) ER $a$ , og fødselsvekten fra a) ER $b$ i $f(x)=ax+b$ . En elev som får a) og b) riktig, men ikke kobler dem sammen i c), har ikke fullført oppgaven.
En vanlig feil i b) er å lese av vekten ved 12 måneder og dele på 12 i stedet for å bruke stigningstall-formelen mellom to punkter. Dette gir samme svar HER (fordi linjen går nøyaktig gjennom origo-forskjøvet), men er ikke en pålitelig metode generelt.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2020, Del 1, Oppgave 17

Utdanningsdirektoratet

Vår 2025, Del 2 – Oppgave 3

Med hjelpemidler – 3 poeng

Jonas vil spare 20 000 kroner han tjente på sommerjobben, og setter pengene i banken. Jonas har funnet ut at han kan bruke funksjonen $f$ gitt ved

$f(x) = 20\ 000 \cdot 1{,}04^x$

for å regne ut hvor mye penger han vil ha i banken om $x$ år.

a) Forklar hva tallene $20\ 000$ og $1{,}04$ , og variabelen $x$ betyr i sparingen til Jonas.
b) Bruk funksjonen og finn ut hvor mange kroner Jonas har i banken etter 15 år.

f(x) = 20 000 * 1,04^x

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal forklare hva tallene i funksjonsuttrykket betyr, og bruke funksjonen til å regne ut sparebeløpet etter 15 år.

Strategi og formel: I a) kjenner vi igjen formen $y = b \cdot a^x$ : $b$ er startverdien, $a$ er vekstfaktoren, og $x$ er antall perioder (her år). I b) setter vi $x=15$ inn i funksjonsuttrykket og regner ut.

Trinnvis utregning:

a) $20\ 000$ er beløpet Jonas setter inn i banken i dag (startverdien), $1{,}04$ er vekstfaktoren (svarer til 4 % rente per år), og $x$ er antall år pengene står i banken
b) $f(15) = 20\ 000 \cdot 1{,}04^{15}$
$1{,}04^{15} \approx 1{,}80094$
$f(15) \approx 20\ 000 \cdot 1{,}80094 \approx 36\ 019$

Svar: a) $20\ 000$ er startbeløpet, $1{,}04$ er vekstfaktoren (4 % årlig rente), $x$ er antall år. b) Ca. $36\ 019$ kr etter 15 år.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 3 poeng)

Poeng	Krav
3/3	Riktig forklaring av alle tre delene i a) (startbeløp, vekstfaktor/rentesats, tidsvariabel), OG riktig beløp i b) (ca. 36 019 kr).
2/3	Riktig svar i b), men ufullstendig forklaring i a) (f.eks. mangler at 1,04 er en vekstfaktor/rentesats) – eller omvendt.
1/3	Delvis riktig forklaring i a), og feil eller manglende svar i b).
0/3	Verken a) eller b) besvart riktig.

Sensor-tips

Full poengsum i a) krever at eleven kobler $1{,}04$ til en 4 %-vekst, ikke bare gjentar at det er 'et tall i formelen': sjekk at forklaringen faktisk viser forståelse av vekstfaktor-begrepet.
En vanlig feil i b) er å regne $20\ 000 \cdot 1{,}04 \cdot 15$ (gange med 15 i stedet for å opphøye i 15. potens). Dette forveksler eksponentiell vekst med lineær vekst, nøyaktig den begrepsforskjellen temaet handler om.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2025, Del 2, Oppgave 3

Utdanningsdirektoratet

Vår 2024, Del 2 – Oppgave 5

Med hjelpemidler – 2 poeng

I løpet av seks måneder økte antall følgere Nikoline hadde på Instagram fra 30 til 30 000.

Nikoline lagde to modeller for å vise veksten i antall følgere.

Forklar de to modellene og hvordan de beskriver veksten av følgere.

Lineær modell g: g(x) = 4995x + 30

Eksponentiell modell f: f(x) ≈ 30 * 3,16^x

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Hva de to modellene (g, lineær, og f, eksponentiell) faktisk beskriver, og hvordan veksten i antall følgere ser ulik ut i de to modellene.

Strategi og formel: Begge modellene går gjennom de samme to punktene, $(0, 30)$ og $(6, 30\ 000)$ , men $g$ endrer seg med et FAST TILLEGG per måned (lineær vekst), mens $f$ endrer seg med en FAST VEKSTFAKTOR per måned (eksponentiell vekst). Vi finner stigningstallet til $g$ og vekstfaktoren til $f$ fra de samme to punktene.

Trinnvis utregning:

Lineær modell g: stigningstall $a = \frac{30\ 000-30}{6-0} = \frac{29\ 970}{6} = 4\ 995$
$g(x) = 4995x + 30$
Eksponentiell modell f: $f(x) = 30 \cdot b^x$ , og $f(6)=30\ 000$ gir $30 \cdot b^6 = 30\ 000$
$b^6 = 1\ 000$
$b = \sqrt[6]{1\ 000} = \sqrt{10} \approx 3{,}16$
$f(x) \approx 30 \cdot 3{,}16^x$

Svar: $g$ er en lineær modell som legger til 4 995 følgere hver måned (samme tillegg uansett hvor mange følgere Nikoline allerede har). $f$ er en eksponentiell modell der antall følgere ganges med ca. 3,16 hver måned: veksten starter langsomt, men skyter fart etter hvert som følgertallet blir større.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Forklarer BEGGE modellene riktig – at g har konstant TILLEGG (stigningstall) mens f har konstant VEKSTFAKTOR (prosentvis vekst) – og knytter dette til hvorfor kurvene ser så ulike ut.
1/2	Forklarer riktig type for kun én av modellene, eller beskriver forskjellen upresist (f.eks. bare «den ene vokser raskere» uten å forklare hvorfor).
0/2	Forveksler hvilken graf som er lineær og hvilken som er eksponentiell, eller gir ingen matematisk begrunnelse.

Sensor-tips

Sjekk at eleven skiller presist mellom «legger til det samme hver måned» (lineær, g) og «ganges med det samme hver måned» (eksponentiell, f). Ikke bare «den ene er en rett linje, den andre er en kurve».
Begge modellene går gjennom de SAMME to punktene $(0, 30)$ og $(6, 30\ 000)$ . Det er nettopp derfor de er lette å forveksle tidlig i grafen (begge er lave og nære hverandre for små x), men den eksponentielle modellen tar raskt igjen og forbikjører den lineære etter hvert.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2024, Del 2, Oppgave 5

Utdanningsdirektoratet

Vår 2019, Del 1 – Oppgave 12

Uten hjelpemidler – 3 poeng

Gloria passer barna til naboen på lørdager. Hun får 80 kroner for å møte opp. I tillegg får hun en timelønn på 50 kroner.

En lørdag fikk Gloria til sammen 180 kroner.

a) Hvor mange timer passet hun barna denne lørdagen?
- 1 time
- 2 timer
- 3 timer
- 4 timer
b) En lineær funksjon som viser sammenhengen mellom hvor lenge Gloria passer barna ( $x$ timer), og hvor mye hun får betalt ( $y$ kroner), kan uttrykkes som
- $y = 50x$
- $y = 80x$
- $y = 2x + 80$
- $y = 50x + 80$
c) Bruk grafen nedenfor til å bestemme hvor mye Gloria får betalt til sammen en lørdag når hun passer barna i 6 timer.

Svar: ______________ kroner

y = 50x + 80

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne hvor mange timer som gir 180 kroner, hvilket funksjonsuttrykk som passer, og hva hun får for 6 timer.

Strategi og formel: Betalingen er et fast beløp (80 kroner) pluss timelønn (50 kroner per time): $y = 50x + 80$ . Vi bruker uttrykket til a) og kontrollerer c) mot grafen.

Trinnvis utregning:

a) trekker fra det faste beløpet: $180 - 80 = 100$ kroner i timelønn
$100 : 50 = 2$ timer
b) fast beløp $80$ og $50$ per time gir $y = 50x + 80$
c) $x = 6$ : $y = 50 \cdot 6 + 80 = 300 + 80 = 380$ kroner
grafen er en rett linje som starter i $(0, 80)$ og passerer $(6, 380)$

Svar: a) 2 timer. b) $y = 50x + 80$ . c) Gloria får 380 kroner.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 3 poeng)

Poeng	Krav
3/3	Alle tre riktige.
2/3	To av tre riktige.
1/3	Ett av tre riktige.
0/3	Ingen riktige.

Sensor-tips

I a) er det lett å dele 180 på 50 og få 3,6 uten å trekke fra det faste beløpet først.
I b) hører $y = 50x$ til en funksjon uten fast beløp. Grafen viser at linjen ikke starter i origo, men i $(0, 80)$ .
Les av grafen ved å gå opp fra $x = 6$ til linjen, og så bort til $y$ -aksen. Svaret skal stemme med utregningen.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2019, Del 1, Oppgave 12

Utdanningsdirektoratet

Vår 2019, Del 2 – Oppgave 2

Med hjelpemidler – 3 poeng

Maren reiste med fly fra Oslo til New York. Hun mellomlandet i København. Diagrammet nedenfor viser en grafisk fremstilling av turen hennes.

a) Omtrent hvor lang var hele flyturen fra Oslo til New York? Gi svaret i kilometer.
b) Hvor lenge var Maren i København?

Maren startet i Oslo klokka 06.00 og reiste i totalt 12 timer og 55 minutter.

c) Bruk kartet nedenfor til å avgjøre hva klokka var i New York da hun landet.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal lese av hvor langt flyturen var, hvor lenge Maren ventet i København, og hva klokka var i New York da hun landet.

Strategi og formel: Grafen viser avstand fra Oslo som funksjon av tid. Et vannrett stykke betyr at hun står i ro. Tidssonene viser at klokka i New York går 6 timer etter klokka i Oslo.

Trinnvis utregning:

a) grafen slutter ved ca. $6\ 200$ km på $y$ -aksen
b) linjen er vannrett, altså i ro, mellom $x = 1$ og $x = 6$
oppholdet er $6 - 1 = 5$ timer
c) de landet $12$ timer og $55$ minutter etter klokka 06.00, altså klokka 18.55 norsk tid
Oslo ligger i sone $+1$ og New York i sone $-5$ , forskjell $6$ timer
klokka 18.55 minus $6$ timer er klokka 12.55 i New York

Svar: a) Flyturen var omtrent $6\ 200$ km. b) Maren var 5 timer i København. c) Da Maren landet, var det klokka 12.55 i New York.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 3 poeng)

Poeng	Krav
3/3	a) ca. 6 200 km, b) 5 timer og c) klokka 12.55 i New York.
2/3	To av tre riktige.
1/3	Ett av tre riktige.
0/3	Ingen riktige.

Sensor-tips

I b) viser det vannrette stykket at flyet står i ro. Tiden er forskjellen på slutt og start i det stykket, ikke tiden til flyet starter igjen.
I c) er det lett å legge til 6 timer i stedet for å trekke fra. New York ligger vest for Oslo, så klokka der er tidligere.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2019, Del 2, Oppgave 2

Utdanningsdirektoratet

Vår 2019, Del 2 – Oppgave 5

Med hjelpemidler – 5 poeng

En bedrift lager og selger inntil 2000 T-skjorter hver dag. Dersom bedriften lager og selger $x$ T-skjorter, er inntektene $I(x)$ kroner, der

$I(x) = 60x$

a) Hva er prisen for en T-skjorte?
b) Tegn grafen til funksjonen $I$ for $0 \leq x \leq 2000$ .

Kostnadene $K(x)$ kroner for å lage T-skjortene er gitt ved

$K(x) = 0{,}02x^2 + 31x + 5000$

c) Tegn grafen til funksjonen $K$ for $0 \leq x \leq 2000$ i samme koordinatsystem som du brukte i oppgave b).
d) Hvor mange T-skjorter må bedriften lage og selge en dag for at inntektene skal være høyere enn kostnadene?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne prisen for en T-skjorte, tegne begge funksjonene i samme koordinatsystem, og finne når inntektene er høyere enn kostnadene.

Strategi og formel: Inntektsfunksjonen $I(x) = 60x$ er lineær, så prisen er stigningstallet. Vi tegner begge grafene (for hånd, med graftegner eller i GeoGebra) og finner skjæringspunktene. Inntektene er høyere enn kostnadene mellom skjæringspunktene, altså der $I(x) > K(x)$ .

Trinnvis utregning:

a) $I(x) = 60x$ gir $60$ kroner per T-skjorte
b) og c) grafene er tegnet i figuren under: $I$ er en rett linje gjennom origo, og $K$ er en parabel som starter i $5\ 000$
d) $I(x) = K(x)$ : $60x = 0{,}02x^2 + 31x + 5000$
$0{,}02x^2 - 29x + 5000 = 0$
$x = 200$ eller $x = 1\ 250$
mellom skjæringspunktene ligger linja over parabelen, så $I(x) > K(x)$ for $200 < x < 1\ 250$

Svar: a) En T-skjorte koster 60 kroner. d) Inntektene er høyere enn kostnadene når bedriften lager og selger mellom 201 og 1 249 T-skjorter per dag ( $200 < x < 1\ 250$ ).

Sensorveiledning og poengkrav (maks 5 poeng)

Poeng	Krav
5/5	Riktig pris (a), begge grafene riktig tegnet i samme koordinatsystem (b og c), og riktig intervall 200 < x < 1 250 (d).
3-4/5	Riktige grafer og riktig pris, men intervallet i d) er bare delvis riktig (f.eks. bare ett skjæringspunkt).
1-2/5	Riktig pris og én riktig graf.
0/5	Ingen riktige deler.

Sensor-tips

Skjæringspunktene er $x = 200$ og $x = 1\ 250$ . For heltall $x$ er inntektene høyere enn kostnadene for $x$ fra 201 til 1 249.
Parabelen $K$ ligger over linja for $x < 200$ og for $x > 1\ 250$ . Bedriften taper altså penger både ved svært lav og ved svært høy produksjon.
Ved $x = 2000$ er $I = 120\ 000$ og $K = 147\ 000$ . Sjekk gjerne med innsetting at verdiene stemmer med grafen.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2019, Del 2, Oppgave 5

Utdanningsdirektoratet

Vår 2018, Del 1 – Oppgave 13

Uten hjelpemidler – 2 poeng

På lørdager selger David aviser. Han har en fastlønn på 50 kroner. I tillegg får han 5 kroner per avis han selger.

a) En lineær funksjon som viser sammenhengen mellom antall solgte aviser ( $x$ ) og lønn ( $y$ ), kan uttrykkes som
- $y = x + 50$
- $y = 5x + 50$
- $y = 50x + 5$
- $y = 55x$
b) Tegn en graf som viser sammenhengen mellom antall solgte aviser ( $x$ ) og lønn ( $y$ ).

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne funksjonsuttrykket for Davids lønn og tegne grafen.

Strategi og formel: Fastlønnen er startverdien, og 5 kroner per avis er stigningstallet. Det gir $y = 5x + 50$ . Grafen er en rett linje som starter i $(0, 50)$ og stiger 5 for hver avis.

Trinnvis utregning:

a) fastlønn $50$ kroner er konstantleddet og $5$ kroner per avis er stigningstallet
$y = 5x + 50$
b) punkter: $x = 0$ gir $y = 50$ og $x = 10$ gir $y = 5 \cdot 10 + 50 = 100$
grafen er en rett linje gjennom $(0, 50)$ og $(10, 100)$ (se figuren)

y = 5x + 50

Svar: a) $y = 5x + 50$ . b) Grafen er en rett linje gjennom $(0, 50)$ og $(10, 100)$ .

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	a) $y = 5x + 50$ og b) en rett linje som starter i (0, 50) med stigning 5.
1/2	a) riktig, men grafen er feil eller mangler (eller omvendt).
0/2	Ingen riktige svar.

Sensor-tips

$y = 50x + 5$ har byttet om fastlønn og provisjon. Sjekk med $x = 0$ : lønnen er 50 kroner da.
Grafen skal ikke gå gjennom origo. David får 50 kroner selv om han ikke selger noen aviser.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2018, Del 1, Oppgave 13

Utdanningsdirektoratet

Vår 2018, Del 2 – Oppgave 2

Med hjelpemidler – 3 poeng

Eva og Peter padler fra roklubben til en øy. Der går de i land sammen og tar en pause før de padler tilbake.

Diagrammet nedenfor viser sammenhengen mellom tid og avstand fra roklubben.

a) Hvor langt er det fra roklubben til øya?
b) Eva og Peter startet ved roklubben klokken 10.30.

Hva var klokken da de kom tilbake til roklubben?
c) Bestem gjennomsnittsfarten deres fra øya til roklubben.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal lese av avstanden til øya, finne klokkeslettet da de var tilbake, og regne ut gjennomsnittsfarten tilbake.

Strategi og formel: Vi leser av grafen. De er på øya når linjen er vannrett på høyeste nivå, og tilbake når grafen er på 0. Gjennomsnittsfart er strekning delt på tid.

Trinnvis utregning:

a) grafen flater ut på $4$ km
øya ligger $4$ km fra roklubben
b) de er tilbake ved $100$ minutter
$100$ minutter er $1$ time og $40$ minutter
klokka 10.30 pluss 1 time og 40 minutter er klokka 12.10
c) fra øya: de forlater øya etter $60$ minutter og er tilbake etter $100$ minutter
tid: $100 - 60 = 40$ minutter $= \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ time
fart: $4\ \text{km} : \frac{2}{3}\ \text{time} = 6$ km/h

Svar: a) Det er 4 km til øya. b) Det var klokka 12.10 da de kom tilbake. c) Gjennomsnittsfarten fra øya er 6 km/h.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 3 poeng)

Poeng	Krav
3/3	a) 4 km, b) klokka 12.10 og c) 6 km/h.
2/3	To av tre riktige.
1/3	Ett av tre riktige.
0/3	Ingen riktige.

Sensor-tips

I b) er det vanlig å skrive klokka 11.70 eller klokka 12.00. Legg til 100 minutter ved å dele opp: 1 time og 40 minutter.
I c) er tiden 40 minutter, ikke 100. De forlater øya ved 60 minutter, ikke ved 0.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2018, Del 2, Oppgave 2

Utdanningsdirektoratet

Vår 2018, Del 2 – Oppgave 5

Med hjelpemidler – 5 poeng

Christian kaster en basketball mot en basketballkurv. En funksjon $h$ som beskriver kastet der basketballen lander i basketballkurven, er gitt ved

$h(x) = -0{,}20x^2 + 1{,}19x + 2{,}00$

Her viser $h(x)$ hvor mange meter basketballen er over bakken når basketballen er $x$ meter fra Christian, målt langs bakken. Se skissen nedenfor.

a) Tegn grafen for $0 \leq x \leq 5$
b) Bestem grafisk hvor høyt over bakken basketballen er idet den forlater hånden til Christian.
c) Bestem grafisk hvor høyt over bakken basketballen er i det høyeste punktet.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal tegne grafen til $h$ og lese av høyden ved kastet og høyden i toppunktet.

Strategi og formel: Vi tegner grafen for $0 \leq x \leq 5$ (verditabell eller graftegner). Høyden ved kastet er startverdien, altså $h(0)$ . Det høyeste punktet er toppunktet til parabelen.

Trinnvis utregning:

a) verditabell og graf: $h(0) = 2{,}00$ , $h(1) = 2{,}99$ , $h(2) = 3{,}58$ , $h(3) = 3{,}77$ , $h(4) = 3{,}56$ , $h(5) = 2{,}95$ (se figuren)
b) $x = 0$ gir $h(0) = 2{,}00$
ballen forlater hånden i $2{,}00$ m høyde
c) toppunktet ligger ved $x = \frac{1{,}19}{2 \cdot 0{,}20} \approx 2{,}98$
$h(2{,}98) \approx 3{,}77$
det høyeste punktet er ca. $3{,}77$ m over bakken

y = -0.2x² + 1.19x + 2

Svar: b) Ballen er $2{,}00$ m over bakken når den forlater hånden. c) Ballen er høyest i $3{,}77$ m, når $x \approx 2{,}98$ m fra Christian.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 5 poeng)

Poeng	Krav
5/5	Riktig graf (a), 2,00 m (b) og ca. 3,77 m (c).
3-4/5	Riktig graf og ett av svarene riktig.
1-2/5	Delvis riktig graf eller ett svar riktig.
0/5	Ingen riktige deler.

Sensor-tips

Høyden ved kastet er verdien der $x = 0$ , ikke der $x = 5$ . Ved $x = 5$ er ballen i kurven, og da er høyden 2,95 m.
Toppunktet er ikke nødvendigvis midt på intervallet: det ligger ved $x \approx 2{,}98$ , litt til venstre for midten ved $2{,}5$ ... men her er det nesten midt i, fordi parabelen er symmetrisk om denne linja.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2018, Del 2, Oppgave 5

Utdanningsdirektoratet

Vår 2026, Del 1 – Oppgave 6

Uten hjelpemidler – 1 poeng

En kalv veies hver måned fra den blir født til den er seks måneder gammel. Vekten er vist i diagrammet nedenfor.

Bestem stigningstallet til grafen ovenfor, og forklar hva stigningstallet forteller om kalvens vektøkning i perioden.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne stigningstallet til grafen og forklare hva det betyr for kalvens vekt.

Strategi og formel: Stigningstallet er endring i $y$ delt på endring i $x$ . Vi bruker to punkter på linja og forklarer hva tallet betyr med enhet.

Trinnvis utregning:

punktene $(0, 40)$ og $(6, 280)$ ligger på linja
endring i vekt: $280 - 40 = 240$ kg
endring i tid: $6 - 0 = 6$ måneder
stigningstall: $\frac{240}{6} = 40$
kalven går opp $40$ kg per måned

Svar: Stigningstallet er 40. Det betyr at kalven i gjennomsnitt øker 40 kg per måned de første seks månedene.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Stigningstallet 40 med utregning, og en forklaring som sier at kalven øker 40 kg per måned.
0/1	Feil stigningstall eller uten forklaring av hva det betyr.

Sensor-tips

Stigningstallet har en enhet: kg per måned. En forklaring som bare sier «vekten øker» er ikke nok.
Punktene på linja er ikke nøyaktig på linja (for eksempel $(2, 125)$ ligger litt over), så bruk de to ytterpunktene $(0, 40)$ og $(6, 280)$ .

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2026, Del 1, Oppgave 6

Utdanningsdirektoratet

Vår 2026, Del 2 – Oppgave 4

Med hjelpemidler – 2 poeng

En elevbedrift solgte til sammen 131 kakestykker og boller for 3 210 kroner. Et kakestykke kostet 30 kroner, og en bolle kostet 20 kroner.

Lag et ligningssett og finn ut hvor mange kakestykker og hvor mange boller elevbedriften solgte.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal sette opp et likningssett og finne antall kakestykker og antall boller.

Strategi og formel: La $x$ være antall kakestykker og $y$ antall boller. Antallet gir én likning, og inntekten gir en annen. Vi løser likningssettet med innsetting (eller grafisk/CAS).

Trinnvis utregning:

antall: $x + y = 131$
inntekt: $30x + 20y = 3\ 210$
fra første likning: $y = 131 - x$
setter inn i andre: $30x + 20(131 - x) = 3\ 210$
$30x + 2\ 620 - 20x = 3\ 210$
$10x = 590$
$x = 59$
$y = 131 - 59 = 72$
kontroll: $30 \cdot 59 + 20 \cdot 72 = 1\ 770 + 1\ 440 = 3\ 210$

Svar: Elevbedriften solgte 59 kakestykker og 72 boller.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Riktig likningssett (1 poeng) og riktig antall kakestykker og boller (1 poeng).
1/2	Riktig likningssett, men feil løsning, eller riktig løsning uten at likningssettet er satt opp.
0/2	Verken riktig likningssett eller riktig løsning.

Sensor-tips

Sensor: 1 poeng for korrekt likningssett og 1 poeng for korrekt antall.
Kontroller alltid svaret ved å sette inn i begge likningene: $59 + 72 = 131$ og $30 \cdot 59 + 20 \cdot 72 = 3\ 210$ .

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2026, Del 2, Oppgave 4

Utdanningsdirektoratet

Vår 2023, Del 1 – Oppgave 1

Uten hjelpemidler

To slikkepinner og to sjokolader koster 32 kr. Fire slikkepinner og to sjokolader koster 44 kr.

Hvor mye koster en slikkepinne? Vis hvordan du tenker her:

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne prisen på en slikkepinne.

Strategi og formel: Forskjellen mellom de to handlekurvene er to slikkepinner, siden begge har like mange sjokolader. Forskjellen i pris er prisen på to slikkepinner.

Trinnvis utregning:

fire slikkepinner og to sjokolader: $44$ kr
to slikkepinner og to sjokolader: $32$ kr
forskjellen er to slikkepinner: $44 - 32 = 12$ kr
én slikkepinne: $12 : 2 = 6$ kr
kontroll: to sjokolader koster $32 - 12 = 20$ kr, altså $10$ kr per sjokolade

Svar: En slikkepinne koster 6 kroner.

Vurdering

Poeng	Krav
1/1	Svarer 6 kroner med forklaring.
0/1	Feil pris eller svar uten framgangsmåte.

Sensor-tips

Udir har ikke oppgitt poeng for denne oppgaven. Vurderingen over er Numisums egen.
Likningssett: la $s$ være slikkepinne og $k$ sjokolade. $2s + 2k = 32$ og $4s + 2k = 44$ . Trekker en den første fra den andre får en $2s = 12$ .

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2023, Del 1, Oppgave 1

Utdanningsdirektoratet

Vår 2023, Del 1 – Oppgave 6

Uten hjelpemidler

Jenny kjørte fra hjemmet sitt til hytta. Nedenfor er en grafisk framstilling av sammenhengen mellom tiden (timer) og strekningen (km) for turen til Jenny.

Bestem stigningstallet til funksjonen, og forklar sammenhengen mellom stigningstallet og Jennys gjennomsnittsfart.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne stigningstallet til grafen og forklare hva det forteller om farten.

Strategi og formel: Stigningstallet er endring i strekning delt på endring i tid. Det er det samme som gjennomsnittsfarten, fordi fart er strekning per tid.

Trinnvis utregning:

punktene $(0, 0)$ og $(0{,}9, 54)$ ligger på linja
endring i strekning: $54 - 0 = 54$ km
endring i tid: $0{,}9 - 0 = 0{,}9$ timer
stigningstall: $\frac{54}{0{,}9} = 60$
enhet: km per time

Svar: Stigningstallet er 60. Det er det samme som Jennys gjennomsnittsfart: hun kjørte i 60 km/h i gjennomsnitt.

Vurdering

Poeng	Krav
1/1	Stigningstall 60 med utregning, og en forklaring som sier at stigningstallet er gjennomsnittsfarten (60 km/h).
0/1	Feil stigningstall, eller ingen forklaring av sammenhengen med fart.

Sensor-tips

Udir har ikke oppgitt poeng for denne oppgaven. Vurderingen over er Numisums egen.
Stigningstallet må ha enhet. Her er $y$ i km og $x$ i timer, så enheten er km per time, som er enheten for fart.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2023, Del 1, Oppgave 6

Utdanningsdirektoratet

Vår 2023, Del 2 – Oppgave 1

Med hjelpemidler

Den grafiske framstillingen nedenfor viser sammenhengen mellom tid (minutter) og hvor mye det koster å leie el-sparkesykkel hos de to utleiefirmaene Flex (blå graf) og Wheele (rød graf).

Bruk den grafiske fremstillingen til å forklare hva det koster å leie en sparkesykkel fra Flex og Wheele.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal bruke grafene til å forklare hva det koster å leie hos Flex og hos Wheele.

Strategi og formel: Hver graf er en rett linje. Skjæringspunktet med $y$ -aksen er startprisen, og stigningstallet er prisen per minutt. Vi sammenligner hvor linjene krysser hverandre.

Trinnvis utregning:

Flex: starter i $100$ kr og passerer $(100, 300)$
stigningstall $\frac{300 - 100}{100} = 2$ kr per minutt
Flex: $y = 2x + 100$
Wheele: starter i $50$ kr og passerer $(100, 300)$
stigningstall $\frac{300 - 50}{100} = 2{,}5$ kr per minutt
Wheele: $y = 2{,}5x + 50$
grafene krysser hverandre i $A = (100, 300)$
før $100$ minutter er Wheele billigst, etter $100$ minutter er Flex billigst

Svar: Flex koster 100 kr i startpris pluss 2 kr per minutt ( $y = 2x + 100$ ), og Wheele koster 50 kr i startpris pluss 2,50 kr per minutt ( $y = 2{,}5x + 50$ ). Leier en under 100 minutter, er Wheele billigst. Leier en lenger, er Flex billigst. Ved 100 minutter koster begge 300 kr.

Vurdering

Poeng	Krav
Fullt svar	Forklarer startpris og pris per minutt for begge firmaene (Flex 100 kr + 2 kr/min, Wheele 50 kr + 2,50 kr/min), og sammenligner dem med skjæringspunktet (100 min, 300 kr).
Delvis svar	Forklarer ett av firmaene, eller leser av punkter uten å forklare startpris og pris per minutt.
Lite eller ingen	Ingen riktig tolkning av grafene.

Sensor-tips

Udir har ikke oppgitt poeng for denne oppgaven. Vurderingen over er Numisums egen.
Startprisen er verdien ved $x = 0$ , ikke ved første minutt. Begge linjene starter på $y$ -aksen, ved 100 og 50 kr.
Stigningstallet ( $2$ og $2{,}5$ ) har enheten kr per minutt.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2023, Del 2, Oppgave 1

Utdanningsdirektoratet

Vår 2017, Del 2 – Oppgave 6

Med hjelpemidler – 5 poeng

a) En bil har en gjennomsnittsfart på 60 km/h.

Hvor langt kan bilen kjøre på 1,5 h?

Bremselengden $s$ målt i meter for en bil er gitt ved formelen

$s = \dfrac{v^2}{19{,}62 \cdot f}$

$v$ er farten til bilen målt i meter per sekund (m/s)
$f$ er et friksjonstall, dette avhenger av veidekket
b) En bil kjører på tørr asfalt. Da er $f = 0{,}9$ . Farten er 21 m/s. Så bremser bilen.

Bruk formelen ovenfor og vis at bremselengden til bilen er ca. 25 m.
c) En bil kjører på våt asfalt. Da er $f = 0{,}6$ . Så bremser bilen, og bremselengden er 15 m.

Bruk formelen ovenfor til å bestemme farten til bilen.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne strekningen bilen kjører på 1,5 timer, vise bremselengden på tørr asfalt, og finne farten når bremselengden på våt asfalt er 15 m.

Strategi og formel: I a) bruker vi strekning = fart ganger tid. I b) setter vi $v = 21$ og $f = 0{,}9$ inn i formelen. I c) setter vi inn $s = 15$ og $f = 0{,}6$ og løser likningen for $v$ .

Trinnvis utregning:

a) $60 \cdot 1{,}5 = 90$ km
b) $s = \frac{21^2}{19{,}62 \cdot 0{,}9} = \frac{441}{17{,}658} \approx 24{,}97$ m, altså ca. $25$ m
c) $15 = \frac{v^2}{19{,}62 \cdot 0{,}6}$
$v^2 = 15 \cdot 19{,}62 \cdot 0{,}6 = 176{,}58$
$v = \sqrt{176{,}58} \approx 13{,}3$ m/s

Svar: a) Bilen kan kjøre 90 km. b) Bremselengden er $24{,}97$ m, altså ca. 25 m. c) Farten er ca. $13{,}3$ m/s (omtrent 48 km/h).

Sensorveiledning og poengkrav (maks 5 poeng)

Poeng	Krav
5/5	a) 90 km, b) vist at s er ca. 25 m, og c) farten ca. 13,3 m/s.
3-4/5	To av tre riktige, eller alle med mindre feil.
1-2/5	Ett av tre riktige, eller riktig innsetting i formelen uten å løse.
0/5	Ingen riktige deler.

Sensor-tips

I c) er $v$ ukjent og står i andre potens. Flytt faktorene over på andre siden, og ta kvadratroten til slutt.
Farten i formelen er i m/s. For å gjøre om til km/h ganger en med 3,6: $13{,}3 \cdot 3{,}6 \approx 48$ km/h.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2017, Del 2, Oppgave 6

Utdanningsdirektoratet

Vår 2012, Del 2 – Oppgave 3

Med hjelpemidler – 4 poeng

Stefan betaler 225 kroner per hårklipp hos frisøren.

a) Sett opp en funksjon som viser Stefans frisørutgifter $y$ etter $x$ hårklipp.
b) Tegn grafen til $y$ på papir eller med digital graftegner for $0 \leq x \leq 12$

Stefan kjøper seg en klippemaskin til 990 kroner og bruker denne i stedet for å gå til frisøren.

c) Bruk grafen til å bestemme hvor mange ganger Stefan må klippe seg med klippemaskinen før han har spart den inn. Marker avlesningen på grafen.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal sette opp en funksjon for frisørutgiftene, tegne grafen og lese av når 990 kroner er spart inn.

Strategi og formel: Utgiften er 225 kroner for hver klipp, så funksjonen er proporsjonal. Vi finner skjæringen mellom grafen og linjen $y = 990$ .

Trinnvis utregning:

a) 225 kroner for hver klipp
$y = 225x$
b) punkter: $(0, 0)$ og $(12, 2\ 700)$ , grafen er en rett linje gjennom origo
c) maskinen koster 990 kr
leser av der grafen krysser $y = 990$
$x \approx 4{,}4$
regning som kontroll: $990 : 225 = 4{,}4$
etter 4 klipp er $4 \cdot 225 = 900$ kr spart, mindre enn 990
etter 5 klipp er $5 \cdot 225 = 1\ 125$ kr spart

Svar: a) Funksjonen er $y = 225x$ . c) Stefan må klippe seg 5 ganger med maskinen før han har spart den inn (grafen krysser 990 ved $x \approx 4{,}4$ ).

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)

Poeng	Krav
4/4	Funksjon, graf og avlesning riktig, med avlesningen markert på grafen.
3/4	Funksjon og graf riktig, men svar i c) mangler markering eller er ikke avrundet til hele klipp.
2/4	Riktig funksjon, men feil graf eller feil avlesning.
1/4	Bare riktig funksjon.
0/4	Ingen riktige deler.

Sensor-tips

Grafen starter i origo: ingen klipp gir null kroner i utgifter.
Svaret er ikke 4,4 klipp i praksis. Klippemaskinen er spart inn først etter 5 klipp.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2012, Del 2, Oppgave 3

Utdanningsdirektoratet

Eksempeloppgave høst 2021, Del 2 – Oppgave 6

Eirik har laget en graf som viser sammenhengen mellom euro og norske kroner.

Funksjonsuttrykket til grafen er $y = 10{,}27x$ .

Gi en forklaring på funksjonsuttrykket, der du forklarer hva 10,27 og hva $x$ betyr.

y = 10.27x + 0

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal forklare hva tallet 10,27 og variabelen $x$ betyr i funksjonsuttrykket.

Strategi og formel: Grafen er en rett linje gjennom origo, så funksjonen er proporsjonal. Vi tolker stigningstallet og variablene ut fra enhetene på aksene.

Trinnvis utregning:

x-aksen viser euro, og y-aksen viser norske kroner
$x$ er antall euro
$y$ er det samme beløpet i norske kroner
stigningstallet $10{,}27$ viser hvor mange kroner $y$ øker med når $x$ øker med 1 euro
1 euro koster altså 10,27 kroner (valutakursen)
kontroll: $x = 100$ gir $y = 10{,}27 \cdot 100 = 1\ 027$ kroner, som stemmer med grafen

Svar: $x$ er antall euro, og $10{,}27$ er kursen: 1 euro koster 10,27 norske kroner. $y$ er beløpet i norske kroner.

Vurdering

Poeng	Krav
Full	Forklarer at $x$ er antall euro og at 10,27 er prisen i kroner for 1 euro (stigningstall/kurs).
Delvis	Forklarer bare én av delene.
Ingen	Ingen riktig forklaring.

Sensor-tips

Stigningstallet er endringen i $y$ når $x$ øker med 1. Her er det antall kroner du får for 1 euro.
Grafen går gjennom origo fordi 0 euro er 0 kroner. Det gir en proporsjonal sammenheng.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksempeloppgave til eksamen på ungdomstrinnet, Høst 2021, Del 2, Oppgave 6

Utdanningsdirektoratet

Eksempeloppgave vår 2009, Del 2 – Oppgave 5

En av bakkene i berg- og dalbanen er 15 meter høy.

Farten som toget får når det kjører ned bakken, kan regnes ut etter denne formelen:

y = 1 + $\sqrt{20x}$

$y$ = farten målt i m/s.
$x$ = loddrett avstand mellom midterste vogn og toppen av bakken.
a) Hvor stor er farten til toget når den midterste vogna er 10 meter under toppen av bakken?
b) Lag en verditabell og tegn en graf som viser sammenhengen mellom farten til toget og loddrett avstand fra toppen. Hva er togets største fart?

$x$	0	2	4	6	8	10	12	14	15
$y$				12,0					18,3

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal regne ut farten for $x = 10$ , lage en verditabell, tegne grafen og finne største fart.

Strategi og formel: Vi setter $x$ -verdiene inn i formelen med kalkulator, setter punktene inn i et koordinatsystem og tegner en glatt kurve. Farten er størst nederst i bakken, der $x = 15$ .

Trinnvis utregning:

a) $y = 1 + \sqrt{20 \cdot 10} = 1 + \sqrt{200} = 1 + 14{,}14 = 15{,}14$ m/s
b) $x = 0$ : $y = 1$
$x = 2$ : $1 + \sqrt{40} = 7{,}32$
$x = 4$ : $1 + \sqrt{80} = 9{,}94$
$x = 8$ : $1 + \sqrt{160} = 13{,}65$
$x = 12$ : $1 + \sqrt{240} = 16{,}49$
$x = 14$ : $1 + \sqrt{280} = 17{,}73$
$x = 15$ : $1 + \sqrt{300} = 18{,}32$
farten øker med $x$ , og bakken er 15 m høy, så største fart er ved $x = 15$

Verditabell
x (meter)	0	2	4	6	8	10	12	14	15
y (m/s)	1,0	7,3	9,9	12,0	13,6	15,1	16,5	17,7	18,3

Svar: a) Farten er ca. $15{,}1$ m/s. b) Største fart er ca. $18{,}3$ m/s, nederst i bakken.

Vurdering

Poeng	Krav
Riktig	a) ca. 15,1 m/s, b) riktig verditabell og graf, og største fart ca. 18,3 m/s.
Delvis	a) riktig og b) delvis riktig.
Feil	Ingen riktige deler.

Sensor-tips

Udirs eksempeloppgave 1 til eksamen våren 2009 (utgitt 2008). Poeng og karakterkrav er ikke oppgitt per oppgave her.
Grafen er ikke en rett linje. Den stiger raskt først og flater deretter ut, fordi kvadratroten vokser saktere og saktere.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksempeloppgave til eksamen på ungdomstrinnet, Vår 2009, Del 2, Oppgave 5