NumiSum

Stigningstall og lineære funksjoner

Stigningstallet aa i y=ax+by = ax + b forteller hvor mye yy endrer seg for hver økning på 1 i xx – altså ENDRING PER ENHET. For en strekning-tid-funksjon er stigningstallet nettopp GJENNOMSNITTSFARTEN.

Stigningstall mellom to punkter

a=y2−y1x2−x1a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

xy0.511.522.5350100150200(0, 0)
s = 60t (avstand i km, tid i timer)

Tips

  • Stigningstallet er ENDRING DELT PÅ ENDRING – alltid Δy\Delta y (endring i yy) delt på Δx\Delta x (endring i xx), aldri omvendt.
  • Et NEGATIVT stigningstall betyr at yy AVTAR når xx øker – f.eks. mengden bensin igjen på tanken mens du kjører.

Eksempel: Finne gjennomsnittsfarten som stigningstall

En bil har kjørt 60 km etter 1 time og 180 km etter 3 timer. Finn gjennomsnittsfarten (stigningstallet).

Regne ut stigningstallet
Tid (t)Avstand (km)
Punkt 1160
Punkt 23180
Endring (Δ)2120
Løsning:
  1. Vi har to punkter: (1 time, 60 km) og (3 timer, 180 km)
  2. vi bruker formelen for stigningstall: a=180−603−1a = \frac{180 - 60}{3 - 1}
  3. a=1202a = \frac{120}{2}
  4. svaret er a=60a = 60 km/t.
Alternativ forklaring/metode: Tell «opp og bortover» i grafen

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Lese stigningstallet direkte av grafen

Har du grafen tegnet, kan du lese av stigningstallet direkte: velg to punkter på linjen, tell hvor mange enheter grafen går OPP for hver enhet den går BORTOVER – dette gir samme svar som formelen, men er raskere når grafen allerede er tegnet nøyaktig.

Telle opp og bortover i grafen
RetningAntall enheter
Bortover1
Oppa (stigningstallet)

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11En funksjon går gjennom (0, 2) og (2, 10). Finn stigningstallet.

Vis fasit
Stigningstall fra (0,2) og (2,10)
PunktVerdi
Δy, Δx8, 2
a4

a = (10-2) : (2-0) = 8 : 2 = 4

L-12En funksjon går gjennom (1, 5) og (4, 5). Finn stigningstallet.

Vis fasit
Stigningstall fra (1,5) og (4,5)
PunktVerdi
Δy, Δx0, 3
a0

a = (5-5) : (4-1) = 0 : 3 = 0

L-13En bil kjører 150 km på 3 timer med konstant fart. Hva er gjennomsnittsfarten?

Vis fasit
Gjennomsnittsfart
StørrelseVerdi
Strekning150 km
Tid3 t
Fart50 km/t

150 km : 3 t = 50 km/t

Middels(3)

M-11En funksjon går gjennom (2, 8) og (5, 2). Finn stigningstallet.

Vis fasit
Stigningstall fra (2,8) og (5,2)
PunktVerdi
Δy, Δx-6, 3
a-2

a = (2-8) : (5-2) = -6 : 3 = -2

M-12En vannbeholder har 500 liter vann. Etter 4 timer med tapping er det 300 liter igjen. Hva er endringen per time (stigningstallet)?

Vis fasit
Endring per time for vannbeholder
StørrelseVerdi
Δvann-200 liter
Δtid4 t
a-50 liter/time

a = (300-500) : (4-0) = -200 : 4 = -50 liter/time

M-13En løper har tilbakelagt 2 km etter 10 minutter og 5 km etter 25 minutter. Finn gjennomsnittsfarten i km per minutt.

Vis fasit
Gjennomsnittsfart for løper
StørrelseVerdi
Δstrekning3 km
Δtid15 min
a0,2 km/min

a = (5-2) : (25-10) = 3 : 15 = 0,2 km/min

Vanskelig(3)

V-11En funksjon har stigningstall 3 og går gjennom punktet (2, 7). Finn funksjonens formel y=ax+by=ax+b.

Vis fasit
Finn b for stigningstall 3 gjennom (2,7)
StegVerdi
3*26
b (7=6+b)1
  1. 7 = 3*2 + b
  2. 7 = 6 + b
  3. b = 1, altså y = 3x + 1

V-12To løpere har farten 5 km/t og 6 km/t, og løper i 2 timer. Hvor mye lengre har den raskeste løpt (bruk stigningstall som fart)?

Vis fasit
Sammenligne to løpere etter 2 timer
LøperDistanse
1 (5 km/t)10 km
2 (6 km/t)12 km, differanse 2 km
  1. Løper 1: 5*2=10 km
  2. løper 2: 6*2=12 km
  3. differanse: 12-10 = 2 km

V-13Forklar hvorfor gjennomsnittsfarten over en hel tur kan avvike fra farten i hvert enkelt øyeblikk.

Vis fasit
Gjennomsnittsfart vs. øyeblikksfart
TypeViser
Gjennomsnittsfartkun start og slutt
Øyeblikksfartvariasjon underveis
  1. Stigningstallet mellom start- og sluttpunkt gir bare et GJENNOMSNITT, ikke informasjon om variasjonen underveis
  2. gjennomsnittsfart skjuler variasjon i faktisk fart