NumiSum

Stigningstall og lineære funksjoner

Stigningstallet aa i y=ax+by = ax + b forteller hvor mye yy endrer seg for hver økning på 1 i xx, altså ENDRING PER ENHET. For en strekning-tid-funksjon er stigningstallet nettopp GJENNOMSNITTSFARTEN.

Stigningstall mellom to punkter

a=y2−y1x2−x1a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

xy0.511.522.5350100150200(0, 0)
s = 60t (avstand i km, tid i timer)

Tips

  • Stigningstallet er ENDRING DELT PÅ ENDRING. Alltid Δy\Delta y (endring i yy) delt på Δx\Delta x (endring i xx), aldri omvendt.
  • Et NEGATIVT stigningstall betyr at yy AVTAR når xx øker, f.eks. mengden bensin igjen på tanken mens du kjører.

Eksempel: Finne gjennomsnittsfarten som stigningstall

En bil har kjørt 60 km etter 1 time og 180 km etter 3 timer. Finn gjennomsnittsfarten (stigningstallet).

Løsning:
  1. Vi har to punkter: (1 time, 60 km) og (3 timer, 180 km)
  2. vi bruker formelen for stigningstall: a=180−603−1a = \frac{180 - 60}{3 - 1}
  3. a=1202a = \frac{120}{2}
  4. svaret er a=60a = 60 km/t.
Regne ut stigningstallet
Tid (t)Avstand (km)
Punkt 1160
Punkt 23180
Endring (Δ)2120
Alternativ forklaring/metode: Tell «opp og bortover» i grafen

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Lese stigningstallet direkte av grafen

Har du grafen tegnet, kan du lese av stigningstallet direkte: velg to punkter på linjen, tell hvor mange enheter grafen går OPP for hver enhet den går BORTOVER. Dette gir samme svar som formelen, men er raskere når grafen allerede er tegnet nøyaktig.

Telle opp og bortover i grafen
RetningAntall enheter
Bortover1
Oppa (stigningstallet)

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11En funksjon går gjennom (0, 2) og (2, 10). Finn stigningstallet.

Vis fasit

a = (10-2) : (2-0) = 8 : 2 = 4

Stigningstall fra (0,2) og (2,10)
PunktVerdi
Δy, Δx8, 2
a4

L-12En funksjon går gjennom (1, 5) og (4, 5). Finn stigningstallet.

Vis fasit

a = (5-5) : (4-1) = 0 : 3 = 0

Stigningstall fra (1,5) og (4,5)
PunktVerdi
Δy, Δx0, 3
a0

L-13En bil kjører 150 km på 3 timer med konstant fart. Hva er gjennomsnittsfarten? Svar i km/t.

Vis fasit

150 km : 3 t = 50 km/t

Gjennomsnittsfart
StørrelseVerdi
Strekning150 km
Tid3 t
Fart50 km/t
Middels(3)

M-11En funksjon går gjennom (2, 8) og (5, 2). Finn stigningstallet.

Vis fasit

a = (2-8) : (5-2) = -6 : 3 = -2

Stigningstall fra (2,8) og (5,2)
PunktVerdi
Δy, Δx-6, 3
a-2

M-12En vannbeholder har 500 liter vann. Etter 4 timer med tapping er det 300 liter igjen. Hva er endringen per time (stigningstallet)?

Vis fasit

a = (300-500) : (4-0) = -200 : 4 = -50 liter/time

Endring per time for vannbeholder
StørrelseVerdi
Δvann-200 liter
Δtid4 t
a-50 liter/time

M-13En løper har tilbakelagt 2 km etter 10 minutter og 5 km etter 25 minutter. Finn gjennomsnittsfarten i km per minutt.

Vis fasit

a = (5-2) : (25-10) = 3 : 15 = 0,2 km/min

Gjennomsnittsfart for løper
StørrelseVerdi
Δstrekning3 km
Δtid15 min
a0,2 km/min
Vanskelig(3)

V-11En funksjon har stigningstall 3 og går gjennom punktet (2, 7). Finn funksjonens formel y=ax+by=ax+b.

Vis fasit
  1. 7 = 3*2 + b
  2. 7 = 6 + b
  3. b = 1, altså y = 3x + 1
Finn b for stigningstall 3 gjennom (2,7)
StegVerdi
3*26
b (7=6+b)1

V-12To løpere har farten 5 km/t og 6 km/t, og løper i 2 timer. Hvor mye lengre har den raskeste løpt (bruk stigningstall som fart)? Svar i km.

Vis fasit
  1. Løper 1: 5*2=10 km
  2. løper 2: 6*2=12 km
  3. differanse: 12-10 = 2 km
Sammenligne to løpere etter 2 timer
LøperDistanse
1 (5 km/t)10 km
2 (6 km/t)12 km, differanse 2 km

V-13Forklar hvorfor gjennomsnittsfarten over en hel tur kan avvike fra farten i hvert enkelt øyeblikk.

Vis fasit
  1. Stigningstallet mellom start- og sluttpunkt gir bare et GJENNOMSNITT, ikke informasjon om variasjonen underveis
  2. gjennomsnittsfart skjuler variasjon i faktisk fart
Gjennomsnittsfart vs. øyeblikksfart
TypeViser
Gjennomsnittsfartkun start og slutt
Øyeblikksfartvariasjon underveis