Eksponentialfunksjoner og vekstfaktor

Øker en verdi med SAMME PROSENT hver periode (ikke samme antall), kalles det eksponentiell vekst. Prosentvis endring omgjøres til en VEKSTFAKTOR: øker en verdi med 5 %, er vekstfaktoren $1 + 0,05 = 1,05$ . Minker den med 5 %, er vekstfaktoren $1 - 0,05 = 0,95$ .

Eksponentialfunksjon

$y = b \cdot a^x$

y = 20 000 * 1,05^x

Tips

Vekstfaktoren er ALLTID $1 \pm$ prosenten skrevet som desimaltall – en økning på 8 % gir vekstfaktor 1,08, en nedgang på 8 % gir vekstfaktor 0,92.
Prosentvis vekst gir RASKERE og RASKERE vekst over tid (multiplikativt), i motsetning til lineær vekst som legger til SAMME beløp hver gang.

Eksempel: Regne ut verdien etter flere år med prosentvis vekst

En vare koster 20 000 kr og øker i verdi med 5 % hvert år. Hva koster den etter 2 år?

Verdien år for år
År	Regning	Verdi
0	20 000	20 000 kr
1	20 000 * 1,05	21 000 kr
2	21 000 * 1,05	22 050 kr

Løsning:

Prisen øker med 5 % hvert år, så vekstfaktoren er $1 + 0,05 = 1,05$
etter 2 år bruker vi formelen $y = 20 000 \cdot 1,05^2$
$y = 20 000 \cdot 1,1025$
svaret er 22 050 kr.

Alternativ forklaring/metode: Gjenta multiplikasjonen ett år av gangen

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Regne år for år i stedet for å bruke potens

I stedet for å bruke formelen $y = b \cdot a^x$ direkte, kan du multiplisere med vekstfaktoren ETT år av gangen (som i tabellen over) – tregere for mange år, men gjør det tydelig HVORFOR eksponentiell vekst blir brattere og brattere: hvert års økning regnes av et allerede større tall.

Regne år for år, vekstfaktor 1,05
År	Verdi
0	20 000
1	21 000

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21En verdi øker med 10 % hvert år. Hva er vekstfaktoren?

Vis fasit

Vekstfaktor ved 10 % økning
Steg	Verdi
1 + 0,10	1,1

Vekstfaktor: 1 + 0,10 = 1,1

L-22En verdi minker med 20 % hvert år. Hva er vekstfaktoren?

Vis fasit

Vekstfaktor ved 20 % nedgang
Steg	Verdi
1 - 0,20	0,8

Vekstfaktor: 1 - 0,20 = 0,8

L-23En sum på 10 000 kr øker med vekstfaktor 1,1 i ett år. Hva er summen etter ett år?

Vis fasit

Sum etter vekstfaktor 1,1
Steg	Verdi
10 000 * 1,1	11 000 kr

10 000 * 1,1 = 11 000 kr

Middels(3)

M-21En by har 8 000 innbyggere og vokser med 3 % per år. Hvor mange innbyggere er det etter 2 år?

Vis fasit

Befolkningsvekst 3 % i 2 år
Steg	Verdi
Vekstfaktor	1,03
8 000 * 1,03^2	8 487

8 000 innbyggere øker 3 % per år, vekstfaktor 1,03
8 000 * 1,03^2 = 8 000 * 1,0609 = 8 487

M-22En bils verdi synker med 15 % per år fra 200 000 kr. Hva er verdien etter 2 år?

Vis fasit

Bilverdi etter 2 år, 15 % nedgang
Steg	Verdi
Vekstfaktor	0,85
200 000 * 0,85^2	144 500 kr

200 000 kr synker 15 % per år, vekstfaktor 0,85
200 000 * 0,85^2 = 200 000 * 0,7225 = 144 500 kr

M-23En sum dobler seg fra 5 000 kr til 10 000 kr på ett år. Hva er vekstfaktoren, og hvor mange prosent er økningen?

Vis fasit

Vekstfaktor ved dobling
Steg	Verdi
10 000 : 5 000	2, altså 100 % økning

10 000 : 5 000 = 2
vekstfaktoren er 2, som tilsvarer en økning på 100 %

Vanskelig(3)

V-21En verdi på 50 000 kr øker med 4 % per år i 3 år. Finn verdien etter 3 år (avrund til nærmeste hele krone).

Vis fasit

Verdi etter 3 år, 4 % vekst
Steg	Verdi
Vekstfaktor	1,04
50 000 * 1,04^3	56 243 kr

50 000 kr øker 4 % per år i 3 år, vekstfaktor 1,04
50 000 * 1,04^3 = 50 000 * 1,124864 = 56 243 kr

V-22En verdi vokser fra 4 000 til 4 840 på 2 år med konstant prosentvis vekst. Finn vekstfaktoren per år.

Vis fasit

Vekstfaktor per år fra 4 000 til 4 840
Steg	Verdi
4 840 : 4 000	1,21 (over 2 år)
Kvadratroten av 1,21	1,1 per år

4 840 : 4 000 = 1,21, som er vekstfaktoren over 2 år
kvadratroten av 1,21 = 1,1 per år (10 % vekst)

V-23Forklar hvorfor en lineær funksjon med stort stigningstall kan være STØRRE enn en eksponentialfunksjon i starten, men til slutt bli forbikjørt.

Vis fasit

Additiv vs. multiplikativ vekst
Type	Tillegg
Lineær	samme hver gang
Eksponentiell	vokser med verdien

Lineær vekst er ADDITIV (samme tillegg), eksponentiell vekst er MULTIPLIKATIV (tillegget vokser med selve verdien)
eksponentiell vekst tar til slutt igjen enhver lineær vekst