Sammenligne og modellere med funksjoner

Skal du beskrive en ekte situasjon med en funksjon, må du først velge riktig FUNKSJONSTYPE: er endringen den samme hver gang (lineær), eller er den PROSENTVIS den samme hver gang (eksponentiell)? Digitale verktøy (som GeoGebra) gjør det raskt å sammenligne flere funksjonstyper mot samme datasett.

Skrive inn og sammenligne to modeller i GeoGebra

f(x)=10 000+500x og g(x)=10 000*1.05^x

Tips

Sjekk dataene dine: er DIFFERANSEN mellom påfølgende verdier konstant, er funksjonen lineær. Er FORHOLDET mellom påfølgende verdier konstant, er den eksponentiell.
En modell er sjelden perfekt – vurder om funksjonstypen gir svar som virker RIMELIGE for hele det tidsrommet du bruker den i, ikke bare de første punktene.
I GeoGebra skriver du begge modellene inn i inntastingsfeltet – f(x)=10 000+500x for det faste innskuddet, g(x)=10 000*1.05^x for renten (husk punktum, ikke komma, i desimaltall). Begge grafene tegnes med én gang, og du kan lese av eller bruke Skjæring(f,g) for å finne nøyaktig når den ene modellen tar igjen den andre – raskere og mer nøyaktig enn å regne ut mange år for hånd.

Eksempel: Velge riktig modell for en sparekonto

En sparekonto med 10 000 kr får ENTEN 500 kr i fast innskudd hvert år, ELLER 5 % rente hvert år. Hvilken vokser raskest etter 10 år?

Lineær mot eksponentiell vekst over tid
År	Fast innskudd (lineær)	5% rente (eksponentiell)
0	10 000 kr	10 000 kr
5	12 500 kr	12 763 kr
10	15 000 kr	16 289 kr

Løsning:

Med fast innskudd (lineær modell) er beløpet etter 10 år $10 000 + 500 \cdot 10 = 15 000$ kr
med 5 % rente (eksponentiell modell) er beløpet $10 000 \cdot 1,05^{10} \approx 16 289$ kr
svaret er renten (eksponentiell modell) gir mest etter 10 år, 16 289 kr mot 15 000 kr.

Alternativ forklaring/metode: Test dataene før du velger modell

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Sjekke differanse og forhold i en tabell

Har du en tabell med data, regn ut differansen OG forholdet mellom hvert par av påfølgende verdier. Er differansen konstant, er lineær modell riktig. Er forholdet konstant, er eksponentiell modell riktig – denne testen fungerer uansett hvilken situasjon dataene kommer fra.

Teste differanse og forhold
Test	Betyr
Differanse konstant	lineær
Forhold konstant	eksponentiell

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31En tabell viser verdiene 10, 15, 20, 25 for hvert år. Er dette lineær eller eksponentiell vekst?

Vis fasit

Verdier: 10,15,20,25
Ledd	Differanse
10 → 15 → 20 → 25	konstant 5, lineær

Fra 10 til 15 til 20 til 25 er differansen mellom hvert tall konstant (5)
lineær vekst

L-32En tabell viser verdiene 10, 20, 40, 80 for hvert år. Er dette lineær eller eksponentiell vekst?

Vis fasit

Verdier: 10,20,40,80
Ledd	Forhold
10 → 20 → 40 → 80	konstant 2, eksponentiell

Fra 10 til 20 til 40 til 80 er forholdet mellom hvert tall konstant (2)
eksponentiell vekst

L-33Hvilken modell passer best til «befolkningen øker med 2 % hvert år»?

Vis fasit

Befolkningsvekst 2 % per år
Endringstype	Modell
Prosentvis	eksponentiell

En økning på 2 % hvert år er en PROSENTVIS endring
dette er alltid eksponentiell modell

Middels(3)

M-31En tabell viser verdiene 100, 90, 81, 72,9. Er dette lineær eller eksponentiell vekst?

Vis fasit

Verdier: 100,90,81,72,9
Ledd	Forhold
100 → 90 → 81 → 72,9	konstant 0,9, eksponentiell

Forholdet 90:100=0,9, 81:90=0,9, 72,9:81=0,9, konstant forhold
eksponentiell, vekstfaktor 0,9

M-32To sparekontoer starter begge på 5 000 kr. Konto A får 300 kr i året, konto B får 4 % rente i året. Hvilken har mest etter 3 år?

Vis fasit

Sammenligne konto A og B etter 3 år
Konto	Beløp
A (lineær, 300/år)	5 900 kr
B (4 % rente)	5 624,32 kr, A vinner

Konto A: 5 000+3003=5 900 kr. Konto B: 5 0001,04^3=5 000*1,124864=5 624,32 kr
konto A har mest etter 3 år

M-33Forklar hvorfor det er misvisende å bruke en lineær modell for befolkningsvekst over veldig lang tid.

Vis fasit

Lineær modell for befolkningsvekst
Modell	Problem
Lineær (konstant antall)	undervurderer over tid

Ekte befolkningsvekst følger ofte en prosentvis rate, ikke et konstant antall per år
lineær modell undervurderer eksponentiell vekst over tid

Vanskelig(3)

V-31En tabell viser verdiene 8, 11, 14, 17. Finn stigningstallet og formelen for funksjonen (y = ax + b, x=0 gir y=8).

Vis fasit

Verdier: 8,11,14,17
Del	Verdi
a (differanse)	3
b (x=0)	8, altså y=3x+8

Differanse konstant: 3, lineær med a=3, og x=0 gir y=8, altså b=8
y = 3x + 8

V-32En bakteriekultur dobler seg hver time og starter med 100 bakterier. Etter hvor mange timer passerer den 1 000 bakterier?

Vis fasit

Bakteriekultur dobler seg hver time
Time	Antall
1	200
2	400
3	800
4	1 600, over 1 000

1002=200 (1t), 2002=400 (2t), 4002=800 (3t), 8002=1 600 (4t)
første gang over 1 000 er etter 4 timer

V-33En bedrift har to vekstmodeller å velge mellom for prognoser: lineær (+50 000 kr/år) og eksponentiell (6 % vekst/år) fra samme startpunkt på 1 000 000 kr. Hvorfor kan modellvalget ha stor betydning etter 20 år, selv om de er ganske like de første årene?

Vis fasit

Lineær vs. eksponentiell etter 1 år
Modell	Verdi
Lineær (+50 000/år)	1 050 000
Eksponentiell (6 %)	1 060 000, forskjellen vokser

Etter 1 år: lineær 1 050 000, eksponentiell 1 060 000, ganske like
men eksponentiell vekst multipliserer et stadig større tall
forskjellen blir enorm over lang tid, selv om den er liten i starten