Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2017, Del 1 – Oppgave 21

Uten hjelpemidler – 1 poeng

På figuren nedenfor er $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ (formlike trekanter): trekant $ABC$ har $AC = 9$ , $CB = 6$ og vinkel $A = 40°$ , vinkel $C = 60°$ . Trekant $DEF$ har $FE = 9$ , $ED = 12$ og vinkel $F = 60°$ , vinkel $D = 40°$ .

Regn ut lengden $AB$ .

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne lengden $AB$ i den ene trekanten, ved hjelp av at de to trekantene er formlike.

Strategi og formel: Siden vinkel $A$ svarer til vinkel $D$ og vinkel $C$ svarer til vinkel $F$ , svarer de tilhørende sidene til hverandre parvis: $CB$ svarer til $FE$ , og $AB$ svarer til $DE$ . Vi finner først skalafaktoren $k$ fra det paret av sider vi kjenner begge av ( $CB$ og $FE$ ), og bruker den til å finne $AB$ fra $DE$ .

Trinnvis utregning:

$CB = 6$ svarer til $FE = 9$
skalafaktor $k = \frac{FE}{CB} = \frac{9}{6} = 1,5$
$AB$ svarer til $DE = 12$
$AB = \frac{DE}{k} = \frac{12}{1,5}$
$AB = 8$

Svar: $AB = 8$

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Finner $AB = 8$ , med riktig identifisert skalafaktor og korrekt svarende sidepar.
0/1	Feil svar, eller sammenligner sider som ikke svarer til hverandre (f.eks. bytter om på hvilken side som svarer til hvilken).

Sensor-tips

Den vanligste feilen er å parre sidene feil – f.eks. bruke $CB$ og $ED$ i stedet for $CB$ og $FE$ . Vinklene (40° og 60°) avslører hvilken vertex som svarer til hvilken: samme vinkel, samme bokstavposisjon i navnene $ABC$ og $DEF$ .
En elev som får $AB = 18$ har mest sannsynlig snudd brøken (multiplisert med $k$ i stedet for å dele på $k$ , eller omvendt) – sjekk at svaret gir mening: $DEF$ er STØRRE enn $ABC$ ( $k=1,5 > 1$ ), så $AB$ (i den minste trekanten) må være MINDRE enn $DE=12$ , ikke større.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2017, Del 1, Oppgave 21

Utdanningsdirektoratet

Vår 2022, Del 2 – Oppgave 2

Med hjelpemidler – 2 poeng

Figuren viser et stort kvadrat som er bygd opp av fire kongruente rektangler og et lite kvadrat. Omkretsen til hvert rektangel er 30 cm.

Argumenter for at omkretsen til det store kvadratet er 60 cm.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal argumentere for hvorfor omkretsen til det store kvadratet blir 60 cm, ut fra at det er bygd av fire kongruente rektangler.

Strategi og formel: Siden de fire rektanglene er kongruente, har de alle samme lengde $L$ og bredde $B$ . I «pinwheel»-mønsteret figuren viser, ligger én lang- og én kortside av hvert rektangel langs hver side av det store kvadratet, så sidelengden til det store kvadratet er nøyaktig $L + B$ – akkurat det samme uttrykket som inngår i omkretsformelen for rektangelet.

Trinnvis utregning:

Omkretsen til hvert rektangel er $2(L+B) = 30$
$L + B = 15$
siden i det store kvadratet er $L + B = 15$ cm (siden hver kvadratside settes sammen av én lang- og én kortside fra to rektangler)
omkretsen til det store kvadratet er $4 \cdot 15 = 60$ cm

Svar: Omkretsen til det store kvadratet er $4(L+B) = 4 \cdot 15 = 60$ cm

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Bruker at rektanglene er kongruente til å begrunne at $L+B=15$ , og kobler dette til at kvadratsiden er $L+B$ , med fullstendig argumentasjon frem til 60 cm.
1/2	Finner $L+B=15$ fra omkretsformelen, men mangler eller begrunner ikke godt nok hvorfor kvadratsiden er nøyaktig $L+B$ .
0/2	Ingen holdbar argumentasjon, eller påstanden er bare antatt uten begrunnelse.

Sensor-tips

Dette er en «argumenter for»-oppgave, ikke en ren regneoppgave – full poengsum krever at eleven FORKLARER hvorfor kvadratsiden er $L+B$ (fordi hver side av det store kvadratet er satt sammen av én lang- og én kortside fra to av de kongruente rektanglene), ikke bare regner ut $4 \cdot 15$ .
At rektanglene er KONGRUENTE (ikke bare formlike) er avgjørende for argumentet – uten det ville ikke alle fire sidene i det store kvadratet nødvendigvis blitt like lange, og figuren ville ikke vært et kvadrat i det hele tatt.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2022, Del 2, Oppgave 2