Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Numisum.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2017, Del 1 – Oppgave 21

Uten hjelpemidler – 1 poeng

På figuren nedenfor er $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ (formlike trekanter): trekant $ABC$ har $AC = 9$ , $CB = 6$ og vinkel $A = 40°$ , vinkel $C = 60°$ . Trekant $DEF$ har $FE = 9$ , $ED = 12$ og vinkel $F = 60°$ , vinkel $D = 40°$ .

Regn ut lengden $AB$ .

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne lengden $AB$ i den ene trekanten, ved hjelp av at de to trekantene er formlike.

Strategi og formel: Siden vinkel $A$ svarer til vinkel $D$ og vinkel $C$ svarer til vinkel $F$ , svarer de tilhørende sidene til hverandre parvis: $CB$ svarer til $FE$ , og $AB$ svarer til $DE$ . Vi finner først skalafaktoren $k$ fra det paret av sider vi kjenner begge av ( $CB$ og $FE$ ), og bruker den til å finne $AB$ fra $DE$ .

Trinnvis utregning:

$CB = 6$ svarer til $FE = 9$
skalafaktor $k = \frac{FE}{CB} = \frac{9}{6} = 1{,}5$
$AB$ svarer til $DE = 12$
$AB = \frac{DE}{k} = \frac{12}{1{,}5}$
$AB = 8$

Svar: $AB = 8$

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Finner $AB = 8$ , med riktig identifisert skalafaktor og korrekt svarende sidepar.
0/1	Feil svar, eller sammenligner sider som ikke svarer til hverandre (f.eks. bytter om på hvilken side som svarer til hvilken).

Sensor-tips

Den vanligste feilen er å parre sidene feil, f.eks. bruke $CB$ og $ED$ i stedet for $CB$ og $FE$ . Vinklene (40° og 60°) avslører hvilken vertex som svarer til hvilken: samme vinkel, samme bokstavposisjon i navnene $ABC$ og $DEF$ .
En elev som får $AB = 18$ har mest sannsynlig snudd brøken (multiplisert med $k$ i stedet for å dele på $k$ , eller omvendt): sjekk at svaret gir mening: $DEF$ er STØRRE enn $ABC$ ( $k=1{,}5 > 1$ ), så $AB$ (i den minste trekanten) må være MINDRE enn $DE=12$ , ikke større.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2017, Del 1, Oppgave 21

Utdanningsdirektoratet

Vår 2022, Del 2 – Oppgave 2

Med hjelpemidler – 2 poeng

Figuren viser et stort kvadrat som er bygd opp av fire kongruente rektangler og et lite kvadrat. Omkretsen til hvert rektangel er 30 cm.

Argumenter for at omkretsen til det store kvadratet er 60 cm.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal argumentere for hvorfor omkretsen til det store kvadratet blir 60 cm, ut fra at det er bygd av fire kongruente rektangler.

Strategi og formel: Siden de fire rektanglene er kongruente, har de alle samme lengde $L$ og bredde $B$ . I «pinwheel»-mønsteret figuren viser, ligger én lang- og én kortside av hvert rektangel langs hver side av det store kvadratet, så sidelengden til det store kvadratet er nøyaktig $L + B$ : akkurat det samme uttrykket som inngår i omkretsformelen for rektangelet.

Trinnvis utregning:

Omkretsen til hvert rektangel er $2(L+B) = 30$
$L + B = 15$
siden i det store kvadratet er $L + B = 15$ cm (siden hver kvadratside settes sammen av én lang- og én kortside fra to rektangler)
omkretsen til det store kvadratet er $4 \cdot 15 = 60$ cm

Svar: Omkretsen til det store kvadratet er $4(L+B) = 4 \cdot 15 = 60$ cm

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Bruker at rektanglene er kongruente til å begrunne at $L+B=15$ , og kobler dette til at kvadratsiden er $L+B$ , med fullstendig argumentasjon frem til 60 cm.
1/2	Finner $L+B=15$ fra omkretsformelen, men mangler eller begrunner ikke godt nok hvorfor kvadratsiden er nøyaktig $L+B$ .
0/2	Ingen holdbar argumentasjon, eller påstanden er bare antatt uten begrunnelse.

Sensor-tips

Dette er en «argumenter for»-oppgave, ikke en ren regneoppgave: full poengsum krever at eleven FORKLARER hvorfor kvadratsiden er $L+B$ (fordi hver side av det store kvadratet er satt sammen av én lang- og én kortside fra to av de kongruente rektanglene), ikke bare regner ut $4 \cdot 15$ .
At rektanglene er KONGRUENTE (ikke bare formlike) er avgjørende for argumentet, uten det ville ikke alle fire sidene i det store kvadratet nødvendigvis blitt like lange, og figuren ville ikke vært et kvadrat i det hele tatt.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2022, Del 2, Oppgave 2

Utdanningsdirektoratet

Vår 2026, Del 1 – Oppgave 9

Uten hjelpemidler – 1 poeng

Elise skal lage et maleri av et fotografi hun har tatt. Fotografiet er 15 cm langt og 10 cm bredt. Maleriet skal være 60 cm langt og 40 cm bredt. Hun måler lengden av husveggen på fotografiet til 7 cm.

Hvor lang skal husveggen på maleriet til Elise være?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne lengden av husveggen på maleriet.

Strategi og formel: Maleriet er en forstørrelse av fotografiet, så alle lengder ganges med samme målestokk. Vi finner målestokken fra lengden på fotografiet og maleriet.

Trinnvis utregning:

målestokk: $\frac{60}{15} = 4$ (kontroll med bredden: $\frac{40}{10} = 4$ )
alle lengder på maleriet er $4$ ganger så store
husveggen: $4 \cdot 7 = 28$ cm

Svar: Husveggen på maleriet skal være 28 cm.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Svarer 28 cm med utregning.
0/1	Feil svar eller ikke besvart.

Sensor-tips

Målestokken er 4, ikke 45 (forskjellen 60 − 15). Forstørring gir multiplikasjon, ikke addisjon: $7 + 45 = 52$ er feil.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2026, Del 1, Oppgave 9

Utdanningsdirektoratet

Eksempeloppgave vår 2009, Del 2 – Oppgave 301

Tegningen viser en del av dekket på en oljeplattform.

Hvilke geometriske figurer ser du på tegningen?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne og navngi de geometriske figurene i tegningen.

Strategi og formel: Vi går gjennom tegningen og ser hvilke figurer linjene deler området inn i.

Trinnvis utregning:

trekant AFE: rettvinklet (vinkel F er $90^\circ$ )
rektangel FBCD: fire rette vinkler
trekant BCG: rettvinklet (vinkel C er $90^\circ$ )
halvsirkel med diameter BG
alle sammen setter de sammen delen av dekket

Svar: Tegningen består av 2 rettvinklede trekanter (AFE og BCG), 1 rektangel (FBCD) og 1 halvsirkel (med diameter BG).

Vurdering

Poeng	Krav
Riktig	Alle fire figurtyper nevnt: rettvinklet trekant (to stykker), rektangel og halvsirkel.
Delvis	To eller tre av figurene nevnt.
Feil	Ingen eller bare én figur nevnt.

Sensor-tips

Udirs eksempeloppgave 2 til eksamen våren 2009 (utgitt 2008). Poeng og karakterkrav er ikke oppgitt per oppgave her.
Hele delen av dekket kan også beskrives som en sammensatt figur: en femkant ABGDE med en halvsirkel festet til siden BG.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksempeloppgave til eksamen på ungdomstrinnet, Vår 2009, Del 2, Oppgave 301

Utdanningsdirektoratet

Eksempeloppgave vår 2009, Del 2 – Oppgave 302

Tegningen viser en del av dekket på en oljeplattform.

Hvilke egenskaper har trekant AFE og trekant BCG på tegningen?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne egenskapene til de to trekantene ut fra vinklene og sidene på tegningen.

Strategi og formel: Vi bruker at vinkelsummen i en trekant er $180^\circ$ , og at to like vinkler gir to like sider.

Trinnvis utregning:

trekant AFE: vinkel F er $90^\circ$ og vinkel A er $45^\circ$
vinkel E er $180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$
to like vinkler gir to like sider: $AF = EF = 8$ m
trekant BCG: vinkel C er $90^\circ$ og vinkel B er $30^\circ$
vinkel G er $180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$
vinklene er $30^\circ$ , $60^\circ$ og $90^\circ$
den korteste kateten CG er halvparten av hypotenusen BG

Svar: Trekant AFE er rettvinklet og likebeint (vinklene er $45^\circ$ , $45^\circ$ og $90^\circ$ , og $AF = EF = 8$ m). Trekant BCG er rettvinklet med vinklene $30^\circ$ , $60^\circ$ og $90^\circ$ , og $CG$ er halvparten av $BG$ .

Vurdering

Poeng	Krav
Riktig	Begge trekanter beskrevet med riktige vinkler og at AFE er likebeint.
Delvis	Bare én trekant riktig beskrevet.
Feil	Ingen riktige egenskaper.

Sensor-tips

Udirs eksempeloppgave 2 til eksamen våren 2009 (utgitt 2008). Poeng og karakterkrav er ikke oppgitt per oppgave her.
Du kan bruke at $\triangle AFE$ er halvparten av et kvadrat, og at $\triangle BCG$ er halvparten av en likesidet trekant.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksempeloppgave til eksamen på ungdomstrinnet, Vår 2009, Del 2, Oppgave 302

Utdanningsdirektoratet

Vår 2016, Del 2 – Oppgave 5

Med hjelpemidler – 4 poeng

I nærheten av Firenze ble kunstneren og vitenskapsmannen Leonardo da Vinci født. To av hans mange berømte kunstverk er «Det siste måltid» og «Den vitruviske mann».

a) Se på maleriet «Det siste måltid». Tegn perspektivlinjer. Marker hvor forsvinningspunktet på kunstverket er.
b) Se på tegningen «Den vitruviske mann». Ta mål av mannen når han står med bena samlet og armene rett ut, og avgjør om disse påstandene er riktige:
1. Lengden fra langfingertupp til langfingertupp (armspennet) er lik høyden til mannen.
2. Lengden av en hånd er lik $\dfrac{1}{10}$ av høyden til mannen.
3. Lengden fra albuen til langfingertuppen er lik $\dfrac{1}{5}$ av høyden til mannen.
4. Forholdet mellom lengden av en fot og høyden til mannen er 1 : 7.

Figur i originaloppgaven: Maleriet «Det siste måltid» (vedlegg 1) og tegningen «Den vitruviske mann» (vedlegg 2) gjengis i originaloppgaven (MAT0010, eksamen våren 2016, Del 2, oppgave 5, vedlegg på side 13 og 14). Gjengivelsene er ikke tatt med her. Se originalen hos Utdanningsdirektoratet

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne forsvinningspunktet i «Det siste måltid» og vurdere fire proporsjonspåstander om «Den vitruviske mann».

Strategi og formel: I a) følger vi linjene i bordet og taket, som møtes i ett punkt. I b) bruker vi Leonardos egne forhold, som en måling på tegningen gir med god nøyaktighet.

Trinnvis utregning:

a) perspektivlinjene langs bordkanten, takbjelkene og veggene møtes i ett punkt midt i maleriet, ved hodet til Jesus (midten av bordet)
b) 1: armspennet er like langt som høyden, $1 : 1$
riktig
2: hånden er $\frac{1}{10}$ av høyden
riktig
3: albue til langfingertupp er $\frac{1}{4}$ av høyden, ikke $\frac{1}{5}$
galt
4: foten er $\frac{1}{6}$ av høyden, så forholdet er $1 : 6$ , ikke $1 : 7$
galt

Svar: a) Forsvinningspunktet ligger ved hodet til Jesus i midten av maleriet. b) Påstand 1 og 2 er riktige, påstand 3 og 4 er gale. Albue til langfingertupp er $\dfrac{1}{4}$ av høyden, og foten er $\dfrac{1}{6}$ av høyden.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)

Poeng	Krav
4/4	a) riktig forsvinningspunkt med perspektivlinjer, og b) alle fire påstander riktig vurdert med mål.
3/4	a) riktig og tre påstander riktig, eller omvendt.
2/4	a) riktig, eller to av fire påstander riktig.
1/4	Én påstand riktig vurdert.
0/4	Ingen riktige deler.

Sensor-tips

Vedlegg 1 og 2 i originaloppgaven er gjengivelser av kunstverkene og må leveres inn med besvarelsen. Digitale gjengivelser kan ha egen rettighetsbeskyttelse, derfor er de ikke tatt med her.
Leonardos egne forhold for den vitruviske mann: armspenn lik høyde, hånd $\frac{1}{10}$ , albue til langfingertupp $\frac{1}{4}$ og fot $\frac{1}{6}$ av høyden.
Målinger på tegningen gir små avvik. Godkjenn svar der målingen er innenfor noen få prosent av de riktige forholdene.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2016, Del 2, Oppgave 5