Endre forutsetninger: hva skjer med løsningen?

Når en figur skaleres med faktor $k$ , endres lengder (som sider og omkrets) med faktor $k$ – MEN arealet endres med faktor $k^2$ . Dette overrasker mange: dobler du alle sidene i en figur ( $k=2$ ), firedobles arealet ( $2^2 = 4$ ), ikke bare dobles.

Hvordan omkrets og areal skalerer

$O' = k \cdot O \quad\text{og}\quad A' = k^2 \cdot A$

Tips

Skriv opp $k$ og $k^2$ hver gang du skalerer en figur – det er lett å glemme at arealet skalerer med KVADRATET av skalafaktoren, ikke med skalafaktoren selv.
Test påstanden med et enkelt eksempel: et kvadrat med side 2 cm har areal 4 cm². Dobler du siden til 4 cm, blir arealet 16 cm² – fire ganger så stort, ikke to.

Eksempel: Hva skjer med arealet når figuren skaleres?

Et rektangel har sider 3 cm og 5 cm (areal 15 cm²). Det skaleres med faktor $k = 3$ . Hva er omkretsen og arealet til det nye rektangelet?

Skalering med faktor k=3
	Original	Skalert (k=3)
Sider	3 cm, 5 cm	9 cm, 15 cm
Omkrets	16 cm	48 cm
Areal	15 cm²	135 cm²

Løsning:

Sidene skaleres med $k=3$
nye sider er $3 \cdot 3 = 9$ cm og $5 \cdot 3 = 15$ cm
ny omkrets er $2 \cdot (9+15) = 48$ cm
nytt areal er $9 \cdot 15 = 135$ cm², som også kan sjekkes med $A' = k^2 \cdot A = 9 \cdot 15 = 135$
svaret er omkrets 48 cm, areal 135 cm².

Alternativ forklaring/metode: Regn ut sidene på nytt og finn omkrets/areal vanlig vei

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Regne ut de nye målene direkte

I stedet for å bruke formlene $O' = k \cdot O$ og $A' = k^2 \cdot A$ , kan du multiplisere hver sidelengde med $k$ og deretter regne ut omkrets og areal på vanlig måte – treggere, men nyttig for å SE hvorfor arealet skalerer med $k^2$ (arealet er et produkt av to sider, som begge skaleres).

Skalering med faktor k=2
	Original	Skalert (k=2)
Sider	4 cm, 6 cm	8 cm, 12 cm
Omkrets	20 cm	40 cm
Areal	24 cm²	96 cm²

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Et kvadrat med side 4 cm skaleres med faktor 2. Hva er den nye sidelengden?

Vis fasit

	Verdi
Original side	4 cm
Skalafaktor	2
Ny side	8 cm

4 cm * 2 = 8 cm

L-32Et rektangel har omkrets 20 cm. Det skaleres med faktor 3. Hva er den nye omkretsen?

Vis fasit

	Verdi
Original omkrets	20 cm
Skalafaktor (k)	3
Ny omkrets	60 cm

Omkretsen er 20 cm og skaleres med faktor 3
20 cm * 3 = 60 cm

L-33Et kvadrat har areal 9 cm². Det skaleres med faktor 2. Hva er det nye arealet?

Vis fasit

	Verdi
Original areal	9 cm²
Skalafaktor (k²)	4 (2²)
Nytt areal	36 cm²

Arealet er 9 cm² og skaleres med faktor 2 i andre potens
9 cm² * 2² = 9 * 4 = 36 cm²

Middels(3)

M-31En trekant har areal 10 cm². Den skaleres med faktor 3. Hva er det nye arealet?

Vis fasit

	Verdi
Original areal	10 cm²
Skalafaktor (k²)	9 (3²)
Nytt areal	90 cm²

Arealet er 10 cm² og skaleres med faktor 3 i andre potens
10 cm² * 3² = 10 * 9 = 90 cm²

M-32Et rektangel med sider 2 cm og 6 cm skaleres med faktor 2,5. Finn den nye omkretsen.

Vis fasit

	Verdi
Original sider	2 cm, 6 cm
Skalafaktor	2,5
Nye sider	5 cm, 15 cm
Ny omkrets	40 cm

Ny lengde: 22,5=5, ny bredde: 62,5=15
ny omkrets: 2*(5+15) = 40 cm

M-33Et kvadrat firedobles i areal etter skalering. Hva var skalafaktoren?

Vis fasit

	Verdi
Arealforhold (k²)	4
Skalafaktor (k)	2

Arealet skalerer med k², og k² = 4
k = 2

Vanskelig(3)

V-31Et kart har målestokk 1:1 000. En tomt er 3 cm * 4 cm på kartet. Hva er det virkelige arealet i m² (1 cm på kartet = 10 m i virkeligheten)?

Vis fasit

	Verdi
På kartet	3 cm * 4 cm
Målestokk	1 cm = 10 m
Virkelige sider	30 m, 40 m
Virkelig areal	1 200 m²

Virkelige sider: 310=30 m og 410=40 m
areal: 30*40 = 1 200 m²

V-32Et rektangel dobles i areal etter skalering. Er dette mulig med en skalafaktor som IKKE er kvadratroten av 2? Begrunn.

Vis fasit

	Verdi
Arealforhold	2
Skalafaktor (k)	kvadratroten av 2

Arealet dobles, altså blir 2 ganger så stort, og skalerer alltid med k² ved skalering av en figur
for at k² = 2 må k = kvadratroten av 2

V-33Et kvadrat med side 3 cm skaleres slik at arealet blir 144 cm². Finn skalafaktoren.

Vis fasit

	Verdi
Original areal	9 cm²
Nytt areal	144 cm²
Skalafaktor (k)	4

Opprinnelig areal: 3*3=9 cm². Areal skalerer med k²: 9 * k² = 144
k² = 16
k = 4