NumiSum

Formlikhet i praktiske beregninger

To formlike trekanter har samme VINKLER og proporsjonale SIDER. Dette utnyttes til å måle noe du ikke kan måle direkte: en stang med kjent høyde og en gjenstand du vil måle kaster skygger SAMTIDIG, og formes da to formlike trekanter (sol, toppunkt, skyggeslutt). Forholdet mellom stangens høyde og skygge er det SAMME som forholdet mellom den ukjente høyden og dens skygge.

Formlikhetsforhold

høyde 1skygge 1=høyde 2skygge 2\frac{\text{høyde 1}}{\text{skygge 1}} = \frac{\text{høyde 2}}{\text{skygge 2}}

To formlike skyggetrekanter
ObjektHøydeSkygge
Målestang1,5 m2 m
Treukjent12 m

Tips

  • Sett alltid opp forholdet med SAMME type mål øverst og nederst på begge sider (høyde over skygge, ikke høyde over skygge på den ene og skygge over høyde på den andre).
  • Målingene må tas SAMTIDIG: solvinkelen endrer seg gjennom dagen, og skyggeforholdet gjelder bare for det ene øyeblikket.

Eksempel: Måle høyden på et tre ved hjelp av skygger

En 1,51{,}5 m høy målestang kaster en skygge på 22 m. Samtidig kaster et tre en skygge på 1212 m. Hvor høyt er treet?

Løsning:
  1. Stangen er 1,51{,}5 m høy og kaster 22 m skygge, treet kaster 1212 m skygge samtidig
  2. forholdet mellom høyde og skygge er likt for begge, siden solvinkelen er den samme: h12=1,52\frac{h}{12} = \frac{1{,}5}{2}
  3. gang begge sider med 1212: h=1,5⋅122h = \frac{1{,}5 \cdot 12}{2}
  4. 1,5⋅12=181{,}5 \cdot 12 = 18, og 18:2=918 : 2 = 9. Treet er 99 m høyt.
Fra skyggeforhold til trehøyde
StegRegning
Sett opp forholdeth : 12 = 1,5 : 2
Gang med 12h = 1,5 · 12 : 2
Regn uth = 9 m
Alternativ forklaring/metode: Finn skalafaktoren mellom skyggene først

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Regne skalafaktoren direkte

I stedet for å sette opp brøken direkte, finn først hvor mange ganger lengre treets skygge er enn stangens: 12:2=612 : 2 = 6. Siden formlike figurer skalerer likt i alle retninger, må treet også være 66 ganger så høyt som stangen: 1,5⋅6=91{,}5 \cdot 6 = 9 m. Samme svar, men kan være lettere å tenke gjennom når skalafaktoren blir et helt tall.

Skalafaktor mellom skygger
StegVerdi
Skalafaktor12 : 2 = 6
Trehøyde1,5 · 6 = 9 m

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21En 11 m stang kaster 1,51{,}5 m skygge. Et tre kaster 99 m skygge samtidig. Hvor høyt er treet? Svar i m.

Vis fasit
  1. 1 m stang og 1,5 m skygge, tre 9 m skygge
  2. 91,5⋅1\frac{9}{1{,}5} \cdot 1 = 6 m
Skygger
ObjektSkygge
Stang1,5 m
Tre6 m

L-22Hva må være likt for at skyggemetoden skal fungere?

Vis fasit
  1. Skyggeforholdet gjelder kun for samme solvinkel
  2. målingene må tas samtidig
Betingelse
KravForklaring
SolvinkelMå være samme for begge
TidMålingene tas samtidig

L-23To formlike trekanter har forholdet 1:41{:}4 mellom sidene. Den minste siden i den lille trekanten er 33 cm. Hva er tilsvarende side i den store? Svar i cm.

Vis fasit
  1. Forholdet 1:4 betyr 4 ganger så stor
  2. 3⋅4=3 \cdot 4 = 12 cm
Formlike trekanter
TrekantSide
Liten3 cm
Stor12 cm
Middels(3)

M-21En 22 m stang kaster 33 m skygge. En mast kaster 1515 m skygge samtidig. Hvor høy er masten? Svar i m.

Vis fasit
  1. 2 m stang og 3 m skygge, mast 15 m skygge
  2. 153⋅2\frac{15}{3} \cdot 2 = 10 m
Skygger
ObjektSkygge
Stang3 m
Mast10 m

M-22En 22 m stang kaster 33 m skygge. En mast kaster 1515 m skygge samtidig. Bruk skalafaktor-metoden: hvor mange ganger lengre er mastens skygge enn stangens? Svar med bare tallet.

Vis fasit

153=\frac{15}{3} = 5 ganger

Skalafaktor
SkyggeLengde
Stang3 m
Mast15 m
Faktor5 ganger

M-23En bygning kaster en skygge på 1818 m samtidig som en 1,21{,}2 m person kaster en skygge på 1,61{,}6 m. Hvor høy er bygningen? Svar i m.

Vis fasit
  1. 1,2 m person og 1,6 m skygge, bygning 18 m skygge
  2. 181,6⋅1,2\frac{18}{1{,}6} \cdot 1{,}2 = 13,5 m
Skygger
ObjektSkygge
Person1,6 m
Bygning13,5 m
Vanskelig(3)

V-21En 1,81{,}8 m person kaster 2,42{,}4 m skygge. En flaggstang kaster 2020 m skygge samtidig. Hvor høy er flaggstangen? Svar i m.

Vis fasit
  1. 1,8 m person og 2,4 m skygge, flaggstang 20 m skygge
  2. 202,4⋅1,8\frac{20}{2{,}4} \cdot 1{,}8 = 15 m
Skygger
ObjektSkygge
Person2,4 m
Flaggstang15 m

V-22Hvorfor virker skyggemetoden ikke hvis solen står rett over hodet (ingen skygge)?

Vis fasit
  1. Uten skygge finnes det ingen trekant å sammenligne
  2. metoden krever en målbar skygge
Uten skygge
ElementStatus
SkyggetrekantFinnes ikke
MetodeKrever målbar skygge

V-23Forklar hvorfor forholdet mellom høyde og skygge må være LIKT for stangen og det ukjente objektet.

Vis fasit
  1. Samme solvinkel gir samme vinkler i begge trekanter
  2. formlike trekanter har proporsjonale sider
Formlikhet
EgenskapFølge
Samme solvinkelSamme vinkler
Formlike trekanterProporsjonale sider