Formlikhet i praktiske beregninger

To formlike trekanter har samme VINKLER og proporsjonale SIDER. Dette utnyttes til å måle noe du ikke kan måle direkte: en stang med kjent høyde og en gjenstand du vil måle kaster skygger SAMTIDIG, og formes da to formlike trekanter (sol, toppunkt, skyggeslutt). Forholdet mellom stangens høyde og skygge er det SAMME som forholdet mellom den ukjente høyden og dens skygge.

Formlikhetsforhold

$\frac{\text{høyde 1}}{\text{skygge 1}} = \frac{\text{høyde 2}}{\text{skygge 2}}$

To formlike skyggetrekanter
Objekt	Høyde	Skygge
Målestang	1,5 m	2 m
Tre	ukjent	12 m

Tips

Sett alltid opp forholdet med SAMME type mål øverst og nederst på begge sider (høyde over skygge, ikke høyde over skygge på den ene og skygge over høyde på den andre).
Målingene må tas SAMTIDIG – solvinkelen endrer seg gjennom dagen, og skyggeforholdet gjelder bare for det ene øyeblikket.

Eksempel: Måle høyden på et tre ved hjelp av skygger

En $1,5$ m høy målestang kaster en skygge på $2$ m. Samtidig kaster et tre en skygge på $12$ m. Hvor høyt er treet?

Fra skyggeforhold til trehøyde
Steg	Regning
Sett opp forholdet	h : 12 = 1,5 : 2
Gang med 12	h = 1,5 · 12 : 2
Regn ut	h = 9 m

Løsning:

Stangen er $1,5$ m høy og kaster $2$ m skygge, treet kaster $12$ m skygge samtidig
forholdet mellom høyde og skygge er likt for begge, siden solvinkelen er den samme: $\frac{h}{12} = \frac{1,5}{2}$
gang begge sider med $12$ : $h = \frac{1,5 \cdot 12}{2}$
$1,5 \cdot 12 = 18$ , og $18 : 2 = 9$ . Treet er $9$ m høyt.

Alternativ forklaring/metode: Finn skalafaktoren mellom skyggene først

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Regne skalafaktoren direkte

I stedet for å sette opp brøken direkte, finn først hvor mange ganger lengre treets skygge er enn stangens: $12 : 2 = 6$ . Siden formlike figurer skalerer likt i alle retninger, må treet også være $6$ ganger så høyt som stangen: $1,5 \cdot 6 = 9$ m. Samme svar, men kan være lettere å tenke gjennom når skalafaktoren blir et helt tall.

Skalafaktor mellom skygger
Steg	Verdi
Skalafaktor	12 : 2 = 6
Trehøyde	1,5 · 6 = 9 m

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11En $1$ m stang kaster $1,5$ m skygge. Et tre kaster $9$ m skygge samtidig. Hvor høyt er treet?

Vis fasit

Skygger
Objekt	Skygge
Stang	1,5 m
Tre	6 m

1 m stang og 1,5 m skygge, tre 9 m skygge
9 delt på 1,5, gange 1 = 6 m

L-12Hva må være likt for at skyggemetoden skal fungere?

Vis fasit

Betingelse
Krav	Forklaring
Solvinkel	Må være samme for begge
Tid	Målingene tas samtidig

Skyggeforholdet gjelder kun for samme solvinkel
målingene må tas samtidig

L-13To formlike trekanter har forholdet

1{:}4

mellom sidene. Den minste siden i den lille trekanten er

3

cm. Hva er tilsvarende side i den store?

Vis fasit

Formlike trekanter
Trekant	Side
Liten	3 cm
Stor	12 cm

Forholdet 1:4 betyr 4 ganger så stor
3 gange 4 = 12 cm

Middels(3)

M-11En

2

m stang kaster

3

m skygge. En mast kaster

15

m skygge samtidig. Hvor høy er masten?

Vis fasit

Skygger
Objekt	Skygge
Stang	3 m
Mast	10 m

2 m stang og 3 m skygge, mast 15 m skygge
15 delt på 3, gange 2 = 10 m

M-12Bruk skalafaktor-metoden på forrige oppgave: hvor mange ganger lengre er mastens skygge enn stangens?

Vis fasit

Skalafaktor
Skygge	Lengde
Stang	3 m
Mast	15 m
Faktor	5 ganger

15 delt på 3 = 5 ganger

M-13En bygning kaster en skygge på

18

m samtidig som en

1,2

m person kaster en skygge på

1,6

m. Hvor høy er bygningen?

Vis fasit

Skygger
Objekt	Skygge
Person	1,6 m
Bygning	13,5 m

1,2 m person og 1,6 m skygge, bygning 18 m skygge
18 delt på 1,6, gange 1,2 = 13,5 m

Vanskelig(3)

V-11En

1,8

m person kaster

2,4

m skygge. En flaggstang kaster

20

m skygge samtidig. Hvor høy er flaggstangen?

Vis fasit

Skygger
Objekt	Skygge
Person	2,4 m
Flaggstang	15 m

1,8 m person og 2,4 m skygge, flaggstang 20 m skygge
20 delt på 2,4, gange 1,8 = 15 m

V-12Hvorfor virker skyggemetoden ikke hvis solen står rett over hodet (ingen skygge)?

Vis fasit

Uten skygge
Element	Status
Skyggetrekant	Finnes ikke
Metode	Krever målbar skygge

Uten skygge finnes det ingen trekant å sammenligne
metoden krever en målbar skygge

V-13Forklar hvorfor forholdet mellom høyde og skygge må være LIKT for stangen og det ukjente objektet.

Vis fasit

Formlikhet
Egenskap	Følge
Samme solvinkel	Samme vinkler
Formlike trekanter	Proporsjonale sider

Samme solvinkel gir samme vinkler i begge trekanter
formlike trekanter har proporsjonale sider