Beregne areal og volum med formlikhet og målestokk

Skaleres alle lengder i en figur med en faktor $k$ , skaleres ikke arealet med $k$ . Det skaleres med $k^2$ . Volum skaleres med $k^3$ . Årsaken er at areal måles i to dimensjoner og volum i tre: dobler du alle lengder ( $k = 2$ ), firedobles arealet ( $2^2 = 4$ ) og volumet blir åtte ganger så stort ( $2^3 = 8$ ).

Arealskalering

$A_{\text{ny}} = A_{\text{gammel}} \cdot k^2$

Volumskalering

$V_{\text{ny}} = V_{\text{gammel}} \cdot k^3$

Hvordan skalafaktoren $k$ påvirker ulike mål
Mål	Skaleres med
Lengde	$k$
Areal	$k^2$
Volum	$k^3$

Tips

Sjekk ALLTID om oppgaven spør om en lengde, et areal eller et volum, FØR du velger om skalafaktoren skal brukes rett frem, i andre eller i tredje potens.
En vanlig felle: å tro at et areal dobles når lengdene dobles. Tegn eller regn deg gjennom et lite eksempel (som et kvadrat) hvis du er usikker.
Sjekk sammenhengen med et enkelt kvadrat. Er du usikker på hvorfor arealet skaleres med $k^2$ , test det med et kvadrat med side $1$ : arealet er $1 \cdot 1 = 1$ . Skaler siden med $k = 20$ : den nye siden er $20$ , og det nye arealet er $20 \cdot 20 = 400$ : nøyaktig $k^2$ ganger det opprinnelige arealet. Et konkret talleksempel som dette gjør den generelle regelen lettere å stole på.

Eksempel: Fra modell til virkelig grunnflate

En modell av en bygning er bygget i målestokk $1{:}20$ . Modellens grunnflate er $0{,}5$ m². Hva er bygningens virkelige grunnflate?

Løsning:

Målestokken er $1{:}20$ , så den lineære skalafaktoren fra modell til virkelighet er $k = 20$
arealet skaleres med $k^2$ , ikke med $k$ : $k^2 = 20^2 = 400$
den virkelige grunnflaten er $0{,}5 \cdot 400$ . Bygningens grunnflate er $200$ m².

Fra modellareal til virkelig areal
Steg	Regning
Skalafaktor for lengde	k = 20
Skalafaktor for areal	k² = 400
Virkelig grunnflate	0,5 · 400 = 200 m²

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-41En figur skaleres med faktor $3$ . Med hvilken faktor skaleres arealet?

Vis fasit

Skalafaktoren er 3, og areal skaleres med k i andre
$3^{2} =$ 9

Arealskalering
Mål	Verdi
Skalafaktor	3
Arealfaktor	9

L-42En figur skaleres med faktor $2$ . Med hvilken faktor skaleres volumet?

Vis fasit

Skalafaktoren er 2, og volum skaleres med k i tredje
$2^{3} =$ 8

Volumskalering
Mål	Verdi
Skalafaktor	2
Volumfaktor	8

L-43Hvorfor skaleres ikke areal med samme faktor som lengder?

Vis fasit

Areal har to lengdemål som begge skaleres
arealet skaleres med skalafaktoren i andre potens

Hvorfor $k^2$
Dimensjon	Antall lengder
Areal	To
Skalering	Skalafaktoren i andre potens

Middels(3)

M-41En modell har skalafaktor $3$ til virkeligheten. Modellens areal er $2$ m². Hva er det virkelige arealet? Svar i m².

Vis fasit

Skalafaktor 3 gir arealfaktor $3^{2} = 9$
$2 \cdot 9 =$ 18 m²

Fra modell til virkelig areal
Mål	Verdi
Modellareal	2 m²
Virkelig areal	18 m²

M-42En modell har skalafaktor $10$ til virkeligheten. Modellens volum er $0{,}002$ m³. Hva er det virkelige volumet? Svar i m³.

Vis fasit

Skalafaktor 10 gir volumfaktor $10^{3} = 1\,000$
$0{,}002 \cdot 1\,000 =$ 2 m³

Fra modell til virkelig volum
Mål	Verdi
Modellvolum	0,002 m³
Virkelig volum	2 m³

M-43En modellbil er bygget i målestokk $1{:}18$ . Med hvilken faktor er modellbilens volum mindre enn den virkelige bilens?

Vis fasit

Målestokk 1:18 gir lengdefaktor 18
volumfaktor er $18^{3} =$ 5 832

Modellbil
Mål	Verdi
Lengdefaktor	18
Volumfaktor	5 832

Vanskelig(3)

V-41En modell er bygget i målestokk $1{:}50$ . Modellens grunnflate er $800$ cm². Hva er den virkelige grunnflaten, i m²? Svar i m².

Vis fasit

Skalafaktor 50 gir arealfaktor $50^{2} = 2\,500$
$800 \cdot 2\,500 = 2\,000\,000$ cm²
$\frac{2\,000\,000\ \text{cm}^2}{10\,000} = 200\ \text{m}^2$

Fra modell til virkelig areal
Mål	Verdi
Modellareal	800 cm²
Virkelig areal	200 m²

V-42En kube dobles i alle retninger (skalafaktor $2$ ). Hvor mange ganger flere av de opprinnelige kubene trengs for å fylle den nye, større kuben? Svar med bare tallet.

Vis fasit

Skalafaktoren er 2, og volum skaleres med k i tredje
$2^{3} =$ 8, altså 8 av de små kubene fyller den store

Kubedobling
Mål	Verdi
Skalafaktor	2
Antall små kuber	8

V-43Forklar hvorfor en dobbelt så høy sylinder med samme grunnflate IKKE er et eksempel på formlikhet-skalering av volum med $k^3$ .

Vis fasit

Volum skaleres med skalafaktoren opphøyd i 3 KUN når alle lengder skaleres likt
her endres kun én lengde, så figurene er ikke formlike lenger
volumet dobles i stedet for å åttedobles

Kun høyden endres
Endring	Følge
Alle lengder x2	Volum x8 (formlik)
Kun høyde x2	Volum x2 (ikke formlik)