Beregne areal og volum med formlikhet og målestokk

Skaleres alle lengder i en figur med en faktor $k$ , skaleres ikke arealet med $k$ – det skaleres med $k^2$ . Volum skaleres med $k^3$ . Årsaken er at areal måles i to dimensjoner og volum i tre: dobler du alle lengder ( $k = 2$ ), firedobles arealet ( $2^2 = 4$ ) og volumet blir åtte ganger så stort ( $2^3 = 8$ ).

Arealskalering

$A_{\text{ny}} = A_{\text{gammel}} \cdot k^2$

Volumskalering

$V_{\text{ny}} = V_{\text{gammel}} \cdot k^3$

Hvordan skalafaktoren $k$ påvirker ulike mål
Mål	Skaleres med
Lengde	$k$
Areal	$k^2$
Volum	$k^3$

Tips

Sjekk ALLTID om oppgaven spør om en lengde, et areal eller et volum, FØR du velger om skalafaktoren skal brukes rett frem, i andre eller i tredje potens.
En vanlig felle: å tro at et areal dobles når lengdene dobles. Tegn eller regn deg gjennom et lite eksempel (som et kvadrat) hvis du er usikker.

Eksempel: Fra modell til virkelig grunnflate

En modell av en bygning er bygget i målestokk $1{:}20$ . Modellens grunnflate er $0,5$ m². Hva er bygningens virkelige grunnflate?

Fra modellareal til virkelig areal
Steg	Regning
Skalafaktor for lengde	k = 20
Skalafaktor for areal	k² = 400
Virkelig grunnflate	0,5 · 400 = 200 m²

Løsning:

Målestokken er $1{:}20$ , så den lineære skalafaktoren fra modell til virkelighet er $k = 20$
arealet skaleres med $k^2$ , ikke med $k$ : $k^2 = 20^2 = 400$
den virkelige grunnflaten er $0,5 \cdot 400$ . Bygningens grunnflate er $200$ m².

Alternativ forklaring/metode: Sjekk sammenhengen med et enkelt kvadrat

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Regne med en konkret sidelengde

Er du usikker på hvorfor arealet skaleres med $k^2$ , test det med et kvadrat med side $1$ : arealet er $1 \cdot 1 = 1$ . Skaler siden med $k = 20$ : den nye siden er $20$ , og det nye arealet er $20 \cdot 20 = 400$ – nøyaktig $k^2$ ganger det opprinnelige arealet. Et konkret talleksempel som dette gjør den generelle regelen lettere å stole på.

Kvadrat med side 1, skalert med k=20
Mål	Verdi
Opprinnelig areal	1 · 1 = 1
Nytt areal	20 · 20 = 400

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31En figur skaleres med faktor $3$ . Med hvilken faktor skaleres arealet?

Vis fasit

Arealskalering
Mål	Verdi
Skalafaktor	3
Arealfaktor	9

Skalafaktoren er 3, og areal skaleres med k i andre
3 opphøyd i 2 = 9

L-32En figur skaleres med faktor

2

. Med hvilken faktor skaleres volumet?

Vis fasit

Volumskalering
Mål	Verdi
Skalafaktor	2
Volumfaktor	8

Skalafaktoren er 2, og volum skaleres med k i tredje
2 opphøyd i 3 = 8

L-33Hvorfor skaleres ikke areal med samme faktor som lengder?

Vis fasit

Hvorfor $k^2$
Dimensjon	Antall lengder
Areal	To
Skalering	Skalafaktoren i andre potens

Areal har to lengdemål som begge skaleres
arealet skaleres med skalafaktoren i andre potens

Middels(3)

M-31En modell har skalafaktor

3

til virkeligheten. Modellens areal er

2

m². Hva er det virkelige arealet?

Vis fasit

Fra modell til virkelig areal
Mål	Verdi
Modellareal	2 m²
Virkelig areal	18 m²

Skalafaktor 3 gir arealfaktor 3 opphøyd i 2 = 9
2 gange 9 = 18 m²

M-32En modell har skalafaktor

10

til virkeligheten. Modellens volum er

0,002

m³. Hva er det virkelige volumet?

Vis fasit

Fra modell til virkelig volum
Mål	Verdi
Modellvolum	0,002 m³
Virkelig volum	2 m³

Skalafaktor 10 gir volumfaktor 10 opphøyd i 3 = 1 000
0,002 gange 1 000 = 2 m³

M-33En modellbil er bygget i målestokk

1{:}18

. Med hvilken faktor er modellbilens volum mindre enn den virkelige bilens?

Vis fasit

Modellbil
Mål	Verdi
Lengdefaktor	18
Volumfaktor	5 832

Målestokk 1:18 gir lengdefaktor 18
volumfaktor er 18 opphøyd i 3 = 5 832

Vanskelig(3)

V-31En modell er bygget i målestokk

1{:}50

. Modellens grunnflate er

800

cm². Hva er den virkelige grunnflaten, i m²?

Vis fasit

Fra modell til virkelig areal
Mål	Verdi
Modellareal	800 cm²
Virkelig areal	200 m²

Skalafaktor 50 gir arealfaktor 50 opphøyd i 2 = 2 500
800 gange 2 500 = 2 000 000 cm²
2 000 000 cm² delt på 10 000 = 200 m²

V-32En kube dobles i alle retninger (skalafaktor

2

). Hvor mange ganger flere av de opprinnelige kubene trengs for å fylle den nye, større kuben?

Vis fasit

Kubedobling
Mål	Verdi
Skalafaktor	2
Antall små kuber	8

Skalafaktoren er 2, og volum skaleres med k i tredje
2 opphøyd i 3 = 8, altså 8 av de små kubene fyller den store

V-33Forklar hvorfor en dobbelt så høy sylinder med samme grunnflate IKKE er et eksempel på formlikhet-skalering av volum med

k^3

Vis fasit

Kun høyden endres
Endring	Følge
Alle lengder x2	Volum x8 (formlik)
Kun høyde x2	Volum x2 (ikke formlik)

Volum skaleres med skalafaktoren opphøyd i 3 KUN når alle lengder skaleres likt
her endres kun én lengde, så figurene er ikke formlike lenger
volumet dobles i stedet for å åttedobles