Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Numisum.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2021, Del 1 – Oppgave 14

Uten hjelpemidler – 3 poeng

Det er 11 deltakere med i en sjakkturnering. Alderen til de fem yngste deltakerne er:

10 år, 13 år, 25 år, 32 år og 45 år.

a) Hva er gjennomsnittsalderen til de fem yngste deltakerne? (13 år / 20 år / 24 år / 25 år)
b) Variasjonsbredden til alle 11 deltakerne er 65 år. Hvor gammel er den eldste deltakeren?
c) Medianalderen for de 11 deltakerne er 47 år. Er det flest deltakere under eller over 50 år?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne gjennomsnittsalderen til de fem yngste deltakerne, alderen til den eldste deltakeren ut fra variasjonsbredden, og avgjøre om flest deltakere er under eller over 50 år ut fra medianen.

Strategi og formel: I a) legger vi sammen de fem alderne og deler på antallet. I b) bruker vi at variasjonsbredden er størst minus minst alder, og løser for den ukjente største alderen. I c) bruker vi DEFINISJONEN av median: med 11 sorterte verdier er medianen den 6. verdien, så minst 6 av de 11 deltakerne er 47 år eller yngre, og dermed garantert under 50 år, uansett hvordan de resterende 5 alderne fordeler seg.

Trinnvis utregning:

a) $10+13+25+32+45 = 125$
$125 : 5 = 25$ år
b) variasjonsbredde $=$ eldste $-$ yngste
$65 =$ eldste $- 10$
eldste $= 65 + 10 = 75$ år
c) medianen er den 6. av 11 sorterte verdier
minst 6 deltakere er $\leq 47$ år, altså garantert under 50 år
høyst 5 deltakere kan være over 50 år
$6 > 5$

Svar: a) 25 år, b) 75 år, c) Flest deltakere er under 50 år (minst 6 av 11, uansett hvordan de resterende alderne fordeler seg)

Sensorveiledning og poengkrav (maks 3 poeng)

Poeng	Krav
3/3	Alle tre deloppgaver riktig: a) 25 år, b) 75 år, c) under 50 år med holdbar begrunnelse ut fra medianens definisjon.
2/3	To av tre deloppgaver riktig løst.
1/3	Kun én deloppgave riktig løst, typisk a) eller b).
0/3	Ingen av deloppgavene riktig løst.

Sensor-tips

Del c) er den vanskeligste: mange elever gjetter «over 50 år» fordi 47 er «nesten 50», i stedet for å bruke at medianen GARANTERER at minst 6 av 11 deltakere er 47 år eller yngre. Se etter om eleven faktisk bruker denne logikken, ikke bare gjetter riktig svar.
I b) er den vanlige feilen å svare «65 år» direkte (selve variasjonsbredden) i stedet for å legge den til yngste alder for å finne eldste alder.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2021, Del 1, Oppgave 14

Utdanningsdirektoratet

Vår 2025, Del 1 – Oppgave 1

Uten hjelpemidler – 2 poeng

Diagrammet nedenfor er fra en UngData-undersøkelse, og viser spisevaner til elever på ungdomstrinnet. Andelene (i prosent) er:

	5 dager i uka	3–4 dager i uka	1–2 dager i uka	Sjeldnere
Frokost før skolen	54	12	11	23
Lunsj på skolen	65	17	8	10
Grønnsaker, frukt eller bær på skolen	21	17	22	40

Vurder om påstandene nedenfor er sanne eller usanne.

Nesten $\frac{2}{3}$ av elevene spiser lunsj på skolen 5 dager i uka.
Det er litt mer enn tre ganger så mange elever som spiser lunsj på skolen 5 dager i uka, enn de som spiser grønnsaker, frukt og bær på skolen 5 dager i uka.
60 % av ungdommene spiser grønnsaker, frukt eller bær 3 dager eller mer i uka.
$\frac{1}{4}$ av elevene spiser lunsj på skolen 1–4 dager i uka.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal sjekke om hver av de fire påstandene stemmer med prosentandelene i diagrammet.

Strategi og formel: For hver påstand regner vi ut det faktiske tallet fra diagrammet (en sum av kategorier, et forhold, eller en direkte brøk/prosentsammenligning) og sammenligner med det påstanden hevder.

Trinnvis utregning:

Påstand 1: $\frac{2}{3} \approx 66{,}7\%$ , og lunsj 5 dager i uka er $65\%$
svært nært
sann
Påstand 2: lunsj 5 dager ( $65\%$ ) delt på grønnsaker 5 dager ( $21\%$ ) $= \frac{65}{21} \approx 3{,}1$
litt mer enn tre ganger
sann
Påstand 3: grønnsaker 3 dager eller mer $=$ «5 dager» pluss «3–4 dager» $= 21+17=38\%$ , ikke $60\%$
usann
Påstand 4: lunsj 1–4 dager $=$ «3–4 dager» pluss «1–2 dager» $=17+8=25\% = \frac{1}{4}$
sann

Svar: Sann, sann, usann, sann.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Alle fire påstander korrekt vurdert (sann, sann, usann, sann), med vist utregning for hver.
1/2	2–3 av fire påstander korrekt vurdert.
0/2	0–1 av fire påstander korrekt vurdert, eller ingen utregning vist.

Sensor-tips

Påstand 3 er den vanligste fellen: «3 dager eller mer» betyr «5 dager»-kategorien PLUSS «3–4 dager»-kategorien (38 %), ikke bare én av dem, og slett ikke summen av alle fire kategoriene.
Påstand 1 krever et skjønnsspørsmål («nesten»), ikke en eksakt likhet: $65\%$ er så nære $\frac{2}{3}\approx 66{,}7\%$ at «nesten» er en rimelig beskrivelse; ikke avvis påstanden bare fordi tallene ikke er identiske.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2025, Del 1, Oppgave 1

Utdanningsdirektoratet

Vår 2018, Del 2 – Oppgave 1

Med hjelpemidler – 5 poeng

Besøkstallene for de mest populære filmene på Oslo-kinoene en dag i januar 2018:

Filmtittel	Besøkstall
Den 12. mann	81920
Ferdinand	22369
Insidious: The Last Key	21107
The Last Jedi	19026
Paddington 2	7465

a) Framstill besøkstallene på Oslo-kinoene i et passende diagram.
b) Bestem medianen og gjennomsnittet for besøkstallene.
c) Hvorfor er forskjellen mellom medianen og gjennomsnittet så stor?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal lage et diagram over besøkstallene, finne median og gjennomsnitt, og forklare hvorfor de er så forskjellige.

Strategi og formel: Et søylediagram passer når vi sammenligner antall for ulike kategorier. Medianen er den midterste verdien når tallene står i rekkefølge, og gjennomsnittet er summen delt på antall. Ett svært høyt tall trekker gjennomsnittet opp, men ikke medianen.

Trinnvis utregning:

a) søylediagram med én søyle per film (se figuren)
b) tallene i rekkefølge: $7\ 465$ , $19\ 026$ , $21\ 107$ , $22\ 369$ , $81\ 920$
medianen er den midterste verdien: $21\ 107$
sum: $7\ 465 + 19\ 026 + 21\ 107 + 22\ 369 + 81\ 920 = 151\ 887$
gjennomsnitt: $151\ 887 : 5 = 30\ 377{,}4$
c) «Den 12. mann» har $81\ 920$ besøkende, mer enn tre ganger så mange som nummer to

Svar: a) Se søylediagrammet. b) Medianen er $21\ 107$ og gjennomsnittet er $30\ 377{,}4$ . c) Forskjellen er stor fordi én film (Den 12. mann) har et mye høyere besøkstall enn de andre. Det trekker gjennomsnittet opp, mens medianen bare ser på midtverdien.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 5 poeng)

Poeng	Krav
5/5	Et passende diagram (a), riktig median og gjennomsnitt (b), og en forklaring på at ett svært høyt tall påvirker gjennomsnittet mer enn medianen (c).
3-4/5	To av tre deloppgaver riktige.
1-2/5	Bare ett av punktene riktig.
0/5	Ingen riktige deler.

Sensor-tips

Medianen er den MIDTERSTE verdien når tallene er sortert, ikke den midterste raden i tabellen. Her er tabellen allerede sortert, men det må en sjekke.
I c) holder det ikke å si «tallene er forskjellige». Svaret må peke på ett svært høyt besøkstall (en ekstremverdi).

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2018, Del 2, Oppgave 1

Utdanningsdirektoratet

Vår 2024, Del 2 – Oppgave 1

Med hjelpemidler – 1 poeng

Ida og Juan undersøker hva en ost, en pakke med skinke og et brød koster til sammen i fire forskjellige matbutikker.

De lager hvert sitt diagram som viser hva matvarene koster i de fire matbutikkene.

Gjør en vurdering av diagrammene ovenfor, og argumenter for hvilket diagram som gir best informasjon om matvareprisene.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal vurdere de to diagrammene og argumentere for hvilket som gir best informasjon om prisene.

Strategi og formel: Begge diagrammene viser de samme fire prisene, men y-aksene starter forskjellig. Vi sammenligner hvordan akseskalaen påvirker inntrykket av forskjellene mellom butikkene.

Trinnvis utregning:

begge viser omtrent $204$ , $200$ , $210$ og $190$ kroner for butikkene
Idas y-akse starter på $0$ : søylene er omtrent like høye, og høyden er proporsjonal med prisen
forskjellen mellom billigste ( $190$ ) og dyreste ( $210$ ) er $20$ kr, altså ca. $10\ \%$
Juans y-akse starter på $180$ : forskjellene ser store ut, og LillPrice virker mange ganger billigere enn Foodie
søylehøydene er ikke lenger proporsjonale med prisene

Svar: Idas diagram gir et riktig inntrykk av at prisene er omtrent like (forskjellen er bare ca. 10 %), og er derfor best når en vil vise forholdet mellom prisene. Juans diagram gjør forskjellene lettere å lese av, men overdriver dem fordi aksen ikke starter på 0. Et godt svar argumenterer for begge og trekker fram forskjellen.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Begrunner og argumenterer for begge diagrammene, og fremhever forskjellen i akseskalaen (y-aksen starter på 0 hos Ida og på 180 hos Juan).
0/1	Vurderer bare ett av diagrammene, eller argumenterer uten å trekke fram forskjellen.

Sensor-tips

Sensor: 1 poeng for begrunnelse med argumentasjon for begge fremstillingene som fremhever forskjellene i fremstillingene. Det finnes ikke ett fasitsvar, men svaret må begrunnes.
Hvis y-aksen ikke starter på 0, er søylehøydene ikke proporsjonale med verdiene. Hos Juan ser LillPrice ut til å koste en femtedel av Foodie, mens den egentlig koster 190 av 210 kroner.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2024, Del 2, Oppgave 1

Utdanningsdirektoratet

Vår 2023, Del 1 – Oppgave 4

Uten hjelpemidler

Tabellen nedenfor viser hastigheter målt i en fartskontroll. Alle hastighetene er målt i km/h.

62	20	62	18	55	62	65	54	62	60

a) Avgjør gjennomsnitt, median og typetall.
b) Begrunn hvilket av sentralmålene du ville valgt for å beskrive bilenes hastighet.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne gjennomsnitt, median og typetall for hastighetene, og velge det sentralmålet som beskriver hastigheten best.

Strategi og formel: Gjennomsnittet er summen delt på antall. Medianen er midtverdien når tallene står i rekkefølge, og typetallet er tallet som forekommer flest ganger. De to lave hastighetene (18 og 20) kan trekke gjennomsnittet ned.

Trinnvis utregning:

a) sum: $62 + 20 + 62 + 18 + 55 + 62 + 65 + 54 + 62 + 60 = 520$
antall: $10$
gjennomsnitt: $520 : 10 = 52$
sortert: $18,\ 20,\ 54,\ 55,\ 60,\ 62,\ 62,\ 62,\ 62,\ 65$
medianen er gjennomsnittet av de to midterste: $\frac{60 + 62}{2} = 61$
typetallet er $62$ (forekommer fire ganger)
b) de to lave verdiene $18$ og $20$ trekker gjennomsnittet ned til $52$ , mens åtte av ti biler kjørte mellom $54$ og $65$ km/h

Svar: a) Gjennomsnittet er 52 km/h, medianen er 61 km/h og typetallet er 62 km/h. b) Median (eller typetall) beskriver hastigheten best, fordi gjennomsnittet trekkes ned av de to svært lave hastighetene (18 og 20 km/h).

Vurdering

Poeng	Krav
Fullt svar	a) riktig gjennomsnitt (52), median (61) og typetall (62), og b) en begrunnelse som peker på at ekstremverdiene påvirker gjennomsnittet.
Delvis svar	To av tre sentralmål riktige, eller riktige mål uten god begrunnelse i b).
Lite eller ingen	Mindre enn to riktige sentralmål og ingen begrunnelse.

Sensor-tips

Udir har ikke oppgitt poeng for denne oppgaven. Vurderingen over er Numisums egen.
Medianen er gjennomsnittet av de to midterste tallene når antallet er partall, ikke bare det femte tallet i rekken.
Det finnes ikke ett riktig valg i b), men begrunnelsen må bygge på tallene: gjennomsnittet 52 er lavere enn hastigheten til nesten alle bilene.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2023, Del 1, Oppgave 4

Utdanningsdirektoratet

Vår 2015, Del 1 – Oppgave 12

Uten hjelpemidler – 1 poeng

Nedenfor ser du vekten til 4 av spillerne i Chelsea Football Club.

Ivanovic	Drogba	Fàbregas	Terry
91 kg	91 kg	74 kg	90 kg

a) Gjennomsnittsvekten for de 4 spillerne er ______________ kg
b) Medianvekten for de 4 spillerne er ______________ kg

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne gjennomsnitt og median for vekten til de fire spillerne.

Strategi og formel: Gjennomsnittet er summen delt på antall. Medianen er midtverdien når tallene står i rekkefølge. Med fire tall er den gjennomsnittet av de to midterste.

Trinnvis utregning:

a) sum: $91 + 91 + 74 + 90 = 346$
gjennomsnitt: $346 : 4 = 86{,}5$ kg
b) i rekkefølge: $74,\ 90,\ 91,\ 91$
de to midterste er $90$ og $91$
median: $\frac{90 + 91}{2} = 90{,}5$ kg

Svar: a) Gjennomsnittsvekten er $86{,}5$ kg. b) Medianvekten er $90{,}5$ kg.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Begge riktige: 86,5 kg og 90,5 kg.
1/2	Én av delene riktig.
0/2	Ingen riktige svar.

Sensor-tips

Medianen er gjennomsnittet av de to midterste tallene når antallet er partall. Svaret 91 (andre tall fra høyre) er ikke riktig.
Tallene må settes i rekkefølge før medianen finnes.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2015, Del 1, Oppgave 12

Utdanningsdirektoratet

Eksempeloppgave vår 2015, Del 1 – Oppgave 11

1.5 poeng

Nedenfor ser du høyden til 4 av spillerne på Chelsea FC.

Ivanovic	Drogba	Willian	Fabregas
185 cm	189 cm	175 cm	175 cm

a) Bestem typetallshøyden for de 4 spillerne: ______________ cm
b) Bestem medianhøyden for de 4 spillerne: ______________ cm
c) Bestem gjennomsnittshøyden for de 4 spillerne: ______________ cm

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne typetall, median og gjennomsnitt for høyden til de fire spillerne.

Strategi og formel: Typetallet er verdien som forekommer flest ganger. Medianen er midtverdien (her gjennomsnittet av de to midterste). Gjennomsnittet er summen delt på antall.

Trinnvis utregning:

a) $175$ forekommer to ganger, de andre en gang hver
typetall: $175$ cm
b) i rekkefølge: $175,\ 175,\ 185,\ 189$
de to midterste er $175$ og $185$
median: $\frac{175 + 185}{2} = 180$ cm
c) sum: $185 + 189 + 175 + 175 = 724$
gjennomsnitt: $724 : 4 = 181$ cm

Svar: a) Typetallet er 175 cm. b) Medianen er 180 cm. c) Gjennomsnittet er 181 cm.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1.5 poeng)

Poeng	Krav
1,5/1,5	Alle tre riktige: 175 cm, 180 cm og 181 cm.
1/1,5	To av tre riktige.
0,5/1,5	Ett av tre riktige.
0/1,5	Ingen riktige.

Sensor-tips

Udir oppgir at dette er en eksempeloppgave til den nye eksamensordningen våren 2015.
Medianen er ikke den tredje høyden i den oppgitte rekkefølgen. Sorter først: 175, 175, 185, 189.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksempeloppgave til eksamen på ungdomstrinnet, Vår 2015, Del 1, Oppgave 11

Utdanningsdirektoratet

Eksempeloppgave vår 2015, Del 2 – Oppgave 2

2 poeng

I oppgave 2 skal du bruke regneark.

Nedenfor ser du vekten til 7 av spillerne på Liverpool FC per 13. september 2014.

Sturridge	Gerrard	Skrtel	Balotelli	Saez	Enrique	Mignolet
76 kg	83 kg	81 kg	80 kg	70 kg	76 kg	87 kg

a) Lag et passende diagram som viser vekten til disse 7 spillerne.
b) Forklar hvorfor et linjediagram ikke viser vekten til disse 7 spillerne på en god måte.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal lage et passende diagram over vektene og forklare hvorfor et linjediagram passer dårlig.

Strategi og formel: Vekten gjelder sju ulike personer som er kategorier uten naturlig rekkefølge. Et søylediagram sammenligner slike kategorier. Et linjediagram brukes til å vise utvikling over tid.

Trinnvis utregning:

a) søylediagram med én søyle per spiller og vekt i kg på andreaksen (se figuren)
b) et linjediagram binder sammen punktene med linjestykker og viser en utvikling
mellom to spillere finnes ingen verdier, og spillerne har ingen naturlig rekkefølge

Svar: a) Se søylediagrammet. b) Et linjediagram passer ikke fordi spillerne er ulike personer og ikke en utvikling over tid. Linjene mellom punktene ville vist verdier som ikke finnes.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	a) et passende diagram (søylediagram) med riktige verdier og aksetitler, og b) en forklaring på at spillerne ikke er en utvikling eller kontinuerlig serie.
1/2	Én av delene riktig.
0/2	Ingen riktige deler.

Sensor-tips

Udir oppgir at dette er en eksempeloppgave til den nye eksamensordningen våren 2015 («1 + 1 poeng»).
Linjediagram passer når den ene aksen er tid eller en annen kontinuerlig størrelse. Her er den ene aksen navn på personer.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksempeloppgave til eksamen på ungdomstrinnet, Vår 2015, Del 2, Oppgave 2

Utdanningsdirektoratet

Vår 2012, Del 1 – Oppgave 13

Uten hjelpemidler – 1 poeng

Nedenfor ser du høyden på noen av fotballspillerne på spanske FC Barcelona, som vant Champions League-finalen 2011:

Xavi	Messi	Iniesta	Mascherano	Alves	Puyol	Villa
170 cm	169 cm	170 cm	174 cm	173 cm	178 cm	175 cm

a) Medianhøyde for alle fotballspillerne ovenfor: ________________ cm
b) Gjennomsnittshøyde for Xavi, Messi, Iniesta og Villa: ________________ cm

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne medianen for alle syv spillerne og gjennomsnittet for fire av dem.

Strategi og formel: I a) setter vi høydene i rekkefølge og finner midtverdien. I b) legger vi sammen de fire høydene og deler på 4.

Trinnvis utregning:

a) i rekkefølge: $169,\ 170,\ 170,\ 173,\ 174,\ 175,\ 178$
den midterste av 7 tall er nummer 4
median: $173$ cm
b) sum: $170 + 169 + 170 + 175 = 684$
gjennomsnitt: $684 : 4 = 171$ cm

Svar: a) Medianhøyden er $173$ cm. b) Gjennomsnittshøyden er $171$ cm.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Begge riktige: 173 cm og 171 cm.
0/1	Bare én del riktig, eller feil svar.

Sensor-tips

Medianen er den midterste verdien når tallene står i rekkefølge, ikke den midterste i tabellen slik den er skrevet.
Det er syv spillere, så medianen er tall nummer 4 i den sorterte listen.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2012, Del 1, Oppgave 13

Utdanningsdirektoratet

Vår 2009, Del 1 – Oppgave 3

Uten hjelpemidler – 1 poeng

10 personer på gaten ble spurt om hvor mange filmer de hadde sett i løpet av en uke.

De svarte slik:

1	2	2	3	4	0	2	13	2	1

Finn gjennomsnitt (middelverdi) og typetall.

a) Gjennomsnitt: __________
b) Typetall: __________

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne gjennomsnittet og typetallet for de ti svarene.

Strategi og formel: Gjennomsnittet er summen delt på antall svar. Typetallet er svaret som forekommer flest ganger.

Trinnvis utregning:

a) sum: $1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 0 + 2 + 13 + 2 + 1 = 30$
gjennomsnitt: $30 : 10 = 3$
b) $2$ forekommer 4 ganger, $1$ forekommer 2 ganger, og de andre én gang
typetall: $2$

Svar: a) Gjennomsnittet er $3$ filmer. b) Typetallet er $2$ .

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Begge riktige: gjennomsnitt 3 og typetall 2.
0/1	Bare én del riktig, eller feil svar.

Sensor-tips

Svaret 13 trekker gjennomsnittet opp. Typetallet 2 beskriver bedre hva de fleste svarte.
Typetallet er verdien som forekommer flest ganger, ikke den største verdien.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2009, Del 1, Oppgave 3

Utdanningsdirektoratet

Eksempeloppgave vår 2009, Del 2 – Oppgave 308

Denne oppgaven skal løses ved hjelp av regneark.

Nedenfor ser du en oversikt over den samlede norske produksjonen av råolje på oljefeltene i Nordsjøen fra 1994 til 2004. Tallene er oppgitt i 1 000 tonn.

Årstall	Produksjon i 1000 tonn
1994	127 067
1995	136 838
1996	154 795
1997	157 174
1998	150 082
1999	150 717
2000	156 805
2001	159 008
2002	152 011
2003	145 383
2004	141 071

Framstill tallene i tabellen ved hjelp av et diagram, og finn gjennomsnittlig oljeproduksjon per år i perioden.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal lage et diagram over produksjonen og finne gjennomsnittet per år.

Strategi og formel: Tallene er en utvikling over tid, så vi lager et søylediagram med år på førsteaksen. Gjennomsnittet finner vi med funksjonen GJENNOMSNITT i regnearket.

Trinnvis utregning:

diagram: søylediagram med årstall på førsteaksen og produksjon (1 000 tonn) på andreaksen
sum: $1\ 630\ 951$ (1 000 tonn)
antall år: $11$
gjennomsnitt: $1\ 630\ 951 : 11 = 148\ 268{,}3$
regnearkformel: =GJENNOMSNITT(B2:B12)

Svar: Gjennomsnittlig produksjon er $148\ 268$ (1 000 tonn) per år, altså omtrent 148 millioner tonn.

Vurdering

Poeng	Krav
Riktig	Passende diagram med aksetitler og riktig gjennomsnitt, ca. 148 268 (1 000 tonn).
Delvis	Diagram eller gjennomsnitt riktig.
Feil	Ingen riktige deler.

Sensor-tips

Udirs eksempeloppgave 2 til eksamen våren 2009 (utgitt 2008). Poeng og karakterkrav er ikke oppgitt per oppgave her.
Perioden 1994 til 2004 er 11 år, ikke 10. Tell begge endene.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksempeloppgave til eksamen på ungdomstrinnet, Vår 2009, Del 2, Oppgave 308

Utdanningsdirektoratet

Vår 2009, Del 2 – Oppgave 2

Med hjelpemidler – 3 poeng

Denne oppgaven skal løses ved hjelp av regneark.

Tabellen viser hvor mange stortingsplasser de ulike partiene fikk etter valget i 2005.

Parti	Plasser
AP: Arbeiderpartiet	61
SV: Sosialistisk Venstreparti	15
SP: Senterpartiet	11
V: Venstre	10
KRF: Kristelig Folkeparti	11
H: Høyre	23
FRP: Fremskrittspartiet	38

Lag et stolpediagram som viser fordelingen av stortingsplassene for disse partiene.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal lage et stolpediagram over stortingsplassene til de sju partiene.

Strategi og formel: Vi skriver partiene og antall plasser inn i regnearket, markerer begge kolonnene og velger stolpediagram. Aksene får titler.

Trinnvis utregning:

parti i første kolonne og plasser i andre kolonne
markerer tabellen
velger stolpediagram
førsteaksen: parti, andreaksen: antall plasser
kontroll: $61 + 15 + 11 + 10 + 11 + 23 + 38 = 169$ plasser

Svar: Stolpediagrammet viser at AP har flest plasser, $61$ , og at plassene til sammen er $169$ .

Sensorveiledning og poengkrav (maks 3 poeng)

Poeng	Krav
3/3	Stolpediagram med riktige verdier for alle sju partier og aksetitler.
2/3	Riktig diagram, men aksetitler mangler eller en verdi er feil.
1/3	Delvis riktig diagram, eller feil diagramtype.
0/3	Ingen riktig besvarelse.

Sensor-tips

Antall plasser står i sektordiagrammet i originaloppgaven. Det er skrevet som tabell her, siden tallene er offentlige valgresultater.
Stolpediagram passer når vi sammenligner kategorier som partier.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2009, Del 2, Oppgave 2

Utdanningsdirektoratet

Vår 2022, Del 2 – Oppgave 7

Med hjelpemidler

Venstre var støtteparti for den blågrønne regjeringen i perioden 2013–2017, og ble med i regjeringen fra januar 2018.

I en kampanje lagde partiet Venstre en grafisk framstilling som viste klimautslippene i perioden 2012–2018. Under overskriften «Klimautslippene går ned med Venstre i regjering» viser grafikken et linjediagram over «totale utslipp i millioner tonn» (kilde: Statistisk sentralbyrå). Andreaksen går fra 51 000 til 55 000. Utslippet er omtrent 54 700 i 2012, 54 000 i 2013 og 2014, 54 400 i 2015, 53 400 i 2016, 52 500 i 2017 og 52 100 i 2018. Året 2012 har rød bakgrunn og merkelappen «Rødgrønn regjering», og årene 2013 til 2018 har blågrønn bakgrunn og merkelappen «Blågrønn regjering».

Gjør en kritisk vurdering av den grafiske framstillingen, og vurder om den gir et riktig bilde av utviklingen.

Figur i originaloppgaven: Kampanjegrafikken fra partiet Venstre vises i originaloppgaven (MAT0015, eksamen våren 2022, Del 2, oppgave 7). Grafikken er opphavsrettsbeskyttet og er derfor beskrevet i teksten over. Se originalen hos Utdanningsdirektoratet

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal vurdere kritisk om kampanjegrafikken gir et riktig bilde av klimautslippene.

Strategi og formel: Vi leser av verdiene, regner ut endringene i prosent og vurderer hvordan akse, farger og overskrift påvirker inntrykket.

Trinnvis utregning:

endring fra 2012 til 2018: $54\ 700 - 52\ 100 = 2\ 600$
$\frac{2\ 600}{54\ 700} = 0{,}048 = 4{,}8\ \%$
endring fra 2017 til 2018 (Venstre i regjering): $52\ 500 - 52\ 100 = 400$
$\frac{400}{52\ 500} = 0{,}8\ \%$
andreaksen starter på 51 000, ikke 0, så fallet ser mye større ut enn 4,8 %
utslippet økte fra 2014 til 2015 (fra 54 000 til 54 400)
grafikken viser bare korrelasjon i tid, ikke at Venstre har skapt nedgangen

Svar: Grafikken gir et villedende bilde: utslippet har gått ned med $4{,}8\ \%$ fra 2012 til 2018, men bare $0{,}8\ \%$ det første året Venstre satt i regjering.

Vurdering

Poeng	Krav
Full	Minst tre begrunnede observasjoner (akse som ikke starter på null, bare 0,8 % under Venstre i regjering, valg av farger og tidsperiode, årsak og virkning) med tall.
Delvis	Én eller to observasjoner, eller observasjoner uten begrunnelse.
Ingen	Ingen relevante observasjoner.

Sensor-tips

Udir har ikke publisert poeng og sensorveiledning i dette dokumentet. Vurderingen er Numisums egen.
En kritisk vurdering skal peke på hva grafikken viser, hva den kan gi inntrykk av, og hva den ikke viser. Støtt hver påstand med et tall fra grafikken.
Overskriften sier «med Venstre i regjering», men Venstre var med i regjeringen bare fra januar 2018. Det meste av nedgangen skjedde før.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2022, Del 2, Oppgave 7

Utdanningsdirektoratet

Eksempeloppgave høst 2021, Del 2 – Oppgave 8

I en artikkel i A-magasinet om antall uføretrygdede og sykemeldinger i Norge står to linjediagrammer.

Det første diagrammet, «Andel uføretrygdede av befolkningen», viser prosentandel for årene 2015 til 2018: 9,7 % i 2015, 9,7 % i 2016, 9,8 % i 2017 og 10,1 % i 2018. Andreaksen går fra 9,7 til 10,1. Under står det at det ved utgangen av 2018 var over 350 000 uføretrygdede i Norge.
Det andre diagrammet, «Antall sykemeldinger», viser en økende linje opp til 3 742 567 sykemeldinger i 2019. Andreaksen starter på 3 580 000. Under overskriften står: «Økning 2015-2019: 4,6 prosent. I samme periode er Norges befolkning økt med 3,1 prosent.»

Gi en kritisk vurdering av de grafiske framstillingene.

Figur i originaloppgaven: De to diagrammene fra A-magasinet vises i originaloppgaven (MAT0010, eksempeloppgave 2021, Del 2, oppgave 8) og er opphavsrettsbeskyttet. De er derfor beskrevet i teksten over. Se originalen hos Utdanningsdirektoratet

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal vurdere kritisk hvordan de to diagrammene fremstiller utviklingen.

Strategi og formel: Vi ser på hvor aksene starter, regner om økningene til prosent og sammenligner med befolkningsveksten.

Trinnvis utregning:

første diagram: økning fra $9{,}7$ til $10{,}1$ prosent er $0{,}4$ prosentpoeng
relativt: $\frac{0{,}4}{9{,}7} = 0{,}041 = 4{,}1\ \%$
andreaksen starter på $9{,}7$ , så linjen ser ut til å stige svært bratt
andre diagram: økning $4{,}6\ \%$ mot befolkningsvekst $3{,}1\ \%$
per innbygger: $\frac{1{,}046}{1{,}031} = 1{,}0145$ , altså $1{,}5\ \%$ økning
andreaksen starter på $3\ 580\ 000$ , så 2015-verdien ligger nederst, og økningen ser enorm ut
fra 2015 til 2019: $3\ 742\ 567 : 1{,}046 = 3\ 578\ 000$ i 2015

Svar: Begge diagrammene bruker en andreakse som ikke starter på null, og framstillingene overdriver utviklingen. Økningen i sykemeldinger per innbygger er bare ca. $1{,}5\ \%$ , og andelen uføretrygdede økte med $4{,}1\ \%$ relativt, ikke «eksploderende».

Vurdering

Poeng	Krav
Full	Minst tre begrunnede observasjoner med tall (akse som ikke starter på null, prosentpoeng mot prosent, befolkningsvekst, manglende år på førsteaksen).
Delvis	Én eller to observasjoner.
Ingen	Ingen relevante observasjoner.

Sensor-tips

Udirs eksempeloppgave fra 2021. Poeng er ikke publisert for denne oppgaven. Vurderingen er Numisums egen.
Når en akse ikke starter på null, blir små endringer visuelt store. Sjekk alltid hvor aksen starter.
Prosentpoeng og prosent er ikke det samme: 9,7 til 10,1 er 0,4 prosentpoeng, men 4,1 prosent økning.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksempeloppgave til eksamen på ungdomstrinnet, Høst 2021, Del 2, Oppgave 8