Spredningsmål

Mens sentralmål (gjennomsnitt, median, typetall) forteller om MIDTEN av et datasett, forteller SPREDNINGSMÅL om hvor spredt verdiene er. Variasjonsbredden er den enkleste: differansen mellom det største og det minste tallet. Kvartilene deler datasettet i fire like store deler og gir et mer detaljert bilde.

Variasjonsbredde

$\text{Variasjonsbredde} = \text{størst verdi} - \text{minst verdi}$

Tips

To datasett kan ha samme gjennomsnitt, men helt ulik spredning – regn alltid ut et spredningsmål i tillegg til sentralmålet for å få et fullstendig bilde.
Én ekstrem uteligger kan gjøre variasjonsbredden mye større enn resten av dataene tilsier – sjekk om uteliggeren er en feilregistrering før du stoler på tallet.

Eksempel: Finne variasjonsbredde og kvartiler

En klasse fikk følgende poeng på en prøve: 12, 15, 18, 20, 22, 25, 28. Finn variasjonsbredden og medianen.

Sortert datasett med median markert
Posisjon	1	2	3	4	5	6	7
Poeng	12	15	18	20	22	25	28

Løsning:

Dataene 12, 15, 18, 20, 22, 25, 28 er allerede sortert, så variasjonsbredden er 28 − 12 = 16 poeng
medianen er det midterste tallet av sju verdier, altså det fjerde tallet
12, 15, 18, 20, 22, 25, 28
medianen er 20 poeng.

Alternativ forklaring/metode: Del datasettet i fire like deler

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Kvartilbredde (mer presist enn variasjonsbredde)

Variasjonsbredden bruker bare de to ytterste verdiene, og kan derfor bli misvisende hvis én verdi er en uteligger. Kvartiler deler dataene inn i fire like store deler (Q1, Q2=median, Q3), og kvartilbredden (Q3 − Q1) beskriver spredningen i den «midterste halvparten» av dataene – mindre påvirket av ekstremverdier.

Kvartiler deler datasettet i fire
Kvartil	Betydning
Q1	25 % av data under
Q3	75 % av data under

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Et datasett er 5, 8, 10, 12, 15. Finn variasjonsbredden.

Vis fasit

Variasjonsbredde for 5,8,10,12,15
Verdi	Tall
Størst	15
Minst	5
Variasjonsbredde	10

Størst er 15, minst er 5
variasjonsbredden er 15 − 5 = 10

L-12Et datasett er 3, 3, 3, 3, 3. Finn variasjonsbredden.

Vis fasit

Variasjonsbredde for 3,3,3,3,3
Verdi	Tall
Størst	3
Minst	3
Variasjonsbredde	0

Størst og minst er begge 3
variasjonsbredden er 3 − 3 = 0

L-13Et datasett er 20, 22, 25, 30, 45. Finn variasjonsbredden.

Vis fasit

Variasjonsbredde for 20,22,25,30,45
Verdi	Tall
Størst	45
Minst	20
Variasjonsbredde	25

Størst er 45, minst er 20
variasjonsbredden er 45 − 20 = 25

Middels(3)

M-11To klasser har samme gjennomsnittskarakter 4, men klasse A har variasjonsbredde 1 og klasse B har variasjonsbredde 5. Hva forteller dette om klassene?

Vis fasit

Sammenligne klasse A og B
Klasse	Variasjonsbredde
A	1
B	5, mer sprikende

Samme gjennomsnitt (4) betyr samme MIDTE, men ulik variasjonsbredde (1 mot 5) betyr ulik SPREDNING
A er jevnere, B er mer sprikende

M-12Et datasett er 10, 12, 13, 14, 16, 90. Hvorfor kan variasjonsbredden her være misvisende?

Vis fasit

Variasjonsbredde med uteligger
Verdi	Tall
Størst	90
Minst	10
Variasjonsbredde	80, misvisende

De fleste tallene ligger mellom 10 og 16, men 90 er langt unna
variasjonsbredden blir 90 − 10 = 80, som ikke gjenspeiler resten av datasettet
90 er trolig en uteligger, gjør variasjonsbredden misvisende

M-13Et datasett med 9 sorterte verdier er 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 20. Finn medianen (den midterste verdien).

Vis fasit

Median med 9 sorterte verdier
Posisjon	Verdi
4.	7
5. (median)	9
6.	11

Med 9 verdier er den midterste den 5. verdien
2, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 20

Vanskelig(3)

V-11To datasett har samme variasjonsbredde (20), men datasett A har alle verdier nær midten og datasett B har verdiene jevnt fordelt. Sier variasjonsbredden noe om denne forskjellen?

Vis fasit

Samme variasjonsbredde, ulik fordeling
Datasett	Variasjonsbredde
A (nær midten)	20
B (jevnt fordelt)	20, likevel ulik fordeling

Begge datasettene har variasjonsbredde 20, men variasjonsbredden bruker bare størst og minst verdi, uansett hvordan de andre verdiene er fordelt mellom dem
nei, variasjonsbredden skiller ikke mellom disse to fordelingene

V-12Et datasett er 8, 10, 10, 10, 10, 10, 50. Regn ut både gjennomsnittet og variasjonsbredden. Hvorfor gir de to målene et ulikt bilde av datasettet?

Vis fasit

Gjennomsnitt og variasjonsbredde med uteligger
Mål	Verdi
Sum	108
Gjennomsnitt (108:7)	15,4
Variasjonsbredde	42

Sum: 8+10+10+10+10+10+50=108, gjennomsnitt: 108 : 7 ≈ 15,4. Variasjonsbredde: 50 − 8 = 42
begge målene «forstyrres» av uteliggeren 50, selv om typetallet (10) beskriver dataene bedre

V-13Et datasett har kvartiler Q1=10 og Q3=18. Finn kvartilbredden.

Vis fasit

Kvartilbredde
Kvartil	Verdi
Q3	18
Q1	10
Kvartilbredde	8

Kvartilbredde: Q3 − Q1 = 18 − 10 = 8