Momentan vekstfart og den deriverte

Lar du det andre punktet gli nærmere og nærmere det første, nærmer sekanten seg en TANGENT – en linje som bare berører grafen i ett punkt. Stigningstallet til tangenten er den momentane vekstfarten, og skrives $f'(x)$ (uttales «f derivert av x»). Den deriverte er altså en ny funksjon som gir stigningstallet i hvert punkt.

Den deriverte

$f'(x) = \text{stigningstallet til tangenten i } x$

f(x) = x²

Tips

Positiv $f'(x)$ betyr at funksjonen vokser i det punktet, negativ at den avtar, og $f'(x) = 0$ at den er flat – topp- eller bunnpunkt.
Sekanten bruker TO punkter, tangenten bare ETT. Det er hele forskjellen på gjennomsnittlig og momentan vekstfart.

Eksempel: Se sekanten nærme seg tangenten

For $f(x) = x^2$ : regn ut vekstfarten fra $x = 2$ til $x = 2{,}1$ , og til $x = 2{,}01$ . Hva nærmer den seg?

Sekanten nærmer seg tangenten
Til x	Endring i y	Endring i x	Vekstfart
3	5	1	5
2,1	0,41	0,1	4,1
2,01	0,0401	0,01	4,01
→ 2	→ 0	→ 0	→ 4

Løsning:

Vi starter med $x = 2$ til $x = 2{,}1$ : $f(2{,}1) = 4{,}41$ , så vekstfarten er $\frac{4{,}41 - 4}{0{,}1} = \frac{0{,}41}{0{,}1} = 4{,}1$
så $x = 2$ til $x = 2{,}01$ : $f(2{,}01) = 4{,}0401$ , som gir $\frac{0{,}0401}{0{,}01} = 4{,}01$
tallene nærmer seg $4$ mer og mer. Den momentane vekstfarten i $x = 2$ er $f'(2) = 4$ .

Alternativ forklaring/metode: Dra punktet og se tangenten oppstå

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Digitalt verktøy (GeoGebra)

I GeoGebra kan du lage en sekant gjennom to punkter og så dra det ene punktet mot det andre. Stigningstallet vises hele tiden, og du ser tallet nærme seg en fast verdi mens linjen legger seg inntil kurven. Det gjør grenseprosessen synlig som en bevegelse i stedet for som en tabell – mange får «aha»-følelsen først da.

f(x) = x², punktet dras mot x = 1

Alternativ forklaring/metode: Bruk punkter på BEGGE sider av x

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Symmetrisk differansekvotient (sentraldifferanse)

I stedet for å bare la det andre punktet nærme seg fra én side, bruk ett punkt litt FØR og ett litt ETTER: $f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}$ . Feilen kansellerer da delvis, og du får ofte et bedre anslag med samme $h$ . For $f(x) = x^2$ i $x = 2$ med $h = 0{,}1$ : den ensidige tilnærmingen fra tabellen ga $4{,}1$ – ikke helt $4$ . Den symmetriske gir $f(2{,}1) = 4{,}41$ og $f(1{,}9) = 3{,}61$ → $\frac{4{,}41 - 3{,}61}{0{,}2} = \frac{0{,}8}{0{,}2} = 4$ – nøyaktig riktig, selv med samme skrittlengde $h$ . Dette er metoden Python og andre programmeringsspråk oftest bruker til numerisk derivasjon.

Symmetrisk differansekvotient i x = 2, h = 0,1
Størrelse	Verdi
f(2,1)	4,41
f(1,9)	3,61
Differanse	0,8
Delt på 2h = 0,2	4

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva betyr det at $f'(3) = 0$ ?

Vis fasit

Beregning	Resultat
f'(3)	0
tangenten har stigningstall null
grafen er flat der, et topp- eller bunnpunkt

f'(3) = 0
tangenten har stigningstall null
grafen er flat der, et topp- eller bunnpunkt

L-22Hva betyr det at

f'(2) = 5

Vis fasit

Beregning	Resultat
f'(2)	5
tangentens stigningstall i x	2 er 5
funksjonen vokser der

f'(2) = 5
tangentens stigningstall i x = 2 er 5
funksjonen vokser der

L-23Hvor mange punkter trenger du for å tegne en tangent?

Vis fasit

Beregning	Resultat
En tangent berører grafen i ett punkt
1 punkt

En tangent berører grafen i ett punkt
1 punkt

Middels(3)

M-21Er

f'(x)

positiv eller negativ der grafen synker?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Synkende graf
tangenten heller nedover
negativ f'(x)

Synkende graf
tangenten heller nedover
negativ f'(x)

M-22For

f(x) = x^2

: er

f'(1)

større eller mindre enn

f'(3)

Vis fasit

Beregning	Resultat
f(x)	x opphøyd i 2 blir brattere mot høyre
f'(1) = 2 og f'(3)	6
f'(1) er mindre

f(x) = x opphøyd i 2 blir brattere mot høyre
f'(1) = 2 og f'(3) = 6
f'(1) er mindre

M-23Hva kalles linjen gjennom to punkter på grafen?

Vis fasit

Beregning	Resultat
To punkter gir en sekant; ett punkt gir en tangent

To punkter gir en sekant; ett punkt gir en tangent

Vanskelig(3)

V-21For

f(x) = x^2

: regn ut vekstfarten fra

x = 3

til

x = 3{,}1

Vis fasit

Beregning	Resultat
Fra x	3 til 3,1
f(3) = 9 og f(3,1)	9,61
0,61 delt på 0,1	6,1, som nærmer seg f'(3) = 6

Fra x = 3 til 3,1
f(3) = 9 og f(3,1) = 9,61
0,61 delt på 0,1 = 6,1, som nærmer seg f'(3) = 6

V-22Hva skjer med sekanten når de to punktene glir sammen?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Avstanden mellom punktene går mot null
sekanten legger seg inntil kurven
den blir tangenten

Avstanden mellom punktene går mot null
sekanten legger seg inntil kurven
den blir tangenten

V-23Kan

f'(x)

være null i et punkt der grafen verken har topp- eller bunnpunkt?

Vis fasit

Beregning	Resultat
f'(x)	0 betyr bare flat tangent
f.eks. x³ i x	0 er flat uten å snu
ja, et terrassepunkt

f'(x) = 0 betyr bare flat tangent
f.eks. x³ i x = 0 er flat uten å snu
ja, et terrassepunkt