Gjennomsnittlig vekstfart

Gjennomsnittlig vekstfart mellom to punkter er endringen i $y$ delt på endringen i $x$ – nøyaktig det samme som stigningstallet til linjen gjennom de to punktene. Den linjen kalles en SEKANT. Går du fra $x_1$ til $x_2$ , er vekstfarten $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ .

$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

Tips

Rekkefølgen må være den samme oppe og nede: trekker du $f(x_1)$ fra $f(x_2)$ i telleren, må du trekke $x_1$ fra $x_2$ i nevneren.
Enheten forteller hva svaret betyr. Er $y$ i kroner og $x$ i år, er vekstfarten kroner per år.

Eksempel: Regne ut gjennomsnittlig vekstfart

For $f(x) = x^2$ , finn gjennomsnittlig vekstfart fra $x = 1$ til $x = 3$ .

Vekstfart mellom x = 1 og x = 3
Størrelse	Utregning	Verdi
Endring i y	9 - 1	8
Endring i x	3 - 1	2
Vekstfart	8 : 2	4

Løsning:

Vi regner ut funksjonsverdiene i endepunktene: $f(1) = 1^2 = 1$ og $f(3) = 3^2 = 9$
finn endringen i $y$ : $9 - 1 = 8$
finn endringen i $x$ : $3 - 1 = 2$
del: $\frac{8}{2} = 4$ . Den gjennomsnittlige vekstfarten er $4$ .

Alternativ forklaring/metode: Les stigningstallet til sekanten

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Grafisk avlesning

Tegner du linjen gjennom $(1, 1)$ og $(3, 9)$ , kan du lese stigningstallet rett av grafen: gå $2$ til høyre og $8$ opp, altså $4$ opp per $1$ til høyre. Regnestykket og avlesningen gir samme tall, men det grafiske bildet gjør det klart at gjennomsnittlig vekstfart ER stigningstallet til en linje.

f(x) = x², sekant gjennom (1,1) og (3,9)

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Fra $f(1) = 2$ til $f(4) = 11$ : hva er gjennomsnittlig vekstfart?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Fra f(1) = 2 til f(4)	11
endring i y er 11 - 2 = 9, endring i x er 4 - 1	3
9 : 3	3

Fra f(1) = 2 til f(4) = 11
endring i y er 11 - 2 = 9, endring i x er 4 - 1 = 3
9 : 3 = 3

L-12Fra

f(0) = 5

til

f(2) = 9

: hva er gjennomsnittlig vekstfart?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Fra f(0) = 5 til f(2)	9
9 - 5 = 4 over 2 - 0	2
2

Fra f(0) = 5 til f(2) = 9
9 - 5 = 4 over 2 - 0 = 2
2

L-13Fra

f(1) = 10

til

f(3) = 4

: hva er gjennomsnittlig vekstfart?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Fra f(1) = 10 til f(3)	4
4 - 10 = -6 over 3 - 1	2
-3, altså en nedgang

Fra f(1) = 10 til f(3) = 4
4 - 10 = -6 over 3 - 1 = 2
-3, altså en nedgang

Middels(3)

M-11For

f(x) = x^2

, finn vekstfarten fra

x = 0

til

x = 2

Vis fasit

Beregning	Resultat
f(x) = x² gir f(0) = 0 og f(2)	4
4 - 0 = 4 over 2 - 0	2
2

f(x) = x² gir f(0) = 0 og f(2) = 4
4 - 0 = 4 over 2 - 0 = 2
2

M-12For

f(x) = x^2

, finn vekstfarten fra

x = 2

til

x = 4

Vis fasit

Beregning	Resultat
f(x) = x² gir f(2) = 4 og f(4)	16
16 - 4 = 12 over 4 - 2	2
6

f(x) = x² gir f(2) = 4 og f(4) = 16
16 - 4 = 12 over 4 - 2 = 2
6

M-13For

f(x) = 3x

, finn vekstfarten fra

x = 1

til

x = 5

Vis fasit

Beregning	Resultat
f(x) = 3x gir f(1) = 3 og f(5)	15
15 - 3 = 12 over 5 - 1	4
3, samme som stigningstallet

f(x) = 3x gir f(1) = 3 og f(5) = 15
15 - 3 = 12 over 5 - 1 = 4
3, samme som stigningstallet

Vanskelig(3)

V-11Hvorfor er vekstfarten til

f(x) = 3x

den samme uansett intervall?

Vis fasit

Beregning	Resultat
f(x)	3x er lineær
stigningstallet 3 er likt overalt
vekstfarten er konstant 3

f(x) = 3x er lineær
stigningstallet 3 er likt overalt
vekstfarten er konstant 3

V-12For

f(x) = x^2

, er vekstfarten større fra 0 til 2, eller fra 2 til 4?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Fra 0 til 2 gir 2, fra 2 til 4 gir 6
fra 2 til 4, fordi parabelen blir brattere

Fra 0 til 2 gir 2, fra 2 til 4 gir 6
fra 2 til 4, fordi parabelen blir brattere

V-13En bil kjører 150 km på 2 timer. Hva er gjennomsnittsfarten?

Vis fasit

Beregning	Resultat
150 km delt på 2 timer
75 km/t, som er gjennomsnittlig vekstfart for strekningen

150 km delt på 2 timer
75 km/t, som er gjennomsnittlig vekstfart for strekningen