Gjennomsnittlig vekstfart

Gjennomsnittlig vekstfart mellom to punkter er endringen i $y$ delt på endringen i $x$ , nøyaktig det samme som stigningstallet til linjen gjennom de to punktene. Den linjen kalles en SEKANT. Går du fra $x_1$ til $x_2$ , er vekstfarten $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ .

$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

Tips

Rekkefølgen må være den samme oppe og nede: trekker du $f(x_1)$ fra $f(x_2)$ i telleren, må du trekke $x_1$ fra $x_2$ i nevneren.
Enheten forteller hva svaret betyr. Er $y$ i kroner og $x$ i år, er vekstfarten kroner per år.

Eksempel: Regne ut gjennomsnittlig vekstfart

For $f(x) = x^2$ , finn gjennomsnittlig vekstfart fra $x = 1$ til $x = 3$ .

Løsning:

Vi regner ut funksjonsverdiene i endepunktene: $f(1) = 1^2 = 1$ og $f(3) = 3^2 = 9$
finn endringen i $y$ : $9 - 1 = 8$
finn endringen i $x$ : $3 - 1 = 2$
del: $\frac{8}{2} = 4$ . Den gjennomsnittlige vekstfarten er $4$ .

Vekstfart mellom x = 1 og x = 3
Størrelse	Utregning	Verdi
Endring i y	9 - 1	8
Endring i x	3 - 1	2
Vekstfart	8 : 2	4

Alternativ forklaring/metode: Les stigningstallet til sekanten

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Grafisk avlesning

Tegner du linjen gjennom $(1, 1)$ og $(3, 9)$ , kan du lese stigningstallet rett av grafen: gå $2$ til høyre og $8$ opp, altså $4$ opp per $1$ til høyre. Regnestykket og avlesningen gir samme tall, men det grafiske bildet gjør det klart at gjennomsnittlig vekstfart ER stigningstallet til en linje.

f(x) = x², sekant gjennom (1,1) og (3,9)

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Fra $f(1) = 2$ til $f(4) = 11$ : hva er gjennomsnittlig vekstfart?

Vis fasit

Fra f(1) = 2 til f(4) = 11
endring i y er 11 - 2 = 9, endring i x er 4 - 1 = 3
9 : 3 = 3

L-12Fra

f(0) = 5

til

f(2) = 9

: hva er gjennomsnittlig vekstfart?

Vis fasit

Fra $f(0) = 5$ til $f(2) = 9$
$\frac{9 - 5}{2 - 0} = \frac{4}{2} =$ $2$

L-13Fra $f(1) = 10$ til $f(3) = 4$ : hva er gjennomsnittlig vekstfart?

Vis fasit

Fra $f(1) = 10$ til $f(3) = 4$
$\frac{4 - 10}{3 - 1} = \frac{-6}{2} =$ $-3$ , altså en nedgang

Middels(3)

M-11For $f(x) = x^2$ , finn vekstfarten fra $x = 0$ til $x = 2$ .

Vis fasit

$f(x) = x^2$ gir $f(0) = 0$ og $f(2) = 4$
$\frac{4 - 0}{2 - 0} = \frac{4}{2} =$ $2$

M-12For $f(x) = x^2$ , finn vekstfarten fra $x = 2$ til $x = 4$ .

Vis fasit

$f(x) = x^2$ gir $f(2) = 4$ og $f(4) = 16$
$\frac{16 - 4}{4 - 2} = \frac{12}{2} =$ $6$

M-13For $f(x) = 3x$ , finn vekstfarten fra $x = 1$ til $x = 5$ .

Vis fasit

$f(x) = 3x$ gir $f(1) = 3$ og $f(5) = 15$
$\frac{15 - 3}{5 - 1} = \frac{12}{4} =$ $3$ , samme som stigningstallet

Vanskelig(3)

V-11Hvorfor er vekstfarten til $f(x) = 3x$ den samme uansett intervall?

Vis fasit

f(x) = 3x er lineær
stigningstallet 3 er likt overalt
vekstfarten er konstant 3

V-12For $f(x) = x^2$ , er vekstfarten større fra 0 til 2, eller fra 2 til 4?

Vis fasit

Fra 0 til 2 gir 2, fra 2 til 4 gir 6
fra 2 til 4, fordi parabelen blir brattere

V-13En bil kjører 150 km på 2 timer. Hva er gjennomsnittsfarten? Svar i km/t.

Vis fasit

$150$ km på $2$ timer
$\frac{150}{2} =$ $75$ km/t, som er gjennomsnittlig vekstfart for strekningen