Du forventes å kunne dette beviset til eksamen

For $f(x) = x^2$ er den deriverte $f'(x) = 2x$ (potensregelen for $n = 2$).

1. Sett $f(x) = x^2$ inn i differansekvotienten, for en VILKÅRLIG $x$ (ikke bare $x=2$ som i tabell-eksempelet):
   $\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$
2. Gang ut kvadratet i telleren:
   $(x+h)^2 - x^2 = x^2 + 2xh + h^2 - x^2 = 2xh + h^2$
3. Del hele telleren på $h$ (lovlig siden $h \neq 0$ – vi lar $h$ NÆRME seg $0$, uten noen gang å faktisk sette $h=0$ her):
   $\frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h$
4. Nå kan $h$ få nærme seg $0$: leddet $2x$ er uendret (det inneholder ikke $h$), mens leddet $h$ selv går mot $0$. Uttrykket $2x + h$ nærmer seg dermed $2x$ – for enhver $x$, ikke bare $x=2$.

$f'(x) = 2x$ ∎