Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Kontroll mot grafen

Har du derivert riktig, må fortegnet til $f'(x)$ stemme med grafen: der grafen stiger skal $f'(x) > 0$, der den synker skal $f'(x) < 0$, og i topp-/bunnpunktet skal $f'(x) = 0$. For $f(x) = 3x^2 + 5x - 7$ gir $f'(x) = 6x + 5$ null i $x = -\frac{5}{6}$ – og det er nettopp der parabelen har bunnpunktet. Stemmer ikke dette, er det en regnefeil i derivasjonen.

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Andrederiverttesten

Deriverer du $f'(x)$ én gang til, får du $f''(x)$ – den dobbelt deriverte. Er $f''(x) > 0$ i et punkt der $f'(x) = 0$, er punktet et BUNNPUNKT (grafen krummer oppover); er $f''(x) < 0$, er det et TOPPUNKT. For $f(x) = 3x^2 + 5x - 7$ er $f'(x) = 6x + 5$, og deriverer du én gang til: $f''(x) = 6$. Siden $f''(x) = 6 > 0$ for ALLE $x$, er punktet der $f'(x) = 0$ (altså $x = -\frac{5}{6}$) garantert et bunnpunkt – uten å sette opp et fullt fortegnsskjema.

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Tangentlikning via ettpunktsformelen

Kjenner du både $f(x_0)$ og $f'(x_0)$ i et punkt, kan du skrive likningen for TANGENTEN med ettpunktsformelen fra rette linjer: $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$. For $f(x) = 3x^2 + 5x - 7$ i $x_0 = 2$: $f(2) = 3 \cdot 4 + 10 - 7 = 15$, og $f'(2) = 17$ (regnet ut i hovedeksempelet) → sett inn: $y - 15 = 17(x - 2)$ → gang ut og løs for $y$: $y = 17x - 34 + 15 = 17x - 19$. Dette er den samme ettpunktsformelen du bruker for rette linjer, bare med stigningstallet hentet fra den deriverte i stedet for oppgitt direkte.