NumiSum

Derivasjonsregler for polynomer

Du slipper å regne grenser hver gang. Det finnes faste regler. Hovedregelen er potensregelen: deriverer du xnx^n, blir det n⋅xn−1n \cdot x^{n-1}. Du multipliserer altså ned eksponenten og trekker én fra den. En konstant deriveres til 00, og ledd deriveres hver for seg.

Potensregelen

(xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1}

Konstant og sum

(k)′=0,(f+g)′=f′+g′(k)' = 0, \quad (f + g)' = f' + g'

Tips

  • Husk at xx er det samme som x1x^1, så (x)′=1⋅x0=1(x)' = 1 \cdot x^0 = 1. Og en konstant har ingen xx i det hele tatt, så den deriveres til 00.
  • Deriver ledd for ledd. 3x2+5x−73x^2 + 5x - 7 blir 6x+5−0=6x+56x + 5 - 0 = 6x + 5.
  • Sjekk fortegnet til f'(x) mot grafen. Har du derivert riktig, må fortegnet til f′(x)f'(x) stemme med grafen: der grafen stiger skal f′(x)>0f'(x) > 0, der den synker skal f′(x)<0f'(x) < 0, og i topp-/bunnpunktet skal f′(x)=0f'(x) = 0. For f(x)=3x2+5x−7f(x) = 3x^2 + 5x - 7 gir f′(x)=6x+5f'(x) = 6x + 5 null i x=−56x = -\frac{5}{6}, og det er nettopp der parabelen har bunnpunktet. Stemmer ikke dette, er det en regnefeil i derivasjonen.

Eksempel: Derivere et polynom

Deriver f(x)=3x2+5x−7f(x) = 3x^2 + 5x - 7, og finn f′(2)f'(2).

Løsning:
  1. Vi deriverer ledd for ledd. Første ledd: 3x23x^2 gir 3⋅2⋅x1=6x3 \cdot 2 \cdot x^1 = 6x
  2. andre ledd: 5x5x gir 5⋅1=55 \cdot 1 = 5
  3. tredje ledd: −7-7 er en konstant og gir 00
  4. sett sammen: f′(x)=6x+5f'(x) = 6x + 5
  5. sett inn x=2x = 2: f′(2)=6⋅2+5=17f'(2) = 6 \cdot 2 + 5 = 17. Svaret er f′(x)=6x+5f'(x) = 6x + 5 og f′(2)=17f'(2) = 17.
Derivasjon ledd for ledd
LeddRegelDerivert
3x²n · x^(n−1)6x
5xx deriveres til 15
-7konstant0
Sum6x + 5
Alternativ forklaring/metode: Deriver én gang til for å avgjøre type

Tilleggsinformasjon – ikke pensum på dette nivået

Andrederiverttesten

Forutsetninger:

  • Andrederivert (f′′(x)f''(x)) er ikke en del av 1Ts kompetansemål. Dette er en forhåndsvisning av stoff du møter igjen på R1/R2. Bruk fortegnsskjema for f′(x)f'(x) (se «Sjekk fortegnet til f'(x) mot grafen» over) som hovedmetode på dette nivået.

Deriverer du f′(x)f'(x) én gang til, får du f′′(x)f''(x). Den dobbelt deriverte. Er f′′(x)>0f''(x) > 0 i et punkt der f′(x)=0f'(x) = 0, er punktet et BUNNPUNKT (grafen krummer oppover); er f′′(x)<0f''(x) < 0, er det et TOPPUNKT. For f(x)=3x2+5x−7f(x) = 3x^2 + 5x - 7 er f′(x)=6x+5f'(x) = 6x + 5, og deriverer du én gang til: f′′(x)=6f''(x) = 6. Siden f′′(x)=6>0f''(x) = 6 > 0 for ALLE xx, er punktet der f′(x)=0f'(x) = 0 (altså x=−56x = -\frac{5}{6}) garantert et bunnpunkt, uten å sette opp et fullt fortegnsskjema.

Andrederiverttesten på f(x) = 3x² + 5x - 7
StegUttrykk
Første derivertef′(x)=6x+5f'(x)=6x+5
Andre derivertef′′(x)=6f''(x)=6
Fortegn på f''(x)positivt (konstant 6)
Konklusjonbunnpunkt
Alternativ forklaring/metode: Skriv tangentlikningen direkte

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Tangentlikning via ettpunktsformelen

Kjenner du både f(x0)f(x_0) og f′(x0)f'(x_0) i et punkt, kan du skrive likningen for TANGENTEN med ettpunktsformelen fra rette linjer: y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0). For f(x)=3x2+5x−7f(x) = 3x^2 + 5x - 7 i x0=2x_0 = 2: f(2)=3⋅4+10−7=15f(2) = 3 \cdot 4 + 10 - 7 = 15, og f′(2)=17f'(2) = 17 (regnet ut i hovedeksempelet) → sett inn: y−15=17(x−2)y - 15 = 17(x - 2) → gang ut og løs for yy: y=17x−34+15=17x−19y = 17x - 34 + 15 = 17x - 19. Dette er den samme ettpunktsformelen du bruker for rette linjer, bare med stigningstallet hentet fra den deriverte i stedet for oppgitt direkte.

Tangentlikning i x = 2 for f(x) = 3x² + 5x - 7
StegUttrykk
f(2)3⋅4+10−7=153 \cdot 4+10-7=15
f'(2)1717
Ettpunktsformeleny−15=17(x−2)y-15=17(x-2)
Løs for yy=17x−19y=17x-19

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Deriver f(x)=x2f(x) = x^2.

Vis fasit
  1. f(x)=x2f(x) = x^2
  2. potensregelen: 2⋅x12 \cdot x^1
  3. 2x2x

L-32Deriver f(x)=x3f(x) = x^3.

Vis fasit
  1. f(x)=x3f(x) = x^3
  2. 3⋅x23 \cdot x^2
  3. 3x23x^2

L-33Deriver f(x)=5f(x) = 5.

Vis fasit
  1. f(x) = 5 er en konstant
  2. 0
Middels(3)

M-31Deriver f(x)=4xf(x) = 4x.

Vis fasit
  1. f(x)=4xf(x) = 4x
  2. xx deriveres til 11
  3. 4⋅1=4 \cdot 1 = 44

M-32Deriver f(x)=x2+3xf(x) = x^2 + 3x.

Vis fasit
  1. f(x) = x² + 3x
  2. ledd for ledd: 2x og 3
  3. 2x + 3

M-33For f(x)=x2f(x) = x^2, finn f′(3)f'(3).

Vis fasit
  1. f(x)=x2f(x) = x^2
  2. f′(x)=2xf'(x) = 2x
  3. f′(3)=2⋅3=f'(3) = 2 \cdot 3 = 66
Vanskelig(3)

V-31Deriver f(x)=2x3−4x+1f(x) = 2x^3 - 4x + 1.

Vis fasit
  1. f(x)=2x3−4x+1f(x) = 2x^3 - 4x + 1
  2. 2⋅3=62 \cdot 3 = 6 gir 6x26x^2, −4x-4x gir −4-4, konstanten 11 gir 00
  3. 6x2−46x^2 - 4

V-32For hvilken xx er f′(x)=0f'(x) = 0 når f(x)=x2−6xf(x) = x^2 - 6x?

Vis fasit
  1. f(x) = x² - 6x
  2. f'(x) = 2x - 6
  3. 2x - 6 = 0
  4. x = 3, altså bunnpunktet

V-33For f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x, hvor har grafen bunnpunkt?

Vis fasit
  1. f(x) = x² - 4x
  2. f'(x) = 2x - 4
  3. sett lik 0
  4. x = 2