NumiSum

Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2023, Del 1 – Oppgave 3

Uten hjelpemidler – 3 poeng

Funksjonen ff er gitt ved

f(x)=x3−3x2−x+4f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 4

Bestem likningen for tangenten til grafen til ff i punktet (1,f(1))(1, f(1)).

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne likningen for tangenten til grafen til ff i punktet der x=1x=1.

Strategi og formel: Vi finner først f(1)f(1) for å få tangeringspunktet, deretter den deriverte f′(x)f'(x) og verdien f′(1)f'(1) for å få stigningstallet til tangenten, og setter til slutt opp likningen for en rett linje gjennom punktet med det stigningstallet.

Trinnvis utregning:

  1. f(1)=13−3⋅12−1+4=1−3−1+4=1f(1) = 1^3-3 \cdot 1^2-1+4 = 1-3-1+4=1
  2. tangeringspunktet er (1,1)(1,1)
  3. den deriverte: f′(x)=3x2−6x−1f'(x)=3x^2-6x-1
  4. f′(1)=3⋅12−6⋅1−1=3−6−1=−4f'(1)=3 \cdot 1^2-6 \cdot 1-1=3-6-1=-4
  5. stigningstallet til tangenten er −4-4
  6. sett inn i y−y1=a(x−x1)y-y_1=a(x-x_1): y−1=−4(x−1)y-1=-4(x-1)
  7. y=−4x+4+1=−4x+5y=-4x+4+1=-4x+5

Svar: Tangentlikningen er y=−4x+5y=-4x+5

Sensorveiledning og poengkrav (maks 3 poeng)
PoengKrav
3/3Finner riktig f(1)=1, riktig f'(x)=3x²−6x−1 og f'(1)=−4, og setter riktig opp tangentlikningen y=−4x+5.
1-2/3Finner f(1) og f'(x) riktig, men gjør en feil i innsettingen i tangentlikningen, eller regner feil ett sted i den deriverte.
0/3Feil eller manglende derivasjon, eller kun et gjettet svar uten fremgangsmåte.

Sensor-tips

  • Tangentens stigningstall er f'(1), ikke f(1) – en vanlig sammenblanding av funksjonsverdi og stigningstall.
  • Sjekk svaret ved å sette x=1 inn i tangentlikningen og bekrefte at du får y=1, samme som f(1).

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 1T matematikk, Høst 2023, Del 1, Oppgave 3