Produktregelen og kvotientregelen

Deriverer du et PRODUKT $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ , kan du IKKE bare derivere $u$ og $v$ hver for seg og gange sammen – riktig regel er $f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)$ . For en KVOTIENT $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ er regelen litt mer komplisert: $f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$ – legg merke til at rekkefølgen i telleren betyr noe, og at nevneren kvadreres.

Produktregelen

$(u \cdot v)' = u'v + uv'$

Kvotientregelen

$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

Produktregel og kvotientregel
Regel	Formel
Produktregel	f'(x) = u'v + uv'
Kvotientregel	f'(x) = (u'v − uv') / v²

Tips

I kvotientregelen betyr REKKEFØLGEN i telleren noe: det er $u'v - uv'$ , ikke $uv' - u'v$ . Bytter du om, får du feil fortegn.
Sjekk ALLTID om et produkt eller en kvotient kan FORENKLES (utvides/faktoriseres til ett enkelt polynom) FØR du deriverer – noen ganger er potensregelen på det forenklede uttrykket raskere enn produkt-/kvotientregelen.

Eksempel: Bruke produktregelen på to polynomer

Deriver $f(x) = (x^2 + 1)(x^3 - 2)$ ved hjelp av produktregelen, og finn $f'(2)$ .

Fra produktregel til svar
Steg	Uttrykk
u'(x)v(x)	2x(x³−2)
u(x)v'(x)	(x²+1)(3x²)
Sum, forenklet	5x⁴ + 3x² − 4x
f'(2)	84

Løsning:

Vi setter $u(x) = x^2 + 1$ (så $u'(x) = 2x$ ) og $v(x) = x^3 - 2$ (så $v'(x) = 3x^2$ )
produktregelen gir: $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2x(x^3-2) + (x^2+1)(3x^2)$
gang ut: $2x^4 - 4x + 3x^4 + 3x^2 = 5x^4 + 3x^2 - 4x$
sett inn $x = 2$ : $f'(2) = 5 \cdot 2^4 + 3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 = 80 + 12 - 8$ . Den deriverte er $f'(x) = 5x^4 + 3x^2 - 4x$ , og $f'(2) = 84$ .

Alternativ forklaring/metode: Forenkle produktet til ett polynom først

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Gange ut FØR derivasjon

I stedet for produktregelen kan du gange ut hele uttrykket FØRST: $(x^2+1)(x^3-2) = x^5 - 2x^2 + x^3 - 2$ → deriver dette direkte med potensregelen: $f'(x) = 5x^4 + 3x^2 - 4x$ – samme svar. Denne metoden fungerer godt for enkle POLYNOM-produkter, men blir raskt upraktisk hvis en av faktorene ikke er et polynom (som en rot eller en brøk) – da er produktregelen nødvendig.

Kontroll: gange ut vs. produktregel
Metode	Resultat
Gange ut, så potensregel	5x⁴ + 3x² − 4x
Produktregel	Samme svar

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Hva sier produktregelen for $(u \cdot v)'$ ?

Vis fasit

Produktregelen
Regel	Formel
Produktregel	u'v + uv'

Produktregelen kombinerer de deriverte av begge faktorene
(u·v)' = u'v + uv'

L-12Deriver

f(x) = x^2 \cdot (x + 3)

med produktregelen.

Vis fasit

Deriver f(x)=x²(x+3)
Steg	Uttrykk
u, v	u = x², v = x + 3
u', v'	u' = 2x, v' = 1
u'v + uv'	2x(x+3) + x²
Forenklet	3x² + 6x

u=x², u'=2x, v=x+3, v'=1
u'v+uv' = 2x(x+3)+x²·1 = 2x²+6x+x²
f'(x) = 3x² + 6x

L-13Hva sier kvotientregelen for

\left(\frac{u}{v}\right)'

Vis fasit

Kvotientregelen
Regel	Formel
Kvotientregel	(u'v − uv') / v²

Kvotientregelen har en bestemt rekkefølge i telleren
(u/v)' = (u'v − uv') / v²

Middels(3)

M-11Deriver

f(x) = x^3 \cdot (x - 1)

med produktregelen.

Vis fasit

Deriver f(x)=x³(x-1)
Steg	Uttrykk
u, v	u = x³, v = x − 1
u', v'	u' = 3x², v' = 1
u'v + uv'	3x²(x-1) + x³
Forenklet	4x³ − 3x²

u=x³, u'=3x², v=x-1, v'=1
u'v+uv' = 3x²(x-1)+x³ = 3x³-3x²+x³
f'(x) = 4x³ − 3x²

M-12Deriver

f(x) = \frac{x}{x+2}

med kvotientregelen.

Vis fasit

Deriver f(x)=x/(x+2)
Steg	Uttrykk
u, v	u = x, v = x + 2
u', v'	u' = 1, v' = 1
u'v − uv'	(x+2) − x
Forenklet	2/(x+2)²

u=x, u'=1, v=x+2, v'=1
(u'v-uv')/v² = ((x+2)-x)/(x+2)²
f'(x) = 2/(x+2)²

M-13Deriver

f(x) = \frac{3x}{x-1}

med kvotientregelen.

Vis fasit

Deriver f(x)=3x/(x-1)
Steg	Uttrykk
u, v	u = 3x, v = x − 1
u', v'	u' = 3, v' = 1
u'v − uv'	3(x-1) − 3x
Forenklet	−3/(x−1)²

u=3x, u'=3, v=x-1, v'=1
(3(x-1)-3x)/(x-1)² = (3x-3-3x)/(x-1)²
f'(x) = −3/(x−1)²

Vanskelig(3)

V-11Deriver

f(x) = \frac{x+1}{x-4}

med kvotientregelen, og finn

f'(2)

Vis fasit

Deriver f(x)=(x+1)/(x-4) og finn f'(2)
Steg	Uttrykk
u, v	u = x + 1, v = x − 4
u'v − uv'	(x-4) − (x+1)
f'(x)	-5/(x-4)²
f'(2)	$-\frac{5}{4}$

u=x+1,u'=1,v=x-4,v'=1
(1·(x-4)-(x+1)·1)/(x-4)² = (x-4-x-1)/(x-4)² = -5/(x-4)²
f'(2) = -5/(2-4)²
f'(2) = − $\frac{5}{4}$

V-12Deriver $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$ med kvotientregelen, og finn $f'(5)$ .

Vis fasit

Deriver f(x)=(2x+1)/(x-3) og finn f'(5)
Steg	Uttrykk
u, v	u = 2x + 1, v = x − 3
u'v − uv'	2(x-3) − (2x+1)
f'(x)	-7/(x-3)²
f'(5)	$-\frac{7}{4}$

u=2x+1,u'=2,v=x-3,v'=1
(2(x-3)-(2x+1))/(x-3)² = (2x-6-2x-1)/(x-3)² = -7/(x-3)²
f'(5) = -7/(5-3)²
f'(5) = − $\frac{7}{4}$

V-13Forklar hvorfor du IKKE kan derivere $u$ og $v$ hver for seg og gange sammen for å finne den deriverte av et produkt $u \cdot v$ .

Vis fasit

Hvorfor u'v' er feil
Test	Resultat
u'v' (feil metode)	1
(uv)' faktisk (riktig)	2x
Konklusjon	2x ≠ 1, feil metode gir galt svar

Test med u=x, v=x: (uv)'=(x²)'=2x, men u'v'=1·1=1
2x ≠ 1, så u'v' er feil, riktig regel er u'v+uv'