NumiSum

Omvendte funksjoner og deres deriverte

Har en funksjon ff en OMVENDT funksjon f−1f^{-1} (som «snur» ff – gir xx tilbake fra f(x)f(x)), henger de deriverte til ff og f−1f^{-1} sammen: (f−1)′(x)=1f′(f−1(x))\big(f^{-1}\big)'(x) = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(x)\big)}. I ord: den deriverte til den omvendte funksjonen i et punkt er den RESIPROKE verdien av ff sin deriverte, evaluert i det punktet f−1f^{-1} selv peker til.

Deriverte av en omvendt funksjon

(f−1)′(x)=1f′(f−1(x))\big(f^{-1}\big)'(x) = \dfrac{1}{f'\big(f^{-1}(x)\big)}

Fra f til den omvendte funksjonens deriverte
StegGjør dette
1Finn f⁻¹(x) (det punktet f' skal evalueres i)
2Regn ut f'(f⁻¹(x))
3Ta den resiproke verdien: (f⁻¹)'(x) = 1/f'(f⁻¹(x))

Tips

  • Grafisk er f−1f^{-1} speilbildet av ff om linjen y=xy = x – en BRATT del av grafen til ff blir en FLAT del av grafen til f−1f^{-1}, og omvendt. Dette er nettopp hva den resiproke formelen fanger.
  • For en RETT LINJE f(x)=ax+bf(x) = ax + b er den omvendte funksjonens deriverte alltid KONSTANT lik 1a\frac{1}{a} – stigningstallet «snus opp ned».

Eksempel: Finne den deriverte til en omvendt funksjon

La f(x)=x3f(x) = x^3, med omvendt funksjon f−1(x)=x3f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}. Bruk formelen for deriverte av omvendte funksjoner til å finne (f−1)′(8)\big(f^{-1}\big)'(8).

Fra f til (f⁻¹)'(8)
StegVerdi
f⁻¹(8)2
f'(f⁻¹(8)) = f'(2)12
(f⁻¹)'(8) = 1/f'(2)112\frac{1}{12}
Løsning:
  1. Vi trenger f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2
  2. formelen sier (f−1)′(8)=1f′(f−1(8))\big(f^{-1}\big)'(8) = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(8)\big)}
  3. finn først f−1(8)=83=2f^{-1}(8) = \sqrt[3]{8} = 2
  4. sett inn i f′f': f′(2)=3⋅22=12f'(2) = 3 \cdot 2^2 = 12
  5. ta den resiproke verdien: (f−1)′(8)=112\big(f^{-1}\big)'(8) = \frac{1}{12}. Den deriverte til den omvendte funksjonen i x=8x = 8 er 112\frac{1}{12}.
Alternativ forklaring/metode: Deriver f⁻¹(x) = ∛x direkte med potensregelen

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Derivere den omvendte funksjonen direkte

Siden f−1(x)=x3=x13f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}, kan du derivere den direkte med potensregelen: (f−1)′(x)=13x−23\big(f^{-1}\big)'(x) = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} → sett inn x=8x = 8: (f−1)′(8)=13⋅8−23=13⋅14=112\big(f^{-1}\big)'(8) = \frac{1}{3} \cdot 8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12} – samme svar som med formelen for omvendte funksjoner. Denne direkte metoden fungerer når du KJENNER et eksplisitt uttrykk for f−1(x)f^{-1}(x); formelen for omvendte funksjoner er nødvendig når du IKKE gjør det.

Kontroll: formel vs. direkte derivasjon
MetodeResultat
Formel for omvendte funksjoner112\frac{1}{12}
Direkte potensregelSamme svar

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Hva sier formelen (f−1)′(x)=1f′(f−1(x))\big(f^{-1}\big)'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} i ord?

Vis fasit
Betydningen av formelen
FormelBetydning
(f⁻¹)'(x) = 1/f'(f⁻¹(x))Resiprok verdi av f' evaluert i f⁻¹(x)
  1. Formelen har 1 i telleren og kobler f og f^(-1) sine deriverte
  2. (f⁻¹)' er den resiproke verdien av f' i riktig punkt

L-32For en rett linje f(x)=4x+1f(x) = 4x + 1: hva er den deriverte til den omvendte funksjonen?

Vis fasit
Rett linje f(x)=4x+1
StørrelseVerdi
f'(x)4 (konstant)
(f⁻¹)'(x)14\frac{1}{4} (konstant)
  1. f'(x) = 4 for alle x
  2. (f⁻¹)'(x) = 14\frac{1}{4}, konstant for en rett linje

L-33Grafisk: hvis grafen til ff er BRATT i et punkt, hvordan er grafen til f−1f^{-1} i det tilsvarende punktet?

Vis fasit
Bratt blir flat
Del av fTilsvarende del av f⁻¹
BrattFlat
  1. f^(-1) er speilbildet av f om linjen y=x
  2. en bratt del av f blir en flat del av f⁻¹
Middels(3)

M-31La f(x)=x2f(x) = x^2 for x≥0x \geq 0, med omvendt funksjon f−1(x)=xf^{-1}(x) = \sqrt{x}. Finn (f−1)′(9)\big(f^{-1}\big)'(9) ved hjelp av formelen.

Vis fasit
Finn (f⁻¹)'(9) for f(x)=x²
StegVerdi
f⁻¹(9)3
f'(3)6
(f⁻¹)'(9)16\frac{1}{6}
  1. f'(x)=2x
  2. f⁻¹(9)=3
  3. f'(3)=6
  4. (f⁻¹)'(9) = 16\frac{1}{6}

M-32Kontroller svaret i forrige oppgave ved å derivere f−1(x)=x=x12f^{-1}(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} direkte med potensregelen, og sette inn x=9x = 9.

Vis fasit
Kontroll: direkte derivasjon av f⁻¹(x)=√x
StegUttrykk
f⁻¹(x) = x12x^{\frac{1}{2}}12x−12\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}
Sett inn x = 91/(2·3)
Resultat16\frac{1}{6}
  1. (x^(12\frac{1}{2}))' = (12\frac{1}{2})x^(-12\frac{1}{2}) = 1/(2x\sqrt{x})
  2. sett inn x=9: 1/(2·3)
  3. 16\frac{1}{6}, stemmer med forrige oppgave

M-33For en rett linje f(x)=12x+3f(x) = \frac{1}{2}x + 3: hva er den deriverte til den omvendte funksjonen?

Vis fasit
Rett linje f(x)=(1/2)x+3
StørrelseVerdi
f'(x)12\frac{1}{2} (konstant)
(f⁻¹)'(x)2 (konstant)
  1. f'(x) = 12\frac{1}{2} for alle x
  2. (f⁻¹)'(x) = 1/(12\frac{1}{2}) = 2, konstant
Vanskelig(3)

V-31La f(x)=x3+1f(x) = x^3 + 1, med f−1f^{-1} som omvendt funksjon. Finn (f−1)′(9)\big(f^{-1}\big)'(9), og forklar hvert steg.

Vis fasit
Finn (f⁻¹)'(9) for f(x)=x³+1
StegVerdi
Løs f(a) = 9a = 2
f⁻¹(9)2
f'(2)12
(f⁻¹)'(9)112\frac{1}{12}
  1. f'(x) = 3x²
  2. løs f(a)=9: a³+1=9
  3. a³=8
  4. a=2, altså f⁻¹(9)=2
  5. f'(2)=3·4=12
  6. (f⁻¹)'(9) = 112\frac{1}{12}

V-32Forklar hvorfor formelen (f−1)′(x)=1f′(f−1(x))\big(f^{-1}\big)'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} IKKE fungerer i et punkt der f′(f−1(x))=0f'\big(f^{-1}(x)\big) = 0.

Vis fasit
Når formelen ikke fungerer
SituasjonKonsekvens
f'(f⁻¹(x)) = 0Divisjon med 0, udefinert
  1. Formelen har 1 i telleren og deler på f'(f⁻¹(x))
  2. er dette null, blir uttrykket 10\frac{1}{0}
  3. udefinert, den omvendte funksjonen er ikke deriverbar der

V-33En funksjon ff har f(3)=12f(3) = 12 og f′(3)=6f'(3) = 6. Hva er (f−1)′(12)\big(f^{-1}\big)'(12)?

Vis fasit
Finn (f⁻¹)'(12) fra f(3)=12, f'(3)=6
StegVerdi
f⁻¹(12)3
f'(3)6
(f⁻¹)'(12)16\frac{1}{6}
  1. f(3)=12 betyr f⁻¹(12)=3
  2. f'(f⁻¹(12)) = f'(3) = 6
  3. (f⁻¹)'(12) = 16\frac{1}{6}