Du forventes å kunne dette beviset til eksamen

Hvis $I$ er deriverbar i $x$ og $Y$ er deriverbar i $I(x)$, er den sammensatte funksjonen $h(x) = Y(I(x))$ deriverbar, og $h'(x) = Y'(I(x)) \cdot I'(x)$ (kjerneregelen).

1. La $u = I(x)$, og skriv om differansekvotienten til $h$ ved å multiplisere med $\frac{\Delta u}{\Delta u}$: lovlig så lenge $\Delta u \neq 0$ for $\Delta x$ nær (men ikke lik) $0$:
   $\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x} = \frac{Y(u+\Delta u)-Y(u)}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}, \quad \Delta u = I(x+\Delta x)-I(x)$
2. Ta grenseverdien av begge sider når $\Delta x \to 0$, og bruk grenseregelen for produkt (forutsetningene) til å dele opp høyresiden i to separate grenseverdier:
   $h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x} = \left(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{Y(u+\Delta u)-Y(u)}{\Delta u}\right) \cdot \left(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x}\right)$
3. Siden $I$ er deriverbar (og dermed kontinuerlig) i $x$, går $\Delta u \to 0$ når $\Delta x \to 0$ (forutsetningene). Da blir den første grensen nettopp differansekvotienten til $Y$ i punktet $u$, altså $Y'(u)$:
   $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{Y(u+\Delta u)-Y(u)}{\Delta u} = \lim_{\Delta u \to 0} \frac{Y(u+\Delta u)-Y(u)}{\Delta u} = Y'(u) = Y'(I(x))$
4. Den andre grensen er per definisjon den deriverte av $I$ i $x$:
   $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{I(x+\Delta x)-I(x)}{\Delta x} = I'(x)$

$h'(x) = Y'(I(x)) \cdot I'(x)$ ∎