Bevis

Du forventes å kunne dette beviset til eksamen

Forutsetninger:

Definisjonen av den deriverte som grenseverdi av differansekvotienten: $h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}$ .
At $I$ er deriverbar i $x$ innebærer at $I$ også er KONTINUERLIG i $x$ – en liten endring $\Delta x$ gir da en $\Delta u = I(x+\Delta x)-I(x)$ som går mot $0$ når $\Delta x \to 0$ .
Grenseregelen for produkt: grenseverdien av et produkt av to uttrykk er produktet av de to enkelt-grenseverdiene, forutsatt at begge finnes. Dette er en generell regneregel for grenseverdier (ikke eksplisitt navngitt i grenseverdier-og-kontinuitet/R1, men en direkte konsekvens av at hver faktor nærmer seg sin egen grenseverdi uavhengig av den andre).

La $u = I(x)$ , og skriv om differansekvotienten til $h$ ved å multiplisere med $\frac{\Delta u}{\Delta u}$ – lovlig så lenge $\Delta u \neq 0$ for $\Delta x$ nær (men ikke lik) $0$ :
$\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x} = \frac{Y(u+\Delta u)-Y(u)}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}, \quad \Delta u = I(x+\Delta x)-I(x)$
Ta grenseverdien av begge sider når $\Delta x \to 0$ , og bruk grenseregelen for produkt (forutsetningene) til å dele opp høyresiden i to separate grenseverdier:
$h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x} = \left(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{Y(u+\Delta u)-Y(u)}{\Delta u}\right) \cdot \left(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x}\right)$
Siden $I$ er deriverbar (og dermed kontinuerlig) i $x$ , går $\Delta u \to 0$ når $\Delta x \to 0$ (forutsetningene) – da blir den første grensen nettopp differansekvotienten til $Y$ i punktet $u$ , altså $Y'(u)$ :
$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{Y(u+\Delta u)-Y(u)}{\Delta u} = \lim_{\Delta u \to 0} \frac{Y(u+\Delta u)-Y(u)}{\Delta u} = Y'(u) = Y'(I(x))$
Den andre grensen er per definisjon den deriverte av $I$ i $x$ :
$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{I(x+\Delta x)-I(x)}{\Delta x} = I'(x)$

$h'(x) = Y'(I(x)) \cdot I'(x)$