NumiSum

Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Numisum.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2024, Del 1 – Oppgave 1

Uten hjelpemidler – 2 poeng

Deriver funksjonen f(x)=e2xxf(x) = \dfrac{e^{2x}}{x}

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal derivere en funksjon som er en BRØK der telleren i tillegg er en SAMMENSATT funksjon. Dette krever både brøkregelen (siden ff er en kvotient) OG kjerneregelen (siden e2xe^{2x} har 2x2x som indre funksjon).

Strategi og formel: Bruk brøkregelen (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} med u=e2xu=e^{2x} og v=xv=x. Deriver uu med kjerneregelen: den deriverte av e2xe^{2x} er e2xe^{2x} multiplisert med den deriverte av EKSPONENTEN, 22.

Trinnvis utregning:

  1. u=e2xu=e^{2x}
  2. u′=2e2xu'=2e^{2x} (kjerneregel: ytre funksjon e□e^{\square} deriveres til seg selv, ganget med den deriverte av det indre, 2x2x, som er 22)
  3. v=xv=x
  4. v′=1v'=1
  5. f′(x)=u′v−uv′v2=2e2x⋅x−e2x⋅1x2f'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}=\dfrac{2e^{2x}\cdot x-e^{2x}\cdot 1}{x^2}
  6. e2x(2x−1)x2\dfrac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}.

Svar: f′(x)=f'(x) = e2x(2x−1)x2\dfrac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)
PoengKrav
2/2Deriverer e2xe^{2x} riktig med kjerneregelen (til 2e2x2e^{2x}), bruker brøkregelen riktig, og forenkler fram til e2x(2x−1)x2\frac{e^{2x}(2x-1)}{x^2} (eller et algebraisk ekvivalent uttrykk).
1/2Bruker riktig regel (brøkregel + kjerneregel), men glemmer faktoren 22 fra kjerneregelen (skriver u′=e2xu'=e^{2x} i stedet for 2e2x2e^{2x}), eller gjør en annen mindre regnefeil.
0/2Deriverer e2x/xe^{2x}/x som et PRODUKT i stedet for en kvotient, eller glemmer kjerneregelen helt (setter u′=e2xu'=e^{2x} direkte uten faktoren 22 OG uten annen konsistent feil).

Sensor-tips

  • Den klart vanligste feilen er å glemme kjerneregel-faktoren 22 når e2xe^{2x} deriveres (skriver ddxe2x=e2x\frac{d}{dx}e^{2x}=e^{2x} i stedet for 2e2x2e^{2x}): sjekk denne faktoren spesifikt.
  • Godta ekvivalente forenklede former, f.eks. 2e2xx−e2xx2\frac{2e^{2x}}{x}-\frac{e^{2x}}{x^2} (ikke samlet i én brøk): matematisk identisk, bare mindre kompakt.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R1 matematikk, Høst 2024, Del 1, Oppgave 1

Utdanningsdirektoratet

Vår 2026, Del 1 – Oppgave 6

Uten hjelpemidler – 2 poeng

En funksjon ff gitt ved f(x)=ln⁡(x+2)f(x) = \ln(x+2), har en omvendt funksjon gg. Bestem g′(1)g'(1).

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne den deriverte til den OMVENDTE funksjonen gg i ett bestemt punkt, uten nødvendigvis å finne et fullstendig uttrykk for g(x)g(x) først (selv om det også er mulig her).

Strategi og formel: Bruk sammenhengen mellom en funksjon og dens omvendte funksjons deriverte: g′(a)=1f′(g(a))g'(a)=\dfrac{1}{f'(g(a))}. Det krever at vi først finner g(1)g(1), altså den xx-verdien der f(x)=1f(x)=1 (siden gg er den omvendte funksjonen til ff).

Trinnvis utregning:

  1. Finn g(1)g(1): løs f(x)=1f(x)=1, altså ln⁡(x+2)=1\ln(x+2)=1
  2. x+2=e1x+2=e^1
  3. x=e−2x=e-2
  4. g(1)=e−2g(1)=e-2. Deriver ff: f′(x)=1x+2f'(x)=\dfrac{1}{x+2} (kjerneregel: indre funksjon x+2x+2 har derivert 11)
  5. f′(g(1))=f′(e−2)=1(e−2)+2=1ef'(g(1))=f'(e-2)=\dfrac{1}{(e-2)+2}=\dfrac{1}{e}
  6. g′(1)=1f′(g(1))=11e=eg'(1)=\dfrac{1}{f'(g(1))}=\dfrac{1}{\frac{1}{e}}=e.

Svar: g′(1)=g'(1) = ee (≈2,72\approx 2{,}72)

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)
PoengKrav
2/2Finner riktig g(1)=e−2g(1)=e-2 ved å løse f(x)=1f(x)=1, deriverer ff riktig, og bruker riktig formel g′(1)=1f′(g(1))g'(1)=\frac{1}{f'(g(1))} fram til g′(1)=eg'(1)=e.
1/2Finner riktig g(1)=e−2g(1)=e-2 og deriverer ff riktig, men bruker formelen g′(a)=1f′(g(a))g'(a)=\frac{1}{f'(g(a))} feil (f.eks. setter a=1a=1 direkte inn i f′f' i stedet for g(1)g(1)).
0/2Ingen fungerende strategi for å koble g′g' til f′f' – f.eks. prøver å derivere f−1f^{-1} direkte uten et eksplisitt uttrykk og uten formelen for omvendt-funksjon-derivert.

Sensor-tips

  • Den avgjørende innsikten er at g′(1)=1f′(g(1))g'(1)=\frac{1}{f'(g(1))} krever g(1)g(1) (IKKE f′(1)f'(1) direkte): en vanlig feil er å beregne 1f′(1)=113=3\frac{1}{f'(1)}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3 ved å sette x=1x=1 rett inn i f′f', uten å først finne hvilken xx-verdi som faktisk gir f(x)=1f(x)=1.
  • Alternativ, fullstendig metode (godta også denne): finn eksplisitt g(x)=ex−2g(x)=e^x-2 (løs y=ln⁡(x+2)y=\ln(x+2) for xx), deriver direkte: g′(x)=exg'(x)=e^x, sett inn x=1x=1: g′(1)=eg'(1)=e. Samme svar, annen vei.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R1 matematikk, Vår 2026, Del 1, Oppgave 6