Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2024, Del 1 – Oppgave 1

Uten hjelpemidler – 2 poeng

Deriver funksjonen $f(x) = \dfrac{e^{2x}}{x}$

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal derivere en funksjon som er en BRØK der telleren i tillegg er en SAMMENSATT funksjon – dette krever både brøkregelen (siden $f$ er en kvotient) OG kjerneregelen (siden $e^{2x}$ har $2x$ som indre funksjon).

Strategi og formel: Bruk brøkregelen $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ med $u=e^{2x}$ og $v=x$ . Deriver $u$ med kjerneregelen: den deriverte av $e^{2x}$ er $e^{2x}$ multiplisert med den deriverte av EKSPONENTEN, $2$ .

Trinnvis utregning:

$u=e^{2x}$
$u'=2e^{2x}$ (kjerneregel: ytre funksjon $e^{\square}$ deriveres til seg selv, ganget med den deriverte av det indre, $2x$ , som er $2$ )
$v=x$
$v'=1$
$f'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}=\dfrac{2e^{2x}\cdot x-e^{2x}\cdot 1}{x^2}$
$\dfrac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}$ .

Svar: $f'(x) =$ $\dfrac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}$

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Deriverer $e^{2x}$ riktig med kjerneregelen (til $2e^{2x}$ ), bruker brøkregelen riktig, og forenkler fram til $\frac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}$ (eller et algebraisk ekvivalent uttrykk).
1/2	Bruker riktig regel (brøkregel + kjerneregel), men glemmer faktoren $2$ fra kjerneregelen (skriver $u'=e^{2x}$ i stedet for $2e^{2x}$ ), eller gjør en annen mindre regnefeil.
0/2	Deriverer $e^{2x}/x$ som et PRODUKT i stedet for en kvotient, eller glemmer kjerneregelen helt (setter $u'=e^{2x}$ direkte uten faktoren $2$ OG uten annen konsistent feil).

Sensor-tips

Den klart vanligste feilen er å glemme kjerneregel-faktoren $2$ når $e^{2x}$ deriveres (skriver $\frac{d}{dx}e^{2x}=e^{2x}$ i stedet for $2e^{2x}$ ) – sjekk denne faktoren spesifikt.
Godta ekvivalente forenklede former, f.eks. $\frac{2e^{2x}}{x}-\frac{e^{2x}}{x^2}$ (ikke samlet i én brøk) – matematisk identisk, bare mindre kompakt.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R1 matematikk, Høst 2024, Del 1, Oppgave 1

Utdanningsdirektoratet

Vår 2026, Del 1 – Oppgave 6

Uten hjelpemidler – 2 poeng

En funksjon $f$ gitt ved $f(x) = \ln(x+2)$ , har en omvendt funksjon $g$ . Bestem $g'(1)$ .

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne den deriverte til den OMVENDTE funksjonen $g$ i ett bestemt punkt – uten nødvendigvis å finne et fullstendig uttrykk for $g(x)$ først (selv om det også er mulig her).

Strategi og formel: Bruk sammenhengen mellom en funksjon og dens omvendte funksjons deriverte: $g'(a)=\dfrac{1}{f'(g(a))}$ . Det krever at vi først finner $g(1)$ – altså den $x$ -verdien der $f(x)=1$ (siden $g$ er den omvendte funksjonen til $f$ ).

Trinnvis utregning:

Finn $g(1)$ : løs $f(x)=1$ , altså $\ln(x+2)=1$
$x+2=e^1$
$x=e-2$
$g(1)=e-2$ . Deriver $f$ : $f'(x)=\dfrac{1}{x+2}$ (kjerneregel: indre funksjon $x+2$ har derivert $1$ )
$f'(g(1))=f'(e-2)=\dfrac{1}{(e-2)+2}=\dfrac{1}{e}$
$g'(1)=\dfrac{1}{f'(g(1))}=\dfrac{1}{\frac{1}{e}}=e$ .

Svar: $g'(1) =$ $e$ ( $\approx 2{,}72$ )

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Finner riktig $g(1)=e-2$ ved å løse $f(x)=1$ , deriverer $f$ riktig, og bruker riktig formel $g'(1)=\frac{1}{f'(g(1))}$ fram til $g'(1)=e$ .
1/2	Finner riktig $g(1)=e-2$ og deriverer $f$ riktig, men bruker formelen $g'(a)=\frac{1}{f'(g(a))}$ feil (f.eks. setter $a=1$ direkte inn i $f'$ i stedet for $g(1)$ ).
0/2	Ingen fungerende strategi for å koble $g'$ til $f'$ – f.eks. prøver å derivere $f^{-1}$ direkte uten et eksplisitt uttrykk og uten formelen for omvendt-funksjon-derivert.

Sensor-tips

Den avgjørende innsikten er at $g'(1)=\frac{1}{f'(g(1))}$ krever $g(1)$ (IKKE $f'(1)$ direkte) – en vanlig feil er å beregne $\frac{1}{f'(1)}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$ ved å sette $x=1$ rett inn i $f'$ , uten å først finne hvilken $x$ -verdi som faktisk gir $f(x)=1$ .
Alternativ, fullstendig metode (godta også denne): finn eksplisitt $g(x)=e^x-2$ (løs $y=\ln(x+2)$ for $x$ ), deriver direkte: $g'(x)=e^x$ , sett inn $x=1$ : $g'(1)=e$ . Samme svar, annen vei.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R1 matematikk, Vår 2026, Del 1, Oppgave 6