Kjerneregelen

Kjerneregelen deriverer en SAMMENSATT funksjon – en funksjon INNI en annen funksjon, som $\sqrt{2x+3}$ eller $(3x+1)^4$ . Kall den «ytre» funksjonen $Y$ og den «indre» $I(x)$ : da er den deriverte $Y'(I(x)) \cdot I'(x)$ – deriver den YTRE funksjonen (og la den indre stå urørt inni), gang deretter med den deriverte av den INDRE funksjonen.

Kjerneregelen

$\big(Y(I(x))\big)' = Y'(I(x)) \cdot I'(x)$

Kjerneregelen, steg for steg
Steg	Gjør dette
1	Identifiser ytre og indre funksjon
2	Deriver den ytre (behold den indre urørt inni)
3	Gang med den deriverte av den indre

Tips

For en potens av en sammensatt funksjon, $(I(x))^n$ , gir kjerneregelen: $n \cdot (I(x))^{n-1} \cdot I'(x)$ – potensregelen på YTTERSIDEN, gange den INDRE deriverte.
Glemmer du å gange med den indre deriverte $I'(x)$ , er dette den ABSOLUTT vanligste feilen med kjerneregelen – sjekk alltid at den er med.

Eksempel: Konsentrasjon som funksjon av avstand

Konsentrasjonen av et stoff i en væske er modellert ved $C(x) = \sqrt{2x + 3}$ (mg/L), der $x$ er avstand i cm fra en kilde. Finn $C'(x)$ ved hjelp av kjerneregelen, og finn $C'(3)$ .

Fra sammensatt funksjon til deriverte
Steg	Uttrykk
Indre funksjon I(x)	2x + 3
Indre deriverte I'(x)	2
Ytre deriverte (på I(x))	1/(2 $\sqrt{2x+3}$ )
C'(x), forenklet	1/ $\sqrt{2x+3}$
C'(3)	$\frac{1}{3}$

Løsning:

Den ytre funksjonen er kvadratrot, den indre er $I(x) = 2x+3$ (med $I'(x) = 2$ )
deriver den ytre (kvadratrotregelen fra 1T: $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}}$ ), behold den indre urørt inni: $\frac{1}{2\sqrt{2x+3}}$
gang med den indre deriverte: $C'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x+3}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+3}}$
sett inn $x = 3$ : $C'(3) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 3 + 3}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$ . Den deriverte er $C'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+3}}$ , og $C'(3) = \frac{1}{3}$ mg/L per cm.

Alternativ forklaring/metode: Skriv kjerneregelen med en eksplisitt substitusjon

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Innføre en hjelpevariabel eksplisitt

Usikker på hvordan «ytre» og «indre» henger sammen? Innfør en hjelpevariabel $u = 2x + 3$ eksplisitt: da er $C = \sqrt{u} = u^{\frac{1}{2}}$ , med $\frac{dC}{du} = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}$ og $\frac{du}{dx} = 2$ → kjerneregelen blir $\frac{dC}{dx} = \frac{dC}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{u}} = \frac{1}{\sqrt{2x+3}}$ – samme svar, men med en tydeligere bokføring av hva som deriveres med hensyn på hva.

Kontroll: ytre/indre-tankegang vs. substitusjon
Metode	Resultat
Ytre/indre-tankegang	$\frac{1}{\sqrt{2x+3}}$
Eksplisitt substitusjon u=2x+3	Samme svar

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21I kjerneregelen $(Y(I(x)))' = Y'(I(x)) \cdot I'(x)$ : hva kalles $I(x)$ ?

Vis fasit

Ytre og indre funksjon
Del	Navn
Y	Ytre funksjon
I(x)	Indre funksjon

Y er den ytre funksjonen, I er funksjonen inni den
I(x) er den indre funksjonen

L-22Hva er den mest vanlige feilen når man bruker kjerneregelen?

Vis fasit

Den vanligste feilen med kjerneregelen
Feil	Konsekvens
Glemme å gange med I'(x)	Feil svar

Kjerneregelen krever BEGGE deriverte, ytre og indre
glemmer man I'(x), blir svaret feil

L-23Deriver

f(x) = (2x - 1)^5

med kjerneregelen.

Vis fasit

Deriver f(x)=(2x-1)^5
Steg	Uttrykk
Ytre (potensregel)	5(2x-1)⁴
Indre I'(x)	2
f'(x)	10(2x−1)⁴

Ytre: potensregelen på (2x-1) opphøyd i 5, indre I(x)=2x-1 med I'(x)=2
5(2x-1)⁴ gange 2
f'(x) = 10(2x−1)⁴

Middels(3)

M-21Deriver

f(x) = (3x + 1)^4

med kjerneregelen, og finn

f'(1)

Vis fasit

Deriver f(x)=(3x+1)^4 og finn f'(1)
Steg	Uttrykk
Ytre (potensregel)	4(3x+1)³
Indre I'(x)	3
f'(x)	12(3x+1)³
f'(1)	768

Ytre: potensregelen på (3x+1) opphøyd i 4, indre I(x)=3x+1 med I'(x)=3
4(3x+1)³ gange 3 = 12(3x+1)³
f'(1) = 12·4³
f'(1) = 768

M-22Deriver

f(x) = \sqrt{4x - 3}

med kjerneregelen.

Vis fasit

Deriver f(x)=√(4x-3)
Steg	Uttrykk
Ytre (kvadratrot)	$\frac{1}{2\sqrt{4x-3}}$
Indre I'(x)	4
f'(x)	$\frac{2}{\sqrt{4x−3}}$

Ytre: kvadratrot, indre I(x)=4x-3 med I'(x)=4
1/(2 $\sqrt{4x-3}$ ) gange 4
f'(x) = 2/ $\sqrt{4x−3}$

M-23Deriver $f(x) = (x^2 + 1)^3$ med kjerneregelen.

Vis fasit

Deriver f(x)=(x²+1)^3
Steg	Uttrykk
Ytre (potensregel)	3(x²+1)²
Indre I'(x)	2x
f'(x)	6x(x²+1)²

Ytre: potensregelen på (x²+1) opphøyd i 3, indre I(x)=x²+1 med I'(x)=2x
3(x²+1)² gange 2x
f'(x) = 6x(x²+1)²

Vanskelig(3)

V-21En temperaturmodell er

T(x) = \sqrt{3x + 1}

, der

x

er dybde i en innsjø (meter). Finn

T'(x)

T'(5)

Vis fasit

Temperaturmodell T(x)=√(3x+1)
Steg	Uttrykk
Ytre (kvadratrot)	$\frac{1}{2\sqrt{3x+1}}$
Indre I'(x)	3
T'(x)	$\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$
T'(5)	0,375

Ytre: kvadratrot, indre I(x)=3x+1 med I'(x)=3
T'(x) = 1/(2 $\sqrt{3x+1}$ ) gange 3 = 3/(2 $\sqrt{3x+1}$ )
T'(5) = 3/(2 $\sqrt{16}$ ) = $\frac{3}{8}$
T'(5) = 0,375

V-22Forklar hvorfor $f(x) = (x^2)^4$ kan deriveres med BÅDE kjerneregelen og potensregelen alene, og vis at de gir samme svar.

Vis fasit

Kontroll: potensregel vs. kjerneregel
Metode	Resultat
Potensregel direkte	8x⁷
Kjerneregelen	8x⁷
Konklusjon	Begge gir samme svar

Potensregelen direkte på (x^2)^4=x^8: f'(x)=8x⁷
kjerneregelen: 4(x²)³·2x = 8x⁷
begge metodene gir samme svar, siden (x²)⁴ er en ren potens av x

V-23Deriver

f(x) = \frac{1}{(x+2)^3}

ved å først skrive den om til

(x+2)^{-3}

og bruke kjerneregelen.

Vis fasit

Deriver f(x)=1/(x+2)³
Steg	Uttrykk
Omskrevet	(x+2)^(-3)
Ytre (potensregel)	-3(x+2)^(-4)
Indre I'(x)	1
f'(x)	−3/(x+2)⁴

(x+2)^(-3): ytre potensregel gir -3(x+2)^(-4), indre I'(x)=1
-3(x+2)^(-4) gange 1
f'(x) = −3/(x+2)⁴