Kjerneregelen

Kjerneregelen deriverer en SAMMENSATT funksjon: en funksjon INNI en annen funksjon, som $\sqrt{2x+3}$ eller $(3x+1)^4$ . Kall den «ytre» funksjonen $Y$ og den «indre» $I(x)$ : da er den deriverte $Y'(I(x)) \cdot I'(x)$ : deriver den YTRE funksjonen (og la den indre stå urørt inni), gang deretter med den deriverte av den INDRE funksjonen.

Kjerneregelen

$\big(Y(I(x))\big)' = Y'(I(x)) \cdot I'(x)$

Kjerneregelen, steg for steg
Steg	Gjør dette
1	Identifiser ytre og indre funksjon
2	Deriver den ytre (behold den indre urørt inni)
3	Gang med den deriverte av den indre

Tips

For en potens av en sammensatt funksjon, $(I(x))^n$ , gir kjerneregelen: $n \cdot (I(x))^{n-1} \cdot I'(x)$ : potensregelen på YTTERSIDEN, gange den INDRE deriverte.
Glemmer du å gange med den indre deriverte $I'(x)$ , er dette den ABSOLUTT vanligste feilen med kjerneregelen: sjekk alltid at den er med.

Eksempel: Konsentrasjon som funksjon av avstand

Konsentrasjonen av et stoff i en væske er modellert ved $C(x) = \sqrt{2x + 3}$ (mg/L), der $x$ er avstand i cm fra en kilde. Finn $C'(x)$ ved hjelp av kjerneregelen, og finn $C'(3)$ .

Løsning:

Den ytre funksjonen er kvadratrot, den indre er $I(x) = 2x+3$ (med $I'(x) = 2$ )
deriver den ytre (kvadratrotregelen fra 1T: $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}}$ ), behold den indre urørt inni: $\frac{1}{2\sqrt{2x+3}}$
gang med den indre deriverte: $C'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x+3}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+3}}$
sett inn $x = 3$ : $C'(3) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 3 + 3}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$ . Den deriverte er $C'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+3}}$ , og $C'(3) = \frac{1}{3}$ mg/L per cm.

Fra sammensatt funksjon til deriverte
Steg	Uttrykk
Indre funksjon I(x)	2x + 3
Indre deriverte I'(x)	2
Ytre deriverte (på I(x))	1/(2 $\sqrt{2x+3}$ )
C'(x), forenklet	1/ $\sqrt{2x+3}$
C'(3)	$\frac{1}{3}$

Alternativ forklaring/metode: Skriv kjerneregelen med en eksplisitt substitusjon

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Innføre en hjelpevariabel eksplisitt

Usikker på hvordan «ytre» og «indre» henger sammen? Innfør en hjelpevariabel $u = 2x + 3$ eksplisitt: da er $C = \sqrt{u} = u^{\frac{1}{2}}$ , med $\frac{dC}{du} = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}$ og $\frac{du}{dx} = 2$ → kjerneregelen blir $\frac{dC}{dx} = \frac{dC}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{u}} = \frac{1}{\sqrt{2x+3}}$ : samme svar, men med en tydeligere bokføring av hva som deriveres med hensyn på hva.

Kontroll: ytre/indre-tankegang vs. substitusjon
Metode	Resultat
Ytre/indre-tankegang	$\frac{1}{\sqrt{2x+3}}$
Eksplisitt substitusjon u=2x+3	Samme svar

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21I kjerneregelen $(Y(I(x)))' = Y'(I(x)) \cdot I'(x)$ : hva kalles $I(x)$ ?

Vis fasit

Y er den ytre funksjonen, I er funksjonen inni den
I(x) er den indre funksjonen

Ytre og indre funksjon
Del	Navn
Y	Ytre funksjon
I(x)	Indre funksjon

L-22Hva er den mest vanlige feilen når man bruker kjerneregelen?

Vis fasit

Kjerneregelen krever BEGGE deriverte, ytre og indre
glemmer man I'(x), blir svaret feil

Den vanligste feilen med kjerneregelen
Feil	Konsekvens
Glemme å gange med I'(x)	Feil svar

L-23Deriver $f(x) = (2x - 1)^5$ med kjerneregelen.

Vis fasit

Ytre: potensregelen på $(2x-1)^{5}$ , indre I(x)=2x-1 med I'(x)=2
5(2x-1)⁴ gange 2
f'(x) = 10(2x−1)⁴

Deriver f(x)=(2x-1)^5
Steg	Uttrykk
Ytre (potensregel)	5(2x-1)⁴
Indre I'(x)	2
f'(x)	10(2x−1)⁴

Middels(3)

M-21Deriver $f(x) = (3x + 1)^4$ med kjerneregelen, og finn $f'(1)$ .

Vis fasit

Ytre: potensregelen på $(3x+1)^{4}$ , indre I(x)=3x+1 med I'(x)=3
4(3x+1)³ gange 3 = 12(3x+1)³
f'(1) = 12·4³
f'(1) = 768

Deriver f(x)=(3x+1)^4 og finn f'(1)
Steg	Uttrykk
Ytre (potensregel)	4(3x+1)³
Indre I'(x)	3
f'(x)	12(3x+1)³
f'(1)	768

M-22Deriver $f(x) = \sqrt{4x - 3}$ med kjerneregelen.

Vis fasit

Ytre: kvadratrot, indre I(x)=4x-3 med I'(x)=4
$\frac{1}{2\sqrt{4x-3}} \cdot 4$
$f'(x) = \frac{2}{\sqrt{4x-3}}$

Deriver f(x)=√(4x-3)
Steg	Uttrykk
Ytre (kvadratrot)	$\frac{1}{2\sqrt{4x-3}}$
Indre I'(x)	4
f'(x)	$\frac{2}{\sqrt{4x−3}}$

M-23Deriver $f(x) = (x^2 + 1)^3$ med kjerneregelen.

Vis fasit

Ytre: potensregelen på $(x^2+1)^{3}$ , indre I(x)=x²+1 med I'(x)=2x
3(x²+1)² gange 2x
f'(x) = 6x(x²+1)²

Deriver f(x)=(x²+1)^3
Steg	Uttrykk
Ytre (potensregel)	3(x²+1)²
Indre I'(x)	2x
f'(x)	6x(x²+1)²

Vanskelig(3)

V-21En temperaturmodell er $T(x) = \sqrt{3x + 1}$ , der $x$ er dybde i en innsjø (meter). Finn $T'(x)$ og $T'(5)$ .

Vis fasit

Ytre: kvadratrot, indre I(x)=3x+1 med I'(x)=3
$T'(x) = \frac{1}{2\sqrt{3x+1}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$
$T'(5) = \frac{3}{2\sqrt{16}} = \frac{3}{8}$
T'(5) = 0,375

Temperaturmodell T(x)=√(3x+1)
Steg	Uttrykk
Ytre (kvadratrot)	$\frac{1}{2\sqrt{3x+1}}$
Indre I'(x)	3
T'(x)	$\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$
T'(5)	0,375

V-22Forklar hvorfor $f(x) = (x^2)^4$ kan deriveres med BÅDE kjerneregelen og potensregelen alene, og vis at de gir samme svar.

Vis fasit

Potensregelen direkte på (x^2)^4=x^8: f'(x)=8x⁷
kjerneregelen: 4(x²)³·2x = 8x⁷
begge metodene gir samme svar, siden (x²)⁴ er en ren potens av x

Kontroll: potensregel vs. kjerneregel
Metode	Resultat
Potensregel direkte	8x⁷
Kjerneregelen	8x⁷
Konklusjon	Begge gir samme svar

V-23Deriver $f(x) = \frac{1}{(x+2)^3}$ ved å først skrive den om til $(x+2)^{-3}$ og bruke kjerneregelen.

Vis fasit

(x+2)^(-3): ytre potensregel gir -3(x+2)^(-4), indre I'(x)=1
-3(x+2)^ $(-4) \cdot 1$
f'(x) = −3/(x+2)⁴

Deriver f(x)=1/(x+2)³
Steg	Uttrykk
Omskrevet	(x+2)^(-3)
Ytre (potensregel)	-3(x+2)^(-4)
Indre I'(x)	1
f'(x)	−3/(x+2)⁴