Sum og produkt av røttene (Vietas formler)

Røttene og koeffisientene henger tettere sammen enn du kanskje tror. Skriv likningen på faktorisert form – slik du gjorde med funksjoner i «Andregradsfunksjoner og parabelen» – og gang ut: $a(x - x_1)(x - x_2) = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a x_1 x_2$ . Sammenligner du dette ledd for ledd med $ax^2 + bx + c$ , ser du at $b = -a(x_1 + x_2)$ og $c = a x_1 x_2$ . Deler du på $a$ , står det igjen to enkle sammenhenger: summen av røttene er alltid $-\frac{b}{a}$ , og produktet er alltid $\frac{c}{a}$ . Dette kalles Vietas formler, etter François Viète (ca. 1 600). De er nyttige på tre måter: som en rask kontroll av svaret ditt, som en måte å finne den andre roten når du kjenner den ene, og som en måte å LAGE en likning med bestemte røtter.

Vietas formler

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Tips

Er $a = 1$ , blir det spesielt enkelt: summen er $-b$ og produktet er $c$ . De aller fleste oppgavene i 1T har $a = 1$ .
Bruk formlene som KONTROLL: har du regnet ut to røtter, tar det fem sekunder å legge dem sammen og gange dem, og sammenligne med koeffisientene. Stemmer begge, er svaret nesten sikkert riktig.
Skal du lage en likning med gitte røtter, gå baklengs: $x^2 - (\text{sum})x + (\text{produkt}) = 0$ . Merk minustegnet foran summen.

Eksempel: Kontrollere et svar med Vietas formler

abc-formelen ga $x = 2$ og $x = -0,5$ for likningen $2x^2 - 3x - 2 = 0$ . Kontroller svaret uten å sette løsningene inn i likningen.

Vietas kontroll av x = 2 og x = -0,5
Kontroll	Fra røttene	Fra koeffisientene	Stemmer?
Sum: $x_1+x_2$	$2+(-0{,}5)=1{,}5$	$-\frac{b}{a}=1{,}5$	ja
Produkt: $x_1 \cdot x_2$	$2 \cdot (-0{,}5)=-1$	$\frac{c}{a}=-1$	ja

Løsning:

Vi leser av koeffisientene: $a = 2$ , $b = -3$ , $c = -2$
regn ut summen av røttene vi fikk: $2 + (-0,5) = 1,5$
sammenlign med $-\frac{b}{a} = -\frac{-3}{2} = 1,5$ , som stemmer
regn ut produktet: $2 \cdot (-0,5) = -1$
sammenlign med $\frac{c}{a} = \frac{-2}{2} = -1$ , som også stemmer. Begge kontrollene stemmer, så svaret $x = 2$ og $x = -0,5$ er riktig.

Alternativ forklaring/metode: Po-Shen Loh-metoden (løse likningen med sum og produkt)

Tilleggsinformasjon – ikke pensum på dette nivået

USA (Po-Shen Loh, 2019) – bygger på babylonsk/indisk idé

Forutsetninger:

Sum og produkt av røttene (undertemaet rett over) – og konjugatsetningen $(m-u)(m+u) = m^2 - u^2$ fra «Algebraiske uttrykk».
Metoden står IKKE i læreplanen for 1T og forventes ikke på eksamen. Den er tatt med fordi den viser en fin sammenheng, ikke fordi du må kunne den.

Dette er ikke pensum, men en ekstra godbit: Vietas formler gir faktisk mer enn en kontroll – de gir en helt egen løsningsmetode. Poenget er at to tall med en kjent SUM alltid ligger like langt fra gjennomsnittet sitt, én på hver side. Har $x^2 + bx + c = 0$ summen $-b$ , er gjennomsnittet $-\frac{b}{2}$ , og røttene må være $-\frac{b}{2} - u$ og $-\frac{b}{2} + u$ for en eller annen avstand $u$ . Produktet av de to er $\left(\frac{b}{2}\right)^2 - u^2$ etter konjugatsetningen, og det skal være $c$ – altså $u^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 - c$ . Nå står bare ÉN ukjent igjen, og den finner du med en enkel kvadratrot. For $x^2 - 10x + 21 = 0$ : gjennomsnittet er $5$ → $u^2 = 25 - 21 = 4$ → $u = 2$ → røttene er $5 - 2 = 3$ og $5 + 2 = 7$ . Metoden ble gjort kjent av matematikeren Po-Shen Loh i 2019. I 1T er faktorisering, utfylling av kvadratet og abc-formelen fortsatt hovedmetodene – bruk denne bare hvis du synes den er lettere å huske.

Po-Shen Loh for x² - 10x + 21 = 0
Steg	Uttrykk
Gjennomsnitt av røttene: $-\frac{b}{2}$	$\frac{10}{2}=5$
Sett røttene til $5 \pm u$	$(5-u)(5+u)=25-u^2$
Produktet skal være $c$	$25-u^2=21$
Løs for $u$	$u^2=4 \Rightarrow u=2$
Røtter: $5 \pm u$	$3$ og $7$

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-41Røttene til $x^2 - 7x + 12 = 0$ er $3$ og $4$ . Hva er summen, og stemmer den med $-\frac{b}{a}$ ?

Vis fasit

Beregning	Resultat
3 + 4	7
-b/a = -(-7)/1	7
7, og de stemmer overens

3 + 4 = 7
-b/a = -(-7)/1 = 7
7, og de stemmer overens

L-42For

x^2 + 5x + 6 = 0

: hva er summen av røttene?

Vis fasit

Beregning	Resultat
a = 1, b	5
sum = -b/a	-5

a = 1, b = 5
sum = -b/a = -5

L-43For

x^2 + 5x + 6 = 0

: hva er produktet av røttene?

Vis fasit

Beregning	Resultat
a = 1, c	6
produkt = c/a	6

a = 1, c = 6
produkt = c/a = 6

Middels(3)

M-41En andregradslikning har røttene

2

-5

. Hva er summen og produktet?

Vis fasit

Beregning	Resultat
2 + (-5) = -3, og 2 * (-5)	-10
sum -3, produkt -10

2 + (-5) = -3, og 2 * (-5) = -10
sum -3, produkt -10

M-42Skriv en likning på formen

x^2 + bx + c = 0

som har røttene

3

-2

Vis fasit

Beregning	Resultat
Sum = 3 + (-2)	1
b = -sum	-1
produkt = 3 * (-2)	-6
c	-6
x² - x - 6 = 0

Sum = 3 + (-2) = 1
b = -sum = -1
produkt = 3 * (-2) = -6
c = -6
x² - x - 6 = 0

M-43For

2x^2 - 10x + 8 = 0

: hva er summen av røttene?

Vis fasit

Beregning	Resultat
a = 2, b	-10
sum = -b/a = 10 : 2	5 (røttene er 1 og 4, som stemmer)

a = 2, b = -10
sum = -b/a = 10 : 2 = 5 (røttene er 1 og 4, som stemmer)

Vanskelig(3)

V-41Den ene roten i

x^2 - 9x + 20 = 0

4

. Finn den andre uten å bruke abc-formelen.

Vis fasit

Beregning	Resultat
Sum av røttene = -b/a	9
den andre roten er 9 - 4	5

Sum av røttene = -b/a = 9
den andre roten er 9 - 4 = 5

V-42En elev påstår at

x = 3

x = -0,5

løser

2x^2 - 5x - 3 = 0

. Bruk Vieta til å avgjøre om det stemmer.

Vis fasit

Beregning	Resultat
Sum: 3 + (-0,5) = 2,5 og -b/a = 5 : 2	2,5 ✓
produkt: 3 * (-0,5) = -1,5 og c/a = -3 : 2	-1,5 ✓
begge stemmer, svaret er riktig

Sum: 3 + (-0,5) = 2,5 og -b/a = 5 : 2 = 2,5 ✓
produkt: 3 * (-0,5) = -1,5 og c/a = -3 : 2 = -1,5 ✓
begge stemmer, svaret er riktig

V-43For hvilken

c

har

x^2 - 6x + c = 0

to røtter der den ene er dobbelt så stor som den andre?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Kall røttene r og 2r
sum = 3r = -b/a	6
r	2, så røttene er 2 og 4
produkt = c = 2 * 4	8

Kall røttene r og 2r
sum = 3r = -b/a = 6
r = 2, så røttene er 2 og 4
produkt = c = 2 * 4 = 8