Løsningsmengde på tallinja

Svaret på en ulikhet er en MENGDE av tall, ikke ett tall. Den kan skrives med ulikhetstegn ( $x < 2$ ), som intervall ( $\langle \leftarrow, 2 \rangle$ ) eller tegnes på en tallinje. På tallinja markerer et åpent punkt at endepunktet IKKE er med (streng ulikhet), og et fylt punkt at det er med.

Tips

Åpen sirkel = endepunktet er ikke med ( $<$ eller $>$ ). Fylt sirkel = endepunktet er med ( $\leq$ eller $\geq$ ).
Får du to atskilte intervaller, skriv «eller» mellom dem – ikke «og». Ingen $x$ kan ligge i begge samtidig.

Eksempel: Tegne løsningsmengden

Tegn løsningsmengden til $x^2 - 4 \leq 0$ på en tallinje.

Fra ulikhet til tallinje
Element	Verdi
Nullpunkt	-2 og 2
Fortegn ønsket	negativt (≤ 0)
Endepunkt med?	ja, fordi ≤
Løsningsmengde	-2 ≤ x ≤ 2

Løsning:

Vi finner nullpunktene: $x^2 - 4 = 0$ gir $x = -2$ og $x = 2$
parabelen vender opp, så uttrykket er negativt MELLOM nullpunktene
ulikheten er $\leq$ , så nullpunktene selv hører med
på tallinja markerer vi fylte punkter i $-2$ og $2$ og skygger alt imellom. Svaret er $-2 \leq x \leq 2$ .

Alternativ forklaring/metode: Skriv svaret som et intervall

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Intervallnotasjon

I stedet for $-2 \leq x \leq 2$ kan løsningsmengden skrives $[-2, 2]$ , der hakeparentes betyr at endepunktet er med og spiss parentes at det ikke er det. Da blir $x < 2$ til $\langle \leftarrow, 2 \rangle$ . Notasjonen er kortere og brukes mye videre i R1/S1, men betyr nøyaktig det samme.

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Skal endepunktet markeres med åpen eller fylt sirkel ved $x < 3$ ?

Vis fasit

Beregning	Resultat
< er streng ulikhet, 3 er ikke med
åpen sirkel

< er streng ulikhet, 3 er ikke med
åpen sirkel

L-32Skal endepunktet markeres med åpen eller fylt sirkel ved

x \geq 1

Vis fasit

Beregning	Resultat
x ≥ 1
≥ tar med endepunktet
fylt sirkel

x ≥ 1
≥ tar med endepunktet
fylt sirkel

L-33Skriv

-1 \leq x \leq 4

som intervall.

Vis fasit

Beregning	Resultat
-1 ≤ x ≤ 4
begge endepunkt er med
hakeparentes begge steder
[-1, 4]

-1 ≤ x ≤ 4
begge endepunkt er med
hakeparentes begge steder
[-1, 4]

Middels(3)

M-31Ligger

x = 2

i løsningsmengden til

x^2 - 4 < 0

Vis fasit

Beregning	Resultat
x = 2 gir 4 - 4	0, og 0 er ikke < 0
nei, 2 er ikke med

x = 2 gir 4 - 4 = 0, og 0 er ikke < 0
nei, 2 er ikke med

M-32Ligger

x = 2

i løsningsmengden til

x^2 - 4 \leq 0

Vis fasit

Beregning	Resultat
x	2 gir 0, og 0 ≤ 0 er sant
ja

x = 2 gir 0, og 0 ≤ 0 er sant
ja

M-33Skriv løsningen «

x < -1

eller

x > 3

» med ord.

Vis fasit

Beregning	Resultat
x < -1 eller x > 3
to atskilte intervaller
alle tall under -1 og alle tall over 3, men ingenting imellom

x < -1 eller x > 3
to atskilte intervaller
alle tall under -1 og alle tall over 3, men ingenting imellom

Vanskelig(3)

V-31Hvorfor skriver vi «eller» og ikke «og» mellom to atskilte intervaller?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Intervallene overlapper ikke
et tall oppfyller det ene ELLER det andre
«og» ville gitt tom mengde

Intervallene overlapper ikke
et tall oppfyller det ene ELLER det andre
«og» ville gitt tom mengde

V-32Hva er løsningsmengden til

x^2 < 0

Vis fasit

Beregning	Resultat
x² < 0
et kvadrat er aldri negativt
ingen x oppfyller ulikheten
tom løsningsmengde

x² < 0
et kvadrat er aldri negativt
ingen x oppfyller ulikheten
tom løsningsmengde

V-33Hva er løsningsmengden til

x^2 \geq 0

Vis fasit

Beregning	Resultat
Et kvadrat er alltid 0 eller positivt
alle x oppfyller ulikheten

Et kvadrat er alltid 0 eller positivt
alle x oppfyller ulikheten