Andregradsulikheter

Framgangsmåten er alltid den samme: flytt alt over til én side slik at du har $0$ på den andre, løs den tilhørende LIKNINGEN for å finne nullpunktene, og avgjør så i hvilke intervaller uttrykket har riktig fortegn. Nullpunktene er de eneste stedene uttrykket kan skifte fortegn, så mellom dem er fortegnet konstant.

Framgangsmåte

$ax^2 + bx + c > 0 \Rightarrow \text{finn nullpunkt, så fortegn}$

Tips

Løs alltid likningen $ax^2 + bx + c = 0$ først. Nullpunktene deler tallinja i intervaller, og fortegnet kan bare skifte i et nullpunkt.
Pass på om ulikheten er streng ( $>$ ) eller ikke ( $\geq$ ). Ved $\geq$ hører nullpunktene selv med i svaret; ved $>$ gjør de ikke det.

Eksempel: Løse en andregradsulikhet

Løs ulikheten $x^2 - 5x + 6 > 0$ .

Test av fortegn i hvert intervall
Intervall	Testverdi	Verdi av uttrykket	Fortegn
x < 2	0	6	+
2 < x < 3	2,5	-0,25	-
x > 3	4	2	+

Løsning:

Vi finner først nullpunktene ved å løse $x^2 - 5x + 6 = 0$
faktoriser: $(x-2)(x-3) = 0$ , så nullpunktene er $x = 2$ og $x = 3$
nullpunktene deler tallinja i tre intervaller
test ett tall i hvert: $x = 0$ gir $6 > 0$ (positiv), $x = 2,5$ gir $-0,25$ (negativ), $x = 4$ gir $2 > 0$ (positiv)
vi vil ha der uttrykket er POSITIVT. Svaret er $x < 2$ eller $x > 3$ .

Alternativ forklaring/metode: Les svaret rett av parabelen

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Grafisk lesning

Tegn $y = x^2 - 5x + 6$ . Parabelen vender opp og krysser $x$ -aksen i $2$ og $3$ . Ulikheten $> 0$ spør hvor grafen ligger OVER $x$ -aksen – det er utenfor nullpunktene, altså $x < 2$ eller $x > 3$ . Mange synes dette er raskere enn fortegnsskjema, fordi du ser svaret direkte i stedet for å tolke en tabell.

y = x² - 5x + 6

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Løs $x^2 - 4 > 0$ .

Vis fasit

Beregning	Resultat
x² - 4	0
(x+2)(x-2)	0
nullpunkt -2 og 2
parabelen vender opp, positiv utenfor
x < -2 eller x > 2

x² - 4 = 0
(x+2)(x-2) = 0
nullpunkt -2 og 2
parabelen vender opp, positiv utenfor
x < -2 eller x > 2

L-12Løs

x^2 - 9 < 0

Vis fasit

Beregning	Resultat
x² - 9	0
nullpunkt -3 og 3
negativ MELLOM nullpunktene
-3 < x < 3

x² - 9 = 0
nullpunkt -3 og 3
negativ MELLOM nullpunktene
-3 < x < 3

L-13Hvor mange intervaller deler to nullpunkt tallinja i?

Vis fasit

Beregning	Resultat
2 nullpunkt gir ett intervall før, ett mellom og ett etter
3 intervaller

2 nullpunkt gir ett intervall før, ett mellom og ett etter
3 intervaller

Middels(3)

M-11Løs

x^2 - 5x + 4 < 0

Vis fasit

Beregning	Resultat
x² - 5x + 4	0
(x-1)(x-4)	0
nullpunkt 1 og 4
negativ mellom
1 < x < 4

x² - 5x + 4 = 0
(x-1)(x-4) = 0
nullpunkt 1 og 4
negativ mellom
1 < x < 4

M-12Løs

x^2 - 3x \geq 0

Vis fasit

Beregning	Resultat
x² - 3x	0
x(x-3)	0
nullpunkt 0 og 3
positiv utenfor, og ≥ tar med nullpunktene
x ≤ 0 eller x ≥ 3

x² - 3x = 0
x(x-3) = 0
nullpunkt 0 og 3
positiv utenfor, og ≥ tar med nullpunktene
x ≤ 0 eller x ≥ 3

M-13Løs

x^2 + 2x - 3 > 0

Vis fasit

Beregning	Resultat
x² + 2x - 3	0
(x+3)(x-1)	0
nullpunkt -3 og 1
positiv utenfor
x < -3 eller x > 1

x² + 2x - 3 = 0
(x+3)(x-1) = 0
nullpunkt -3 og 1
positiv utenfor
x < -3 eller x > 1

Vanskelig(3)

V-11Løs

x^2 + 1 > 0

Vis fasit

Beregning	Resultat
x² + 1	0
D = 0 - 4	-4
ingen nullpunkt
parabelen ligger helt over aksen
gjelder for alle x

x² + 1 = 0
D = 0 - 4 = -4
ingen nullpunkt
parabelen ligger helt over aksen
gjelder for alle x

V-12Løs

x^2 - 6x + 9 > 0

Vis fasit

Beregning	Resultat
x² - 6x + 9	(x-3)²
null bare i x	3, ellers positiv
alle x unntatt x = 3

x² - 6x + 9 = (x-3)²
null bare i x = 3, ellers positiv
alle x unntatt x = 3

V-13Løs

-x^2 + 4 > 0

Vis fasit

Beregning	Resultat
-x² + 4	0
x²	4
nullpunkt -2 og 2
parabelen vender NED, så positiv MELLOM
-2 < x < 2

-x² + 4 = 0
x² = 4
nullpunkt -2 og 2
parabelen vender NED, så positiv MELLOM
-2 < x < 2