NumiSum

Andregradsulikheter

Framgangsmåten er alltid den samme: flytt alt over til én side slik at du har 00 på den andre, løs den tilhørende LIKNINGEN for å finne nullpunktene, og avgjør så i hvilke intervaller uttrykket har riktig fortegn. Nullpunktene er de eneste stedene uttrykket kan skifte fortegn, så mellom dem er fortegnet konstant.

Andregradsulikhet på generell form

ax2+bx+c>0ax^2 + bx + c > 0

Tips

  • Løs alltid likningen ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 først. Nullpunktene deler tallinja i intervaller, og fortegnet kan bare skifte i et nullpunkt.
  • Pass på om ulikheten er streng (>>) eller ikke (≥\geq). Ved ≥\geq hører nullpunktene selv med i svaret; ved >> gjør de ikke det.
  • Plott f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2+bx+c i GeoGebra og les direkte av hvor grafen ligger over (f(x)>0f(x)>0) eller under (f(x)<0f(x)<0) x-aksen, en rask grafisk kontroll av fortegnsskjemaet.

Eksempel: Løse en andregradsulikhet

Løs ulikheten x2−5x+6>0x^2 - 5x + 6 > 0.

Løsning:
  1. Vi finner først nullpunktene ved å løse x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0
  2. faktoriser: (x−2)(x−3)=0(x-2)(x-3) = 0, så nullpunktene er x=2x = 2 og x=3x = 3
  3. nullpunktene deler tallinja i tre intervaller
  4. test ett tall i hvert: x=0x = 0 gir 6>06 > 0 (positiv), x=2,5x = 2{,}5 gir −0,25-0{,}25 (negativ), x=4x = 4 gir 2>02 > 0 (positiv)
  5. vi vil ha der uttrykket er POSITIVT. Svaret er x<2x < 2 eller x>3x > 3.
Test av fortegn i hvert intervall
IntervallTestverdiVerdi av uttrykketFortegn
x < 206+
2 < x < 32,5-0,25-
x > 342+
Alternativ forklaring/metode: Les svaret rett av parabelen

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Grafisk lesning

Tegn y=x2−5x+6y = x^2 - 5x + 6. Parabelen vender opp og krysser xx-aksen i 22 og 33. Ulikheten >0> 0 spør hvor grafen ligger OVER xx-aksen. Det er utenfor nullpunktene, altså x<2x < 2 eller x>3x > 3. Mange synes dette er raskere enn fortegnsskjema, fordi du ser svaret direkte i stedet for å tolke en tabell.

xy−112345510(2,5, −0,25)
y = x² - 5x + 6

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Løs x2−4>0x^2 - 4 > 0.

Vis fasit
  1. x² - 4 = 0
  2. (x+2)(x-2) = 0
  3. nullpunkt -2 og 2
  4. parabelen vender opp, positiv utenfor
  5. x < -2 eller x > 2

L-22Løs x2−9<0x^2 - 9 < 0.

Vis fasit
  1. x² - 9 = 0
  2. nullpunkt -3 og 3
  3. negativ MELLOM nullpunktene
  4. -3 < x < 3

L-23Hvor mange intervaller deler to nullpunkt tallinja i?

Vis fasit
  1. 2 nullpunkt gir ett intervall før, ett mellom og ett etter
  2. 3 intervaller
Middels(3)

M-21Løs x2−5x+4<0x^2 - 5x + 4 < 0.

Vis fasit
  1. x² - 5x + 4 = 0
  2. (x-1)(x-4) = 0
  3. nullpunkt 1 og 4
  4. negativ mellom
  5. 1 < x < 4

M-22Løs x2−3x≥0x^2 - 3x \geq 0.

Vis fasit
  1. x² - 3x = 0
  2. x(x-3) = 0
  3. nullpunkt 0 og 3
  4. positiv utenfor, og ≥ tar med nullpunktene
  5. x ≤ 0 eller x ≥ 3

M-23Løs x2+2x−3>0x^2 + 2x - 3 > 0.

Vis fasit
  1. x² + 2x - 3 = 0
  2. (x+3)(x-1) = 0
  3. nullpunkt -3 og 1
  4. positiv utenfor
  5. x < -3 eller x > 1
Vanskelig(3)

V-21Løs x2+1>0x^2 + 1 > 0.

Vis fasit
  1. x² + 1 = 0
  2. D = 0 - 4 = -4
  3. ingen nullpunkt
  4. parabelen ligger helt over aksen
  5. gjelder for alle x

V-22Løs x2−6x+9>0x^2 - 6x + 9 > 0.

Vis fasit
  1. x² - 6x + 9 = (x-3)²
  2. null bare i x = 3, ellers positiv
  3. alle x unntatt x = 3

V-23Løs −x2+4>0-x^2 + 4 > 0.

Vis fasit
  1. -x² + 4 = 0
  2. x² = 4
  3. nullpunkt -2 og 2
  4. parabelen vender NED, så positiv MELLOM
  5. -2 < x < 2