NumiSum

Fortegnsskjema

Et fortegnsskjema er en systematisk måte å holde orden på fortegnet til hver faktor. Du skriver én linje per faktor og markerer hvor den er positiv og hvor den er negativ, og så ganger du fortegnene sammen kolonne for kolonne. Metoden lønner seg spesielt når uttrykket har flere faktorer enn to.

Fortegn til et produkt

(+)⋅(+)=+,(+)⋅(−)=−,(−)⋅(−)=+(+) \cdot (+) = +, \quad (+) \cdot (-) = -, \quad (-) \cdot (-) = +

Tips

  • Faktoriser FØR du setter opp skjemaet, skjemaet trenger én linje per faktor, og de får du bare av den faktoriserte formen.
  • Hver enkeltfaktor (x−k)(x - k) skifter fortegn nøyaktig i x=kx = k: negativ til venstre, positiv til høyre.

Eksempel: Sette opp et fortegnsskjema

Bruk fortegnsskjema til å løse (x+1)(x−4)<0(x + 1)(x - 4) < 0.

Løsning:
  1. Vi finner nullpunktene til hver faktor: x+1=0x + 1 = 0 gir x=−1x = -1, og x−4=0x - 4 = 0 gir x=4x = 4
  2. faktoren (x+1)(x+1) er negativ for x<−1x < -1 og positiv etterpå
  3. faktoren (x−4)(x-4) er negativ for x<4x < 4 og positiv etterpå
  4. gang fortegnene i hvert intervall: (−)(−)=+(-)(-) = +, så (+)(−)=−(+)(-) = -, så (+)(+)=+(+)(+) = +
  5. vi vil ha der produktet er NEGATIVT. Svaret er −1<x<4-1 < x < 4.
Fortegnsskjema for (x + 1)(x - 4)
Faktorx < -1-1 < x < 4x > 4
x + 1-++
x - 4--+
Produkt+-+
Alternativ forklaring/metode: Sett inn ett tall per intervall

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Testpunkt-metoden

I stedet for et fullt skjema kan du bare velge ett tall i hvert intervall og regne ut uttrykket der. For (x+1)(x−4)(x+1)(x-4): x=−2x = -2 gir (−1)(−6)=6(-1)(-6) = 6 (positiv), x=0x = 0 gir (1)(−4)=−4(1)(-4) = -4 (negativ), x=5x = 5 gir (6)(1)=6(6)(1) = 6 (positiv). Raskere med to faktorer, men fortegnsskjemaet blir tryggere når det er tre eller flere.

Testpunkter for (x + 1)(x - 4)
IntervallTestpunktUtregningFortegn
x<−1x<-1x=−2x=-2(−1)(−6)=6(-1)(-6)=6positiv
−1<x<4-1<x<4x=0x=0(1)(−4)=−4(1)(-4)=-4negativ
x>4x>4x=5x=5(6)(1)=6(6)(1)=6positiv

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31I fortegnsskjemaet: hva er fortegnet til (x−3)(x - 3) når x=1x = 1?

Vis fasit
  1. x - 3 med x = 1
  2. 1 - 3 = -2
  3. negativt

L-32Hva blir fortegnet til produktet når begge faktorene er negative?

Vis fasit
  1. (-) * (-)
  2. positivt

L-33Hvor skifter faktoren (x+5)(x + 5) fortegn?

Vis fasit
  1. x + 5 = 0
  2. x = -5
Middels(3)

M-31Løs (x−1)(x−5)>0(x - 1)(x - 5) > 0 med fortegnsskjema.

Vis fasit
  1. Nullpunkt 1 og 5
  2. fortegn: (+)(-)(+) i de tre intervallene
  3. positiv utenfor
  4. x < 1 eller x > 5

M-32Løs (x+2)(x−1)≤0(x + 2)(x - 1) \leq 0.

Vis fasit
  1. Nullpunkt -2 og 1
  2. negativ mellom, og ≤ tar med endepunktene
  3. -2 ≤ x ≤ 1

M-33Hvor mange fortegnsskift har (x−1)(x−2)(x−3)(x-1)(x-2)(x-3)?

Vis fasit
  1. Ett skift per enkeltnullpunkt: x = 1, 2 og 3
  2. 3 fortegnsskift
Vanskelig(3)

V-31Løs x(x−2)(x+3)>0x(x - 2)(x + 3) > 0.

Vis fasit
  1. Nullpunkt -3, 0 og 2
  2. fortegn fra venstre: (-)(+)(-)(+)
  3. positiv der 2. og 4. intervall ligger
  4. -3 < x < 0 eller x > 2

V-32Hvorfor skifter ikke (x−2)2(x-2)^2 fortegn i x=2x = 2?

Vis fasit
  1. (x-2)² = (x-2)(x-2)
  2. begge skifter samtidig
  3. (-)(-) = + og (+)(+) = +
  4. fortegnet er positivt på begge sider

V-33Løs (x−4)2>0(x - 4)^2 > 0.

Vis fasit
  1. Et kvadrat er alltid ≥ 0, og null bare i x = 4
  2. alle x unntatt x = 4