Fortegnsskjema

Et fortegnsskjema er en systematisk måte å holde orden på fortegnet til hver faktor. Du skriver én linje per faktor og markerer hvor den er positiv og hvor den er negativ, og så ganger du fortegnene sammen kolonne for kolonne. Metoden lønner seg spesielt når uttrykket har flere faktorer enn to.

Fortegn til et produkt

$(+) \cdot (+) = +, \quad (+) \cdot (-) = -, \quad (-) \cdot (-) = +$

Tips

Faktoriser FØR du setter opp skjemaet – skjemaet trenger én linje per faktor, og de får du bare av den faktoriserte formen.
Hver enkeltfaktor $(x - k)$ skifter fortegn nøyaktig i $x = k$ : negativ til venstre, positiv til høyre.

Eksempel: Sette opp et fortegnsskjema

Bruk fortegnsskjema til å løse $(x + 1)(x - 4) < 0$ .

Fortegnsskjema for (x + 1)(x - 4)
Faktor	x < -1	-1 < x < 4	x > 4
x + 1	-	+	+
x - 4	-	-	+
Produkt	+	-	+

Løsning:

Vi finner nullpunktene til hver faktor: $x + 1 = 0$ gir $x = -1$ , og $x - 4 = 0$ gir $x = 4$
faktoren $(x+1)$ er negativ for $x < -1$ og positiv etterpå
faktoren $(x-4)$ er negativ for $x < 4$ og positiv etterpå
gang fortegnene i hvert intervall: $(-)(-) = +$ , så $(+)(-) = -$ , så $(+)(+) = +$
vi vil ha der produktet er NEGATIVT. Svaret er $-1 < x < 4$ .

Alternativ forklaring/metode: Sett inn ett tall per intervall

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Testpunkt-metoden

I stedet for et fullt skjema kan du bare velge ett tall i hvert intervall og regne ut uttrykket der. For $(x+1)(x-4)$ : $x = -2$ gir $(-1)(-6) = 6$ (positiv), $x = 0$ gir $(1)(-4) = -4$ (negativ), $x = 5$ gir $(6)(1) = 6$ (positiv). Raskere med to faktorer, men fortegnsskjemaet blir tryggere når det er tre eller flere.

Testpunkter for (x + 1)(x - 4)
Intervall	Testpunkt	Utregning	Fortegn
$x<-1$	$x=-2$	$(-1)(-6)=6$	positiv
$-1<x<4$	$x=0$	$(1)(-4)=-4$	negativ
$x>4$	$x=5$	$(6)(1)=6$	positiv

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21I fortegnsskjemaet: hva er fortegnet til $(x - 3)$ når $x = 1$ ?

Vis fasit

Beregning	Resultat
x - 3 med x	1
1 - 3	-2
negativt

x - 3 med x = 1
1 - 3 = -2
negativt

L-22Hva blir fortegnet til produktet når begge faktorene er negative?

Vis fasit

Beregning	Resultat
(-) * (-)
positivt

(-) * (-)
positivt

L-23Hvor skifter faktoren

(x + 5)

fortegn?

Vis fasit

Beregning	Resultat
x + 5	0
x = -5

x + 5 = 0
x = -5

Middels(3)

M-21Løs

(x - 1)(x - 5) > 0

med fortegnsskjema.

Vis fasit

Beregning	Resultat
Nullpunkt 1 og 5
fortegn: (+)(-)(+) i de tre intervallene
positiv utenfor
x < 1 eller x > 5

Nullpunkt 1 og 5
fortegn: (+)(-)(+) i de tre intervallene
positiv utenfor
x < 1 eller x > 5

M-22Løs

(x + 2)(x - 1) \leq 0

Vis fasit

Beregning	Resultat
Nullpunkt -2 og 1
negativ mellom, og ≤ tar med endepunktene
-2 ≤ x ≤ 1

Nullpunkt -2 og 1
negativ mellom, og ≤ tar med endepunktene
-2 ≤ x ≤ 1

M-23Hvor mange fortegnsskift har

(x-1)(x-2)(x-3)

Vis fasit

Beregning	Resultat
Ett skift per enkeltnullpunkt: x	1, 2 og 3
3 fortegnsskift

Ett skift per enkeltnullpunkt: x = 1, 2 og 3
3 fortegnsskift

Vanskelig(3)

V-21Løs

x(x - 2)(x + 3) > 0

Vis fasit

Beregning	Resultat
Nullpunkt -3, 0 og 2
fortegn fra venstre: (-)(+)(-)(+)
positiv der 2. og 4. intervall ligger
-3 < x < 0 eller x > 2

Nullpunkt -3, 0 og 2
fortegn fra venstre: (-)(+)(-)(+)
positiv der 2. og 4. intervall ligger
-3 < x < 0 eller x > 2

V-22Hvorfor skifter ikke

(x-2)^2

fortegn i

x = 2

Vis fasit

Beregning	Resultat
(x-2)²	(x-2)(x-2)
begge skifter samtidig
(-)(-) = + og (+)(+)	+
fortegnet er positivt på begge sider

(x-2)² = (x-2)(x-2)
begge skifter samtidig
(-)(-) = + og (+)(+) = +
fortegnet er positivt på begge sider

V-23Løs

(x - 4)^2 > 0

Vis fasit

Beregning	Resultat
Et kvadrat er alltid ≥ 0, og null bare i x	4
alle x unntatt x = 4

Et kvadrat er alltid ≥ 0, og null bare i x = 4
alle x unntatt x = 4