Kastparabelen – høyde over tid – Modellering med andregradsfunksjoner (1T)

Kastparabelen – høyde over tid

Kaster du noe opp i lufta, trekker tyngdekrafta det ned igjen med konstant akselerasjon. Resultatet er at høyden alltid følger en andregradsfunksjon av TIDA: $h(t) = -5t^2 + v_0 t + h_0$ . Her er $h_0$ høyden du kastet fra, $v_0$ er starthastigheten oppover, og $-5$ kommer fra tyngdeakselerasjonen (halvparten av $10$ m/s²). Fortegnet på $t^2$ -leddet er alltid negativt, så grafen er en bue som vender ned, akkurat som den faktiske kastebanen. Toppunktet er det høyeste punktet, og det positive nullpunktet er øyeblikket gjenstanden treffer bakken.

Høyde ved kast

$h(t) = -5t^2 + v_0 t + h_0$

h(t) = -5t² + 20t + 25, toppunkt (2, 45), landing t = 5

Tips

Grafen ser ut som kastebanen, men aksene er ikke de samme: $x$ -aksen er TID, ikke avstand bortover. To helt ulike kast kan gi samme graf.
Det negative nullpunktet er alltid uten mening her, tida starter i $t = 0$ . Regn det gjerne ut, men forkast det med en begrunnelse.
«Når er ballen 20 m over bakken?» gir som regel TO svar: én gang på vei opp og én gang på vei ned. Begge er riktige.

Eksempel: Finne største høyde og landingstidspunkt

En ball skytes opp fra taket av en bygning. Høyden over bakken er $h(t) = -5t^2 + 20t + 25$ , der $h$ er meter og $t$ er sekunder. Finn den største høyden ballen når, og når den treffer bakken.

Løsning:

Vi leser av koeffisientene: $a = -5$ , $b = 20$ , $c = 25$
$a$ er negativ, så parabelen vender ned og har et toppunkt
finn symmetrilinjen: $t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = \frac{20}{10} = 2$
sett $t = 2$ inn: $h(2) = -5 \cdot 4 + 20 \cdot 2 + 25 = -20 + 40 + 25 = 45$
for landingen løser vi $h(t) = 0$ : $-5t^2 + 20t + 25 = 0$ , del på $-5$ : $t^2 - 4t - 5 = 0$
faktoriser: $(t - 5)(t + 1) = 0$ , altså $t = 5$ eller $t = -1$
$t = -1$ er før kastet startet og forkastes. Ballen er høyest $45$ m etter $2$ sekunder, og treffer bakken etter $5$ sekunder.

Høyden time for time
t (s)	h(t) (m)	Hva skjer
0	25	kastes fra taket
2	45	høyeste punkt
4	25	like høyt som starten
5	0	treffer bakken

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11For $h(t) = -5t^2 + 20t$ : når er ballen på det høyeste?

Vis fasit

h(t) = -5t² + 20t
a = -5, b = 20
$t = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} =$ 2 sekunder

L-12For $h(t) = -5t^2 + 20t$ : hva er den største høyden?

Vis fasit

Toppunktet er i t = 2
h(2) = -5 * 4 + 20 * 2 = -20 + 40 = 20 meter

L-13For $h(t) = -5t^2 + 20t$ : når treffer ballen bakken?

Vis fasit

h(t) = -5t² + 20t, og bakken er h = 0
-5t² + 20t = 0
felles faktor: -5t(t - 4) = 0
t = 0 (kastet) eller t = 4 sekunder

Middels(3)

M-11En ball kastes fra 25 m: $h(t) = -5t^2 + 20t + 25$ . Hvor høyt er den etter 1 sekund?

Vis fasit

h(t) = -5t² + 20t + 25, sett t = 1
h(1) = -5 + 20 + 25 = 40 meter

M-12For $h(t) = -5t^2 + 10t + 15$ : når treffer ballen bakken?

Vis fasit

-5t² + 10t + 15 = 0
del på -5: t² - 2t - 3 = 0
(t - 3)(t + 1) = 0
t = 3 eller t = -1
negativ tid forkastes
t = 3 sekunder

M-13For $h(t) = -5t^2 + 30t$ : hva er største høyde?

Vis fasit

a = -5, b = 30
t = -30/(2 * (-5)) = 3
h(3) = -5 * 9 + 30 * 3 = -45 + 90 = 45 meter

Vanskelig(3)

V-11For $h(t) = -5t^2 + 20t + 25$ : når er ballen nøyaktig 40 m over bakken?

Vis fasit

-5t² + 20t + 25 = 40
-5t² + 20t - 15 = 0
del på -5: t² - 4t + 3 = 0
(t - 1)(t - 3) = 0
t = 1 s (på vei opp) og t = 3 s (på vei ned)

V-12For $h(t) = -5t^2 + 20t + 25$ : hvor lenge er ballen over 40 m?

Vis fasit

Ballen er 40 m høy i t = 1 og t = 3, og over 40 m mellom dem (parabelen vender ned)
1 < t < 3
2 sekunder

V-13Hvorfor gir «når er ballen 10 m høy?» som regel to svar, mens «når er ballen høyest?» gir ett?

Vis fasit

En vannrett linje $h = 10$ krysser parabelen to steder
to tidspunkt; toppunktet er ett enkelt punkt der symmetrilinja treffer grafen
ett tidspunkt