Kastparabelen – høyde over tid – Modellering med andregradsfunksjoner (1T)

Kastparabelen – høyde over tid

Kaster du noe opp i lufta, trekker tyngdekrafta det ned igjen med konstant akselerasjon. Resultatet er at høyden alltid følger en andregradsfunksjon av TIDA: $h(t) = -5t^2 + v_0 t + h_0$ . Her er $h_0$ høyden du kastet fra, $v_0$ er starthastigheten oppover, og $-5$ kommer fra tyngdeakselerasjonen (halvparten av $10$ m/s²). Fortegnet på $t^2$ -leddet er alltid negativt, så grafen er en bue som vender ned – akkurat som den faktiske kastebanen. Toppunktet er det høyeste punktet, og det positive nullpunktet er øyeblikket gjenstanden treffer bakken.

Høyde ved kast

$h(t) = -5t^2 + v_0 t + h_0$

h(t) = -5t² + 20t + 25, toppunkt (2, 45), landing t = 5

Tips

Grafen ser ut som kastebanen, men aksene er ikke de samme: $x$ -aksen er TID, ikke avstand bortover. To helt ulike kast kan gi samme graf.
Det negative nullpunktet er alltid uten mening her – tida starter i $t = 0$ . Regn det gjerne ut, men forkast det med en begrunnelse.
«Når er ballen 20 m over bakken?» gir som regel TO svar: én gang på vei opp og én gang på vei ned. Begge er riktige.

Eksempel: Finne største høyde og landingstidspunkt

En ball skytes opp fra taket av en bygning. Høyden over bakken er $h(t) = -5t^2 + 20t + 25$ , der $h$ er meter og $t$ er sekunder. Finn den største høyden ballen når, og når den treffer bakken.

Høyden time for time
t (s)	h(t) (m)	Hva skjer
0	25	kastes fra taket
2	45	høyeste punkt
4	25	like høyt som starten
5	0	treffer bakken

Løsning:

Vi leser av koeffisientene: $a = -5$ , $b = 20$ , $c = 25$
$a$ er negativ, så parabelen vender ned og har et toppunkt
finn symmetrilinjen: $t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = \frac{20}{10} = 2$
sett $t = 2$ inn: $h(2) = -5 \cdot 4 + 20 \cdot 2 + 25 = -20 + 40 + 25 = 45$
for landingen løser vi $h(t) = 0$ : $-5t^2 + 20t + 25 = 0$ , del på $-5$ : $t^2 - 4t - 5 = 0$
faktoriser: $(t - 5)(t + 1) = 0$ , altså $t = 5$ eller $t = -1$
$t = -1$ er før kastet startet og forkastes. Ballen er høyest $45$ m etter $2$ sekunder, og treffer bakken etter $5$ sekunder.

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11For $h(t) = -5t^2 + 20t$ : når er ballen på det høyeste?

Vis fasit

Beregning	Resultat
h(t)	-5t² + 20t
a = -5, b	20
$t = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} =$ 2 sekunder

h(t) = -5t² + 20t
a = -5, b = 20
$t = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} =$ 2 sekunder

L-12For $h(t) = -5t^2 + 20t$ : hva er den største høyden?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Toppunktet er i t	2
h(2) = -5 * 4 + 20 * 2 = -20 + 40	20 meter

Toppunktet er i t = 2
h(2) = -5 * 4 + 20 * 2 = -20 + 40 = 20 meter

L-13For

h(t) = -5t^2 + 20t

: når treffer ballen bakken?

Vis fasit

Beregning	Resultat
h(t) = -5t² + 20t, og bakken er h	0
-5t² + 20t	0
felles faktor: -5t(t - 4)	0
t	0 (kastet) eller t = 4 sekunder

h(t) = -5t² + 20t, og bakken er h = 0
-5t² + 20t = 0
felles faktor: -5t(t - 4) = 0
t = 0 (kastet) eller t = 4 sekunder

Middels(3)

M-11En ball kastes fra 25 m:

h(t) = -5t^2 + 20t + 25

. Hvor høyt er den etter 1 sekund?

Vis fasit

Beregning	Resultat
h(t) = -5t² + 20t + 25, sett t	1
h(1) = -5 + 20 + 25	40 meter

h(t) = -5t² + 20t + 25, sett t = 1
h(1) = -5 + 20 + 25 = 40 meter

M-12For

h(t) = -5t^2 + 10t + 15

: når treffer ballen bakken?

Vis fasit

Beregning	Resultat
-5t² + 10t + 15	0
del på -5: t² - 2t - 3	0
(t - 3)(t + 1)	0
t = 3 eller t	-1
negativ tid forkastes
t = 3 sekunder

-5t² + 10t + 15 = 0
del på -5: t² - 2t - 3 = 0
(t - 3)(t + 1) = 0
t = 3 eller t = -1
negativ tid forkastes
t = 3 sekunder

M-13For

h(t) = -5t^2 + 30t

: hva er største høyde?

Vis fasit

Beregning	Resultat
a = -5, b	30
t = -30/(2 * (-5))	3
h(3) = -5 * 9 + 30 * 3 = -45 + 90	45 meter

a = -5, b = 30
t = -30/(2 * (-5)) = 3
h(3) = -5 * 9 + 30 * 3 = -45 + 90 = 45 meter

Vanskelig(3)

V-11For

h(t) = -5t^2 + 20t + 25

: når er ballen nøyaktig 40 m over bakken?

Vis fasit

Beregning	Resultat
-5t² + 20t + 25	40
-5t² + 20t - 15	0
del på -5: t² - 4t + 3	0
(t - 1)(t - 3)	0
t = 1 s (på vei opp) og t = 3 s (på vei ned)

-5t² + 20t + 25 = 40
-5t² + 20t - 15 = 0
del på -5: t² - 4t + 3 = 0
(t - 1)(t - 3) = 0
t = 1 s (på vei opp) og t = 3 s (på vei ned)

V-12For

h(t) = -5t^2 + 20t + 25

: hvor lenge er ballen over 40 m?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Ballen er 40 m høy i t = 1 og t	3, og over 40 m mellom dem (parabelen vender ned)
1 < t < 3
2 sekunder

Ballen er 40 m høy i t = 1 og t = 3, og over 40 m mellom dem (parabelen vender ned)
1 < t < 3
2 sekunder

V-13Hvorfor gir «når er ballen 10 m høy?» som regel to svar, mens «når er ballen høyest?» gir ett?

Vis fasit

Beregning	Resultat
En vannrett linje $h = 10$ krysser parabelen to steder
to tidspunkt; toppunktet er ett enkelt punkt der symmetrilinja treffer grafen
ett tidspunkt

En vannrett linje $h = 10$ krysser parabelen to steder
to tidspunkt; toppunktet er ett enkelt punkt der symmetrilinja treffer grafen
ett tidspunkt