NumiSum

Inntekt og overskudd

Setter en bedrift prisen høyt, tjener den mye per vare, men selger færre. Setter den prisen lavt, selger den mange, men tjener lite på hver. Inntekten er pris ganger antall – og når BEGGE avhenger av det samme valget, blir produktet en andregradsfunksjon. Det er derfor «selg flest mulig» sjelden er svaret: et sted mellom de to ytterpunktene ligger toppunktet, og det er der overskuddet er størst. Nullpunktene har også en tolkning her: de er dekningspunktene, altså der bedriften akkurat går i null.

Inntekt

I=pris⋅antallI = \text{pris} \cdot \text{antall}

xy-2-112341000020000(1, 24200)
I(x) = -200x² + 400x + 24 000, toppunkt (1, 24 200)

Tips

  • Definer xx presist: er det antall varer, eller antall prisendringer? Begge går an, men uttrykket blir helt forskjellig.
  • Toppunktet gir det STØRSTE overskuddet. Nullpunktene gir der overskuddet er null – ikke bland dem sammen.
  • Svaret må gi mening i situasjonen: du kan ikke selge 283,56283{,}56 bagetter. Rund av til nærmeste hele, og sjekk verdien på begge naboene.

Eksempel: Finne prisen som gir størst inntekt

En kino har 200200 tilskuere når billetten koster 120120 kr. Erfaringen er at hver gang prisen settes ned med 1010 kr, kommer det 2020 flere tilskuere. Hvilken pris gir størst inntekt?

Inntekt ved ulike prisnedsettelser
xPris (kr)TilskuereInntekt (kr)
012020024 000
111022024 200
210024024 000
39026023 400
Løsning:
  1. Vi lar xx være antall ganger prisen settes ned med 1010 kr
  2. da er prisen 120−10x120 - 10x kroner og antall tilskuere 200+20x200 + 20x
  3. inntekten blir I(x)=(120−10x)(200+20x)I(x) = (120 - 10x)(200 + 20x)
  4. gang ut: 24 000+2400x−2000x−200x2=−200x2+400x+24 00024\,000 + 2400x - 2000x - 200x^2 = -200x^2 + 400x + 24\,000
  5. a=−200a = -200 er negativ, så det finnes et toppunkt: x=−b2a=−4002⋅(−200)=1x = -\frac{b}{2a} = -\frac{400}{2 \cdot (-200)} = 1
  6. sett inn: prisen blir 120−10=110120 - 10 = 110 kr, tilskuerne 200+20=220200 + 20 = 220, og inntekten 110⋅220=24 200110 \cdot 220 = 24\,200 kr. Størst inntekt får kinoen med en pris på 110110 kr, som gir 24 20024\,200 kr.

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31En kino selger 200200 billetter à 120120 kr. Hva er inntekten?

Vis fasit
BeregningResultat
Inntekt = pris * antall = 120 * 20024 000 kr

Inntekt = pris * antall = 120 * 200 = 24 000 kr

L-32Prisen settes ned til 110110 kr, og da kommer 220220 tilskuere. Hva blir inntekten?

Vis fasit
BeregningResultat
Pris 110 kr og 220 tilskuere
inntektpris * antall
110 * 22024 200 kr, altså mer enn ved full pris
  1. Pris 110 kr og 220 tilskuere
  2. inntekt = pris * antall
  3. 110 * 220 = 24 200 kr, altså mer enn ved full pris

L-33For I(x)=−200x2+400x+24 000I(x) = -200x^2 + 400x + 24\,000: hvilken xx gir størst inntekt?

Vis fasit
BeregningResultat
a = -200, b400
x=−4002⋅(−200)=x = -\frac{400}{2 \cdot (-200)} = 1
  1. a = -200, b = 400
  2. x=−4002⋅(−200)=x = -\frac{400}{2 \cdot (-200)} = 1
Middels(3)

M-31For overskuddet O(x)=−2x2+40x−50O(x) = -2x^2 + 40x - 50: hvor mange enheter gir størst overskudd?

Vis fasit
BeregningResultat
a = -2, b40
x=−402⋅(−2)=x = -\frac{40}{2 \cdot (-2)} = 10 enheter
  1. a = -2, b = 40
  2. x=−402⋅(−2)=x = -\frac{40}{2 \cdot (-2)} = 10 enheter

M-32For O(x)=−2x2+40x−50O(x) = -2x^2 + 40x - 50: hvor stort blir det største overskuddet?

Vis fasit
BeregningResultat
O(x) = -2x² + 40x - 50 har toppunkt i x10
O(10) = -2 * 100 + 40 * 10 - 50 = -200 + 400 - 50150
  1. O(x) = -2x² + 40x - 50 har toppunkt i x = 10
  2. O(10) = -2 * 100 + 40 * 10 - 50 = -200 + 400 - 50 = 150

M-33For O(x)=−x2+30x−200O(x) = -x^2 + 30x - 200: for hvilke antall går bedriften akkurat i null?

Vis fasit
BeregningResultat
O(x) = -x² + 30x - 200, og å gå i null betyr O(x)0
-x² + 30x - 2000
gang med -1: x² - 30x + 2000
(x - 10)(x - 20)0
x = 10 og x = 20
  1. O(x) = -x² + 30x - 200, og å gå i null betyr O(x) = 0
  2. -x² + 30x - 200 = 0
  3. gang med -1: x² - 30x + 200 = 0
  4. (x - 10)(x - 20) = 0
  5. x = 10 og x = 20
Vanskelig(3)

V-31For O(x)=−x2+30x−200O(x) = -x^2 + 30x - 200: for hvilke antall er overskuddet positivt?

Vis fasit
BeregningResultat
O(x) = -x² + 30x - 200 har nullpunktene 10 og 20, og a-1 gjør at parabelen vender ned
positiv MELLOM nullpunktene
10 < x < 20
  1. O(x) = -x² + 30x - 200 har nullpunktene 10 og 20, og a = -1 gjør at parabelen vender ned
  2. positiv MELLOM nullpunktene
  3. 10 < x < 20

V-32For O(x)=−x2+30x−200O(x) = -x^2 + 30x - 200: hvor stort er det største overskuddet?

Vis fasit
BeregningResultat
x=−302⋅(−1)=15x = -\frac{30}{2 \cdot (-1)} = 15 (midt mellom nullpunktene 10 og 20)
O(15) = -225 + 450 - 20025
  1. x=−302⋅(−1)=15x = -\frac{30}{2 \cdot (-1)} = 15 (midt mellom nullpunktene 10 og 20)
  2. O(15) = -225 + 450 - 200 = 25

V-33Hvorfor gir ikke «selg flest mulig» alltid størst overskudd?

Vis fasit
BeregningResultat
Flere solgte varer krever lavere pris
inntekten er pris * antall, der det ene øker mens det andre synker
produktet er størst i toppunktet, ikke ytterst
  1. Flere solgte varer krever lavere pris
  2. inntekten er pris * antall, der det ene øker mens det andre synker
  3. produktet er størst i toppunktet, ikke ytterst