Modellering med andregradsfunksjoner
1T
Nå har du hele verktøykassa: du kan tegne parabelen, finne toppunktet, løse likningen og lese av intervallene. Dette temaet handler om å bruke den på virkeligheten. Felles for alt du møter her er én idé: når noe først vokser og så avtar – høyden på en ball, arealet av et innhegnet område, overskuddet til en bedrift – er det ofte en andregradsfunksjon som beskriver det. Og da er TOPPUNKTET svaret på «hva er det meste vi kan få?», mens NULLPUNKTENE svarer på «når er vi tilbake på null?». Jobben din er å oversette situasjonen til en funksjon, regne, og så oversette svaret TILBAKE til situasjonen – med enhet og hele setninger.
Bygger på: Andregradsfunksjoner og parabelen (1T), Andregradslikninger (1T), Andregradsulikheter og avanserte sammenhenger (1T)
Start: Kastparabelen – høyde over tid →- 1Kastparabelen – høyde over tidUndertema
- 2Arealoptimering – mest mulig arealUndertema
- 3Inntekt og overskuddUndertema
- 4Ord og uttrykkOrdliste
- 5Sjekk din forståelseQuiz
- 6EksamensoppgaverEksamensoppgaver
Vanlige feil
| Vanlig feil | Gjør heller dette |
|---|---|
| Svarer med -verdien når spørsmålet er «hvor stort/høyt», f.eks. «» på «hva er den største høyden?». | -verdien i toppunktet forteller NÅR eller VED HVILKET ANTALL. Sett den inn i funksjonen for å få selve verdien: meter. |
| Tar med det negative nullpunktet som et svar, f.eks. «ballen treffer bakken etter s». | Situasjonen begrenser definisjonsmengden. Negativ tid, negativ lengde og negativt antall finnes ikke – forkast slike løsninger, men skriv HVORFOR. |
| Glemmer enheten i svaret, eller oppgir «» uten å si hva det er. | Et modelleringssvar er en setning: «Ballen er høyest etter 2 sekunder, og da er den 45 meter over bakken.» Tall alene svarer ikke på spørsmålet. |
| Tror at et større tall for alltid gir et bedre resultat, og velger største lovlige verdi. | Når vokser funksjonen bare fram til toppunktet og synker etterpå. Det beste valget ligger i toppunktet, ikke ytterst i intervallet. |
Til foreldre / leksehjelper
Kompetansemål fra læreplanen (Udir)
- utforske sammenhenger mellom andregradsligninger og andregradsulikheter, andregradsfunksjoner og kvadratsetningene og bruke sammenhengene i problemløsing (se hos Udir)
- modellere situasjoner knyttet til ulike temaer, drøfte, presentere og forklare resultatene og argumentere for om modellene er gyldige (se hos Udir)
Eleven skal kunne oversette BEGGE veier: fra en tekst om en situasjon til en funksjon, og fra et utregnet tall tilbake til en setning om situasjonen. Det er den siste veien som oftest glipper – eleven regner riktig og svarer «2» der svaret skulle vært «ballen er høyest etter 2 sekunder, og da er den 45 meter over bakken». Kompetansemålet krever også at eleven kan si noe om når modellen IKKE gjelder.
Slik kan du hjelpe
- Be eleven forklare HØYT hva står for, med enhet, før de regner. Klarer de ikke det, er ikke modellen satt opp ennå – uansett hvor mye som står på arket.
- Spør «hva betyr det tallet du fikk, i denne situasjonen?» hver gang de er ferdige. Et svar uten enhet og setning er ikke ferdig.
- Spør «finnes det -verdier her som ikke gir mening?» – det tvinger fram tanken om gyldighetsområde, som er halve kompetansemålet.
Nye begreper
- Optimalisering
- Å finne det beste valget – her: det som gir mest mulig areal, høyde eller overskudd.
- Gyldighetsområde
- De verdiene der modellen faktisk gir mening. En kastemodell gjelder ikke etter at ballen har landet.
Pedagogikken bak
Foreldre lærte gjerne tekstoppgaver som en egen sjanger man «knakk koden» på. I dag er poenget motsatt: modellering skal vise at matematikken beskriver noe virkelig, og at eleven selv må bestemme hva som skal kalles . Møter eleven veggen, er det nesten alltid i oppsettet og ikke i regningen – be dem tegne situasjonen og skrive én setning om hva er, før de gjør noe annet. Er oppsettet riktig, er resten den samme toppunktregningen de allerede kan.
🧩 Trenger du å forklare dette uten skjerm? Prøv dette
Kast en sammenkrøllet papirball mellom dere og film det med mobilkameraet. Spill av i sakte film og stopp der ballen er på det høyeste. Spør: hvor lang tid tok det dit, og hvor lang tid tok resten av kastet? At de to tidene er omtrent like lange ER symmetrien i parabelen, målt i deres egen stue – og gjør det konkret hvorfor toppunktet ligger midt mellom start og landing når kastet starter og slutter i samme høyde.
Vanlige feil å være oppmerksom på
Se «Vanlige feil» over for en oversikt over misforståelser å se etter, og hva som er riktig i stedet.