Arealoptimering – mest mulig areal – Modellering med andregradsfunksjoner (1T)

Arealoptimering – mest mulig areal

Har du en fast mengde gjerde og skal gjerde inn størst mulig område, blir arealet en andregradsfunksjon. Grunnen er at omkretsen binder de to sidene sammen: velger du den ene siden, er den andre bestemt. Setter du inn i $A = \text{lengde} \cdot \text{bredde}$ , får du et uttrykk med $x^2$ – og siden $x^2$ -leddet blir negativt, finnes det et toppunkt. Fremgangsmåten er alltid den samme: kall den ene siden $x$ , uttrykk den andre ved hjelp av $x$ , sett opp arealet, og finn toppunktet.

Areal ved fast omkrets $O$

$A(x) = x \left(\frac{O}{2} - x\right)$

A(x) = x(20 - x), toppunkt (10, 100)

Tips

Skriv ALLTID ned hva $x$ betyr, med enhet, før du regner. « $x$ = lengden av den ene siden, i meter» sparer deg for halvparten av feilene.
Sjekk svaret mot sunn fornuft: en side kan ikke være negativ, og heller ikke lengre enn hele gjerdet.
Gjelder gjerdet bare TRE sider (fordi den fjerde er en vegg), blir sammenhengen $x + 2y = O$ , ikke $2x + 2y = O$ . Tegn situasjonen først.

Eksempel: Størst mulig areal med 40 m gjerde

Du har $40$ m gjerde og skal gjerde inn et rektangulært område. Hvilke sidelengder gir størst areal, og hvor stort blir arealet?

Areal for ulike sidelengder (omkrets 40 m)
x (m)	y = 20 - x (m)	Areal (m²)
5	15	75
8	12	96
10	10	100
12	8	96
15	5	75

Løsning:

Vi kaller den ene siden $x$ meter. Omkretsen er $40$ , altså $2x + 2y = 40$
del på $2$ : $x + y = 20$ , som gir $y = 20 - x$
sett opp arealet: $A(x) = x \cdot y = x(20 - x) = 20x - x^2$
dette er en andregradsfunksjon med $a = -1$ og $b = 20$ , og $a$ er negativ, så den har et toppunkt
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \cdot (-1)} = 10$
da er $y = 20 - 10 = 10$ , og $A = 10 \cdot 10 = 100$ . Størst areal får du med et kvadrat på $10 \times 10$ m, altså $100$ m².

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Et rektangel har omkrets $20$ m. Hvis den ene siden er $x$ , hva er den andre?

Vis fasit

Beregning	Resultat
2x + 2y	20
del på 2: x + y	10
y = 10 - x

2x + 2y = 20
del på 2: x + y = 10
y = 10 - x

L-22For

A(x) = x(10 - x)

: hvilken

x

gir størst areal?

Vis fasit

Beregning	Resultat
A(x)	10x - x²
a = -1, b	10
$x = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} =$ 5

A(x) = 10x - x²
a = -1, b = 10
$x = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} =$ 5

L-23For $A(x) = x(10 - x)$ : hva er det største arealet?

Vis fasit

Beregning	Resultat
A(x) = x(10 - x) har toppunkt i x	5
A(5) = 5 * (10 - 5) = 5 * 5	25

A(x) = x(10 - x) har toppunkt i x = 5
A(5) = 5 * (10 - 5) = 5 * 5 = 25

Middels(3)

M-21Et rektangel har omkrets

36

m. Finn sidene som gir størst areal.

Vis fasit

Beregning	Resultat
2x + 2y	36
y	18 - x
A(x)	x(18 - x)
$x = -\frac{18}{2 \cdot (-1)} = 9$
y = 18 - 9	9
9 m og 9 m

2x + 2y = 36
y = 18 - x
A(x) = x(18 - x)
$x = -\frac{18}{2 \cdot (-1)} = 9$
y = 18 - 9 = 9
9 m og 9 m

M-22Med omkrets $36$ m: hvor stort blir det største arealet?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Omkrets 36 gir sidene 9 og 9
A = 9 * 9	81 m²

Omkrets 36 gir sidene 9 og 9
A = 9 * 9 = 81 m²

M-23Du har

40

m gjerde, men den ene siden er en vegg du ikke trenger gjerde langs. Sett opp arealet

A(x)

når

x

er siden parallelt med veggen.

Vis fasit

Beregning	Resultat
Tre sider gjerdes: x + 2y	40
$y = \frac{40 - x}{2}$
$A(x) = x \cdot y =$ $\frac{x(40 - x)}{2}$

Tre sider gjerdes: x + 2y = 40
$y = \frac{40 - x}{2}$
$A(x) = x \cdot y =$ $\frac{x(40 - x)}{2}$

Vanskelig(3)

V-21Med $40$ m gjerde mot en vegg (tre sider): hvilken $x$ gir størst areal, og hvor stort blir det?

Vis fasit

Beregning	Resultat
$A(x) = \frac{x(40-x)}{2} = 20x - \frac{x^2}{2}$
$a = -\frac{1}{2}$ , b	20
$x = -\frac{20}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 20$
$A(20) = \frac{20 \cdot 20}{2} =$ 200 m²

$A(x) = \frac{x(40-x)}{2} = 20x - \frac{x^2}{2}$
$a = -\frac{1}{2}$ , b = 20
$x = -\frac{20}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 20$
$A(20) = \frac{20 \cdot 20}{2} =$ 200 m²

V-22Med $60$ m gjerde mot en vegg (tre sider): hva er største areal?

Vis fasit

Beregning	Resultat
$A(x) = \frac{x(60-x)}{2}$
toppunkt i $x = 30$
$A(30) = \frac{30 \cdot 30}{2} =$ 450 m²

$A(x) = \frac{x(60-x)}{2}$
toppunkt i $x = 30$
$A(30) = \frac{30 \cdot 30}{2} =$ 450 m²

V-23Hvilken rektangelform gir alltid størst areal når omkretsen er gitt? Begrunn med eksempelet omkrets $40$ m.

Vis fasit

Beregning	Resultat
Omkrets 40 gir A(x)	x(20 - x)
toppunktet ligger i x = 10, og da er y	10 også
sidene blir like
kvadratet; til sammenligning gir 5 * 15	75 m², mot kvadratets 100 m²

Omkrets 40 gir A(x) = x(20 - x)
toppunktet ligger i x = 10, og da er y = 10 også
sidene blir like
kvadratet; til sammenligning gir 5 * 15 = 75 m², mot kvadratets 100 m²