Eksamensoppgaver – Modellering med andregradsfunksjoner (1T)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Numisum.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2024, Del 2 – Oppgave 1

Med hjelpemidler – 4 poeng

Tabellen nedenfor viser hvor mange bagetter en kantine har solgt hver av de siste sju ukene, og hvor stort overskudd salget har gitt.

| Solgte bagetter | 100 | 130 | 160 | 175 | 190 | 220 | 235 | |---|---|---|---|---|---|---|---| | Overskudd (kroner) | 1 450 | 2 300 | 3 050 | 3 365 | 3 720 | 4 140 | 4 175 |

a) Bruk opplysningene ovenfor til å vise at funksjonen $O$ gitt ved

$O(x) = -0{,}09x^2 + 51{,}04x - 2\ 776{,}98$

er en god modell for hvor stort overskuddet en uke blir når kantinen produserer og selger $x$ bagetter i løpet av uken.

b) Hvor mange bagetter må kantinen produsere og selge i løpet av en uke, ifølge modellen $O$ , for at overskuddet skal bli størst mulig? Hvor stort blir dette overskuddet?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi vise at modellen passer med tallene i tabellen. I b) skal vi finne antallet bagetter som gir størst overskudd, og hvor stort det overskuddet blir.

Strategi og formel: I a) regner vi ut $O(x)$ for noen av $x$ -verdiene i tabellen og sammenligner med det observerte overskuddet, passer de godt, er modellen god. I b) er $O$ en andregradsfunksjon med negativ $x^2$ -koeffisient, så den har et toppunkt: vi finner $x = -\frac{b}{2a}$ og setter verdien inn i $O$ .

Trinnvis utregning:

a) $O(100) = -0{,}09 \cdot 100^2 + 51{,}04 \cdot 100 - 2\ 776{,}98 = -900 + 5\ 104 - 2\ 776{,}98 = 1\ 427$ , mot observert $1\ 450$
$O(160) = -0{,}09 \cdot 25\ 600 + 51{,}04 \cdot 160 - 2\ 776{,}98 = -2\ 304 + 8\ 166{,}4 - 2\ 776{,}98 = 3\ 085{,}4$ , mot observert $3\ 050$
$O(235) = -0{,}09 \cdot 55\ 225 + 51{,}04 \cdot 235 - 2\ 776{,}98 = -4\ 970{,}25 + 11\ 994{,}4 - 2\ 776{,}98 = 4\ 247{,}2$ , mot observert $4\ 175$
avvikene er små i forhold til verdiene (under 2 %), så modellen passer godt
b) $a = -0{,}09$ er negativ, så grafen har et toppunkt: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{51{,}04}{2 \cdot (-0{,}09)} = \frac{51{,}04}{0{,}18} \approx 283{,}56$
antall bagetter må være et helt tall, så vi prøver begge naboene: $O(283) \approx 4\ 459{,}33$ og $O(284) \approx 4\ 459{,}34$
$x = 284$ gir så vidt mest

Svar: a) Modellen passer godt, avvikene mellom modell og tabell er under 2 %. b) Kantinen bør produsere og selge $284$ bagetter, som gir et overskudd på omtrent $4\,459$ kroner

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)

Poeng	Krav
4/4	Regner ut O(x) for flere x-verdier fra tabellen og sammenligner eksplisitt i a); finner toppunktet riktig i b) og oppgir BÅDE antall bagetter og overskuddets størrelse, avrundet til et helt antall bagetter.
2/4	Viser at modellen passer i a) uten systematisk sammenligning, ELLER finner riktig x-verdi i b) uten å regne ut overskuddet.
0/4	Kun påstand om at modellen passer uten utregning, og feil eller manglende toppunkt.

Sensor-tips

I a) holder det å sammenligne noen få verdier. Poenget er at eleven faktisk REGNER og sammenligner, ikke at alle sju punktene er med.
Vanlig feil i b): å svare 283,56 bagetter. Antallet må være et helt tall, og en god besvarelse sier hvorfor og sjekker begge naboverdiene.
Deloppgave c) og d) i den originale eksamensoppgaven handler om stigningstall og momentan vekstfart, og hører til temaet Derivasjon. De er derfor utelatt her.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 1T matematikk, Vår 2024, Del 2, Oppgave 1