Vektorprodukt (kryssprodukt)

VEKTORPRODUKTET (eller KRYSSPRODUKTET) $\vec{u} \times \vec{v}$ er en operasjon som KUN finnes i rommet – i motsetning til skalarproduktet gir den en NY VEKTOR, ikke et tall. Denne nye vektoren står VINKELRETT på BÅDE $\vec{u}$ OG $\vec{v}$ samtidig. Lengden til kryssproduktet, $|\vec{u} \times \vec{v}|$ , er nøyaktig AREALET av parallellogrammet vektorene spenner ut – dette gjør kryssproduktet til et kraftig verktøy for å beregne arealer (og volumer) i rommet.

Vektorprodukt

$\vec{u} \times \vec{v} = (u_2v_3 - u_3v_2,\ u_3v_1 - u_1v_3,\ u_1v_2 - u_2v_1)$

Areal av parallellogrammet u og v spenner ut

$A = |\vec{u} \times \vec{v}|$

Areal av trekanten u og v spenner ut

$A = \dfrac{1}{2}|\vec{u} \times \vec{v}|$

Skalarprodukt vs. vektorprodukt
Egenskap	Skalarprodukt	Vektorprodukt
Resultat	Et tall	En vektor
Null betyr	Vinkelrette vektorer	Parallelle vektorer
Brukes til	Vinkler	Arealer, en ny vinkelrett retning
Definert i	Planet og rommet	Kun rommet

Tips

Kryssproduktet er ANTIKOMMUTATIVT: $\vec{v} \times \vec{u} = -(\vec{u} \times \vec{v})$ – bytter du rekkefølgen, snur den nye vektoren retning, men lengden (og dermed arealet) er lik.
Sjekk et utregnet kryssprodukt ved å ta skalarproduktet med hver av de opprinnelige vektorene – begge skal bli $0$ , siden kryssproduktet ER vinkelrett på begge.

Eksempel: Arealet av en trekantet seilduk

En trekantet seilduk spennes ut fra ett hjørne med kantvektorene $\vec{a} = (4, 0, 0)$ og $\vec{b} = (0, 3, 2)$ meter. Finn arealet av seilduken.

Fra kantvektorer til trekantareal
Steg	Verdi
$a \times b$	(0, −8, 12)
$\|a \times b\|$	$\sqrt{208}$ ≈ 14,42
Trekantareal	14,42 : 2 ≈ 7,21 m²

Løsning:

Vi regner ut kryssproduktet: $\vec{a} \times \vec{b} = (0 \cdot 2 - 0 \cdot 3,\ 0 \cdot 0 - 4 \cdot 2,\ 4 \cdot 3 - 0 \cdot 0) = (0,\ -8,\ 12)$
lengden av denne vektoren: $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{0^2 + (-8)^2 + 12^2} = \sqrt{64 + 144} = \sqrt{208} \approx 14{,}42$
dette er arealet av PARALLELLOGRAMMET, men seilduken er en TREKANT, altså halvparten: $14{,}42 : 2$ . Seilduken har et areal på ca. $7{,}21\ \text{m}^2$ .

Alternativ forklaring/metode: Sjekk at kryssproduktet faktisk står vinkelrett på begge

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Bekrefte vinkelrettheten med skalarprodukt

Du kan bekrefte at et utregnet kryssprodukt er riktig ved å ta skalarproduktet med hver av de to opprinnelige vektorene – begge skal gi nøyaktig $0$ . For $\vec{a} = (4,0,0)$ , $\vec{b} = (0,3,2)$ og $\vec{a} \times \vec{b} = (0,-8,12)$ : $\vec{a} \cdot (\vec{a}\times\vec{b}) = 4\cdot0 + 0\cdot(-8) + 0\cdot12 = 0$ , og $\vec{b} \cdot (\vec{a}\times\vec{b}) = 0\cdot0 + 3\cdot(-8) + 2\cdot12 = -24+24 = 0$ . Begge blir $0$ , som bekrefter at kryssproduktet faktisk står vinkelrett på begge de opprinnelige vektorene – en nyttig kontroll etter enhver kryssproduktutregning.

Kontroll: skalarprodukt med kryssproduktet
Sjekk	Resultat
$a \cdot (a \times b)$	4·0 + 0·(−8) + 0·12 = 0
$b \cdot (a \times b)$	0·0 + 3·(−8) + 2·12 = 0
Konklusjon	kryssproduktet er vinkelrett på begge

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Hva slags størrelse er resultatet av et vektorprodukt – et tall eller en vektor?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Vektorproduktet gir en ny retning, i motsetning til skalarproduktet
en vektor, ikke et tall

Vektorproduktet gir en ny retning, i motsetning til skalarproduktet
en vektor, ikke et tall

L-32Hva står den nye vektoren

\vec{u} \times \vec{v}

ALLTID vinkelrett på?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Kryssproduktet er per definisjon vinkelrett på begge
vinkelrett på både u og v

Kryssproduktet er per definisjon vinkelrett på begge
vinkelrett på både u og v

L-33Regn ut

(1,0,0) \times (0,1,0)

Vis fasit

Beregning	Resultat
Bruk formelen ledd for ledd: (0·0-0·1, 0·0-1·0, 1·1-0·0)
(0, 0, 1)

Bruk formelen ledd for ledd: (0·0-0·1, 0·0-1·0, 1·1-0·0)
(0, 0, 1)

Middels(3)

M-31Regn ut

(2, 0, 0) \times (0, 4, 0)

, og finn arealet av parallellogrammet vektorene spenner ut.

Vis fasit

Beregning	Resultat
(0·0-0·4, 0·0-2·0, 2·4-0·0)	(0, 0, 8)
lengden er 8
areal = 8

(0·0-0·4, 0·0-2·0, 2·4-0·0) = (0, 0, 8)
lengden er 8
areal = 8

M-32Regn ut

(2, 1, -1) \times (-1, 3, 2)

Vis fasit

Beregning	Resultat
(1·2-(-1)·3, (-1)·(-1)-2·2, 2·3-1·(-1))	(2+3, 1-4, 6+1)
(5, -3, 7)

(1·2-(-1)·3, (-1)·(-1)-2·2, 2·3-1·(-1)) = (2+3, 1-4, 6+1)
(5, -3, 7)

M-33Regn ut

(1, 2, 0) \times (3, 0, 0)

, og finn arealet av parallellogrammet.

Vis fasit

Beregning	Resultat
(2·0-0·0, 0·3-1·0, 1·0-2·3)	(0, 0, -6)
lengden er 6
areal = 6

(2·0-0·0, 0·3-1·0, 1·0-2·3) = (0, 0, -6)
lengden er 6
areal = 6

Vanskelig(3)

V-31Forklar hvorfor

(3, -3, 7) \times (3, -3, 7)

(en vektor krysset med seg selv) alltid blir

(0,0,0)

Vis fasit

Beregning	Resultat
Kryssproduktet av (3,-3,7) med seg selv skal stå vinkelrett på BEGGE vektorene, men her er begge like
ingen vektor (unntatt 0) står vinkelrett på seg selv, derfor blir svaret (0,0,0)

Kryssproduktet av (3,-3,7) med seg selv skal stå vinkelrett på BEGGE vektorene, men her er begge like
ingen vektor (unntatt 0) står vinkelrett på seg selv, derfor blir svaret (0,0,0)

V-32Finn arealet av trekanten utspent av

\vec{a} = (1, 0, 0)

\vec{b} = (0, 1, 0)

(bruk kryssproduktet fra en tidligere oppgave i dette temaet).

Vis fasit

Beregning	Resultat
$a \times b$	(0,0,1), lengden er 1
trekantarealet er halvparten av parallellogrammet
1 : 2 = 0,5

$a \times b$ = (0,0,1), lengden er 1
trekantarealet er halvparten av parallellogrammet
1 : 2 = 0,5

V-33Forklar hvorfor $\vec{v} \times \vec{u} = -(\vec{u} \times \vec{v})$ likevel gir SAMME areal for parallellogrammet.

Vis fasit

Beregning	Resultat
$-(u \times v)$ har samme lengde som $u \times v$ , kun motsatt retning
$\|v \times u\| = \|u \times v\|$ , så arealet blir uendret

$-(u \times v)$ har samme lengde som $u \times v$ , kun motsatt retning
$|v \times u| = |u \times v|$ , så arealet blir uendret