NumiSum

Vektorprodukt (kryssprodukt)

VEKTORPRODUKTET (eller KRYSSPRODUKTET) u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} er en operasjon som KUN finnes i rommet, i motsetning til skalarproduktet gir den en NY VEKTOR, ikke et tall. Denne nye vektoren står VINKELRETT på BÅDE u⃗\vec{u} OG v⃗\vec{v} samtidig. Lengden til kryssproduktet, ∣u⃗×v⃗∣|\vec{u} \times \vec{v}|, er nøyaktig AREALET av parallellogrammet vektorene spenner ut. Dette gjør kryssproduktet til et kraftig verktøy for å beregne arealer (og volumer) i rommet.

Vektorprodukt

u⃗×v⃗=(u2v3−u3v2, u3v1−u1v3, u1v2−u2v1)\vec{u} \times \vec{v} = (u_2v_3 - u_3v_2,\ u_3v_1 - u_1v_3,\ u_1v_2 - u_2v_1)

Areal av parallellogrammet u og v spenner ut

A=∣u⃗×v⃗∣A = |\vec{u} \times \vec{v}|

Areal av trekanten u og v spenner ut

A=12∣u⃗×v⃗∣A = \dfrac{1}{2}|\vec{u} \times \vec{v}|

Skalarprodukt vs. vektorprodukt
EgenskapSkalarproduktVektorprodukt
ResultatEt tallEn vektor
Null betyrVinkelrette vektorerParallelle vektorer
Brukes tilVinklerArealer, en ny vinkelrett retning
Definert iPlanet og rommetKun rommet
xyzabn
a = (4, 0, 0), b = (0, 3, 2) og kryssproduktet n = (0, −8, 12), som står vinkelrett på begge

Tips

  • Kryssproduktet er ANTIKOMMUTATIVT: v⃗×u⃗=−(u⃗×v⃗)\vec{v} \times \vec{u} = -(\vec{u} \times \vec{v}), bytter du rekkefølgen, snur den nye vektoren retning, men lengden (og dermed arealet) er lik.
  • Sjekk et utregnet kryssprodukt ved å ta skalarproduktet med hver av de opprinnelige vektorene. Begge skal bli 00, siden kryssproduktet ER vinkelrett på begge.
  • Sjekk at kryssproduktet faktisk står vinkelrett på begge. Du kan bekrefte at et utregnet kryssprodukt er riktig ved å ta skalarproduktet med hver av de to opprinnelige vektorene. Begge skal gi nøyaktig 00. For a⃗=(4,0,0)\vec{a} = (4,0,0), b⃗=(0,3,2)\vec{b} = (0,3,2) og a⃗×b⃗=(0,−8,12)\vec{a} \times \vec{b} = (0,-8{,}12): a⃗⋅(a⃗×b⃗)=4⋅0+0⋅(−8)+0⋅12=0\vec{a} \cdot (\vec{a}\times\vec{b}) = 4\cdot0 + 0\cdot(-8) + 0\cdot12 = 0, og b⃗⋅(a⃗×b⃗)=0⋅0+3⋅(−8)+2⋅12=−24+24=0\vec{b} \cdot (\vec{a}\times\vec{b}) = 0\cdot0 + 3\cdot(-8) + 2\cdot12 = -24+24 = 0. Begge blir 00, som bekrefter at kryssproduktet faktisk står vinkelrett på begge de opprinnelige vektorene: en nyttig kontroll etter enhver kryssproduktutregning.

Eksempel: Arealet av en trekantet seilduk

En trekantet seilduk spennes ut fra ett hjørne med kantvektorene a⃗=(4,0,0)\vec{a} = (4, 0, 0) og b⃗=(0,3,2)\vec{b} = (0, 3, 2) meter. Finn arealet av seilduken.

Løsning:
  1. Vi regner ut kryssproduktet: a⃗×b⃗=(0⋅2−0⋅3, 0⋅0−4⋅2, 4⋅3−0⋅0)=(0, −8, 12)\vec{a} \times \vec{b} = (0 \cdot 2 - 0 \cdot 3,\ 0 \cdot 0 - 4 \cdot 2,\ 4 \cdot 3 - 0 \cdot 0) = (0,\ -8,\ 12)
  2. lengden av denne vektoren: ∣a⃗×b⃗∣=02+(−8)2+122=64+144=208≈14,42|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{0^2 + (-8)^2 + 12^2} = \sqrt{64 + 144} = \sqrt{208} \approx 14{,}42
  3. dette er arealet av PARALLELLOGRAMMET, men seilduken er en TREKANT, altså halvparten: 14,42:214{,}42 : 2. Seilduken har et areal på ca. 7,21 m27{,}21\ \text{m}^2.
Fra kantvektorer til trekantareal
StegVerdi
a×ba \times b(0, −8, 12)
∣a×b∣|a \times b|208\sqrt{208} ≈ 14,42
Trekantareal14,42 : 2 ≈ 7,21 m²

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Hva slags størrelse er resultatet av et vektorprodukt: et tall eller en vektor?

Vis fasit
  1. Vektorproduktet gir en ny retning, i motsetning til skalarproduktet
  2. en vektor, ikke et tall

L-32Hva står den nye vektoren u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} ALLTID vinkelrett på?

Vis fasit
  1. Kryssproduktet er per definisjon vinkelrett på begge
  2. vinkelrett på både u og v

L-33Regn ut (1,0,0)×(0,1,0)(1,0,0) \times (0,1,0). Svar på formen (x, y, z).

Vis fasit
  1. Bruk formelen ledd for ledd: (0·0-0·1, 0·0-1·0, 1·1-0·0)
  2. (0, 0, 1)
Middels(3)

M-31Regn ut (2,0,0)×(0,4,0)(2, 0, 0) \times (0, 4, 0), og finn arealet av parallellogrammet vektorene spenner ut.

Vis fasit
  1. (0·0-0·4, 0·0-2·0, 2·4-0·0) = (0, 0, 8)
  2. lengden er 8
  3. areal = 8

M-32Regn ut (2,1,−1)×(−1,3,2)(2, 1, -1) \times (-1, 3, 2). Svar på formen (x, y, z).

Vis fasit
  1. (1·2-(-1)·3, (-1)·(-1)-2·2, 2·3-1·(-1)) = (2+3, 1-4, 6+1)
  2. (5, -3, 7)

M-33Regn ut (1,2,0)×(3,0,0)(1, 2, 0) \times (3, 0, 0), og finn arealet av parallellogrammet.

Vis fasit
  1. (2·0-0·0, 0·3-1·0, 1·0-2·3) = (0, 0, -6)
  2. lengden er 6
  3. areal = 6
Vanskelig(3)

V-31Forklar hvorfor (3,−3,7)×(3,−3,7)(3, -3, 7) \times (3, -3, 7) (en vektor krysset med seg selv) alltid blir (0,0,0)(0,0,0).

Vis fasit
  1. Kryssproduktet av (3,-3,7) med seg selv skal stå vinkelrett på BEGGE vektorene, men her er begge like
  2. ingen vektor (unntatt 0) står vinkelrett på seg selv, derfor blir svaret (0,0,0)

V-32Finn arealet av trekanten utspent av a⃗=(1,0,0)\vec{a} = (1, 0, 0) og b⃗=(0,1,0)\vec{b} = (0, 1, 0) (bruk kryssproduktet).

Vis fasit
  1. a×ba \times b = (0,0,1), lengden er 1
  2. trekantarealet er halvparten av parallellogrammet
  3. 1 : 2 = 0,5

V-33Forklar hvorfor v⃗×u⃗=−(u⃗×v⃗)\vec{v} \times \vec{u} = -(\vec{u} \times \vec{v}) likevel gir SAMME areal for parallellogrammet.

Vis fasit
  1. −(u×v)-(u \times v) har samme lengde som u×vu \times v, kun motsatt retning
  2. ∣v×u∣=∣u×v∣|v \times u| = |u \times v|, så arealet blir uendret