Skalarprodukt og vinkler i rommet

Skalarproduktet utvider seg til rommet på samme måte: for $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$ og $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$ er $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$ : fortsatt et TALL, ikke en vektor. Er skalarproduktet $0$ , står vektorene VINKELRETT på hverandre, akkurat som i planet. Og vinkelformelen $\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$ fungerer identisk, uansett om vektorene har to eller tre komponenter.

Skalarprodukt i rommet

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

Vinkelen mellom to vektorer i rommet

$\cos(\theta) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

Skalarprodukt i rommet
I planet	I rommet
u·v = u₁v₁+u₂v₂	u·v = u₁v₁+u₂v₂+u₃v₃
u·v = 0 ⟹ vinkelrett	u·v = 0 ⟹ vinkelrett, samme regel

a = (1, 2, −2) og b = (2, 2, 3): skalarproduktet er 0, så bjelkene står vinkelrett

Tips

Regn ut skalarproduktet FØRST, uansett om du skal sjekke vinkelrett eller finne en eksakt vinkel. Begge starter med samme utregning.
Er skalarproduktet $0$ trenger du IKKE vinkelformelen i det hele tatt. Da vet du allerede at $\theta = 90°$ .
Er skalarproduktet IKKE $0$ , bruk vinkelformelen direkte. For $\vec{u} = (1,1,1)$ og $\vec{v} = (1,0,0)$ : skalarproduktet er $1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 1$ , lengdene er $|\vec{u}| = \sqrt{3}$ og $|\vec{v}| = 1$ → $\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577$ → $\theta \approx 54{,}7°$ .

Eksempel: Sjekke om to bærebjelker står vinkelrett i et takverk

To bærebjelker i et takverk peker langs retningsvektorene $\vec{a} = (1, 2, -2)$ og $\vec{b} = (2, 2, 3)$ . Står bjelkene vinkelrett på hverandre?

Løsning:

Vi regner ut skalarproduktet: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + (-2) \cdot 3 = 2 + 4 - 6 = 0$
siden skalarproduktet er NØYAKTIG $0$ , står de to bjelkene VINKELRETT på hverandre. Bjelkene møtes vinkelrett (90°).

Beregning av skalarproduktet
Ledd	Verdi
u₁v₁	1 · 2 = 2
u₂v₂	2 · 2 = 4
u₃v₃	−2 · 3 = −6
Sum	2 + 4 − 6 = 0, altså vinkelrett

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva er formelen for skalarproduktet i rommet, av $\vec{u} = (u_1,u_2,u_3)$ og $\vec{v} = (v_1,v_2,v_3)$ ?

Vis fasit

For komponentpar 1, 2 og 3 i rommet ganges tilsvarende par sammen og summeres
u·v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃

L-22Regn ut skalarproduktet av $(1, 0, 0)$ og $(0, 1, 0)$ .

Vis fasit

1·0 + 0·1 + 0·0 = 0+0+0 = 0

L-23Regn ut skalarproduktet av

(2, 1, 3)

(1, 2, -1)

Vis fasit

2·1 + 1·2 + 3·(-1) = 2+2-3 = 1

Middels(3)

M-21Er vektorene

(1, 1, 1)

(1, -2, 1)

vinkelrette? Regn ut skalarproduktet.

Vis fasit

1·1 + 1·(-2) + 1·1 = 1-2+1 = 0, altså vinkelrette

M-22To vektorer er $\vec{a} = (k, 1, 2)$ og $\vec{b} = (2, -1, 3)$ . For hvilken $k$ er de to vektorene vinkelrette?

Vis fasit

a·b = 2k - 1 + 6 = 2k + 5
satt lik 0: 2k = -5
k = − $\frac{5}{2}$

M-23Regn ut skalarproduktet av $(3, 0, 4)$ og $(2, 5, -1)$ .

Vis fasit

3·2 + 0·5 + 4·(-1) = 6+0-4 = 2

Vanskelig(3)

V-21Finn vinkelen mellom

\vec{u} = (0, 0, 1)

\vec{v} = (0, 1, 1)

, avrundet til nærmeste hele grad. (Skalarprodukt = 1,

|\vec{u}|=1

|\vec{v}|=\sqrt{2}

.) Svar i grader, avrundet til nærmeste hele grad.

Vis fasit

cos(θ) = 1/(1· $\sqrt{2}$ ) = 1/ $\sqrt{2}$ ≈ 0,707
θ = arccos(0,707)
θ ≈ 45°

V-22Tre kanter i en boks møtes i ett hjørne, langs $(1,0,0)$ , $(0,1,0)$ og $(0,0,1)$ . Vis at ALLE tre parene av kanter står vinkelrett på hverandre.

Vis fasit

(1,0,0)·(0,1,0)=0, (1,0,0)·(0,0,1)=0, (0,1,0)·(0,0,1)=0
alle tre par er vinkelrette, som forventet i et hjørne av en rett boks

V-23Forklar hvorfor vinkelformelen $\cos(\theta) = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$ fungerer likt i rommet som i planet, selv om vektorene har én komponent til.

Vis fasit

Skalarprodukt og lengde utvides begge med samme mønster (ett ledd per komponent)
selve brøken er identisk bygget opp, uansett antall komponenter