Skalarprodukt og vinkler i rommet

Skalarproduktet utvider seg til rommet på samme måte: for $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$ og $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$ er $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$ – fortsatt et TALL, ikke en vektor. Er skalarproduktet $0$ , står vektorene VINKELRETT på hverandre, akkurat som i planet. Og vinkelformelen $\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$ fungerer identisk, uansett om vektorene har to eller tre komponenter.

Skalarprodukt i rommet

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

Vinkelen mellom to vektorer i rommet

$\cos(\theta) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

Skalarprodukt i rommet
I planet	I rommet
u·v = u₁v₁+u₂v₂	u·v = u₁v₁+u₂v₂+u₃v₃
u·v = 0 ⟹ vinkelrett	u·v = 0 ⟹ vinkelrett, samme regel

Tips

Regn ut skalarproduktet FØRST, uansett om du skal sjekke vinkelrett eller finne en eksakt vinkel – begge starter med samme utregning.
Er skalarproduktet $0$ trenger du IKKE vinkelformelen i det hele tatt – da vet du allerede at $\theta = 90°$ .
Er skalarproduktet IKKE $0$ , bruk vinkelformelen direkte. For $\vec{u} = (1,1,1)$ og $\vec{v} = (1,0,0)$ : skalarproduktet er $1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 1$ , lengdene er $|\vec{u}| = \sqrt{3}$ og $|\vec{v}| = 1$ → $\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577$ → $\theta \approx 54{,}7°$ .

Eksempel: Sjekke om to bærebjelker står vinkelrett i et takverk

To bærebjelker i et takverk peker langs retningsvektorene $\vec{a} = (1, 2, -2)$ og $\vec{b} = (2, 2, 3)$ . Står bjelkene vinkelrett på hverandre?

Beregning av skalarproduktet
Ledd	Verdi
u₁v₁	1 · 2 = 2
u₂v₂	2 · 2 = 4
u₃v₃	−2 · 3 = −6
Sum	2 + 4 − 6 = 0, altså vinkelrett

Løsning:

Vi regner ut skalarproduktet: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + (-2) \cdot 3 = 2 + 4 - 6 = 0$
siden skalarproduktet er NØYAKTIG $0$ , står de to bjelkene VINKELRETT på hverandre. Bjelkene møtes vinkelrett (90°).

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva er formelen for skalarproduktet i rommet, av $\vec{u} = (u_1,u_2,u_3)$ og $\vec{v} = (v_1,v_2,v_3)$ ?

Vis fasit

Beregning	Resultat
For komponentpar 1, 2 og 3 i rommet ganges tilsvarende par sammen og summeres
u·v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃

For komponentpar 1, 2 og 3 i rommet ganges tilsvarende par sammen og summeres
u·v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃

L-22Regn ut skalarproduktet av

(1, 0, 0)

(0, 1, 0)

Vis fasit

Beregning	Resultat
1·0 + 0·1 + 0·0 = 0+0+0	0

1·0 + 0·1 + 0·0 = 0+0+0 = 0

L-23Regn ut skalarproduktet av

(2, 1, 3)

(1, 2, -1)

Vis fasit

Beregning	Resultat
2·1 + 1·2 + 3·(-1) = 2+2-3	1

2·1 + 1·2 + 3·(-1) = 2+2-3 = 1

Middels(3)

M-21Er vektorene

(1, 1, 1)

(1, -2, 1)

vinkelrette? Regn ut skalarproduktet.

Vis fasit

Beregning	Resultat
1·1 + 1·(-2) + 1·1 = 1-2+1	0, altså vinkelrette

1·1 + 1·(-2) + 1·1 = 1-2+1 = 0, altså vinkelrette

M-22To vektorer er

\vec{a} = (k, 1, 2)

\vec{b} = (2, -1, 3)

. For hvilken

k

er de to vektorene vinkelrette?

Vis fasit

Beregning	Resultat
a·b = 2k - 1 + 6	2k + 5
satt lik 0: 2k	-5
k = − $\frac{5}{2}$

a·b = 2k - 1 + 6 = 2k + 5
satt lik 0: 2k = -5
k = − $\frac{5}{2}$

M-23Regn ut skalarproduktet av $(3, 0, 4)$ og $(2, 5, -1)$ .

Vis fasit

Beregning	Resultat
3·2 + 0·5 + 4·(-1) = 6+0-4	2

3·2 + 0·5 + 4·(-1) = 6+0-4 = 2

Vanskelig(3)

V-21Finn vinkelen mellom

\vec{u} = (0, 0, 1)

\vec{v} = (0, 1, 1)

, avrundet til nærmeste hele grad. (Skalarprodukt = 1,

|\vec{u}|=1

|\vec{v}|=\sqrt{2}

Vis fasit

Beregning	Resultat
cos(θ) = 1/(1·kvadratroten av 2)	1/kvadratroten av 2 ≈ 0,707
θ	arccos(0,707)
θ ≈ 45°

cos(θ) = 1/(1·kvadratroten av 2) = 1/kvadratroten av 2 ≈ 0,707
θ = arccos(0,707)
θ ≈ 45°

V-22Tre kanter i en boks møtes i ett hjørne, langs

(1,0,0)

(0,1,0)

(0,0,1)

. Vis at ALLE tre parene av kanter står vinkelrett på hverandre.

Vis fasit

Beregning	Resultat
(1,0,0)·(0,1,0)=0, (1,0,0)·(0,0,1)=0, (0,1,0)·(0,0,1)	0
alle tre par er vinkelrette, som forventet i et hjørne av en rett boks

(1,0,0)·(0,1,0)=0, (1,0,0)·(0,0,1)=0, (0,1,0)·(0,0,1)=0
alle tre par er vinkelrette, som forventet i et hjørne av en rett boks

V-23Forklar hvorfor vinkelformelen

\cos(\theta) = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}

fungerer likt i rommet som i planet, selv om vektorene har én komponent til.

Vis fasit

Beregning	Resultat
Skalarprodukt og lengde utvides begge med samme mønster (ett ledd per komponent)
selve brøken er identisk bygget opp, uansett antall komponenter

Skalarprodukt og lengde utvides begge med samme mønster (ett ledd per komponent)
selve brøken er identisk bygget opp, uansett antall komponenter