NumiSum

Vektorer i rommet – komponenter og regneregler

En vektor i rommet har TRE komponenter, u⃗=(u1,u2,u3)\vec{u} = (u_1, u_2, u_3): én for hver akse xx, yy og zz. Addisjon, subtraksjon og skalarmultiplikasjon fungerer akkurat som i planet, bare med én komponent til: u⃗+v⃗=(u1+v1, u2+v2, u3+v3)\vec{u} + \vec{v} = (u_1+v_1,\ u_2+v_2,\ u_3+v_3). LENGDEN utvider Pytagoras' setning med ett ledd til: ∣u⃗∣=u12+u22+u32|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}: geometrisk fordi en diagonal gjennom en rett boks kan bygges opp av to påfølgende rettvinklede trekanter.

Vektoraddisjon i rommet

u⃗+v⃗=(u1+v1, u2+v2, u3+v3)\vec{u} + \vec{v} = (u_1+v_1,\ u_2+v_2,\ u_3+v_3)

Lengden til en vektor i rommet

∣u⃗∣=u12+u22+u32|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}

Fra planet til rommet
I planetI rommet
(u₁, u₂)(u₁, u₂, u₃)
u+v = (u₁+v₁, u₂+v₂)u+v = (u₁+v₁, u₂+v₂, u₃+v₃)
|u| = u12+u22\sqrt{u₁²+u₂²}|u| = u12+u22+u32\sqrt{u₁²+u₂²+u₃²}
xyzu
Dronens forflytning u = (2, 3, 6): boksen viser de tre komponentene, |u| = 7

Tips

  • Tenk på zz-komponenten som HØYDE (over eller under et referansenivå). Da blir en vektor som (3,4,12)(3, 4, 12) konkret: 33 øst, 44 nord, 1212 opp.
  • Alle regnereglene fra planet gjelder fortsatt, bare med én ekstra komponent å holde styr på. Ikke lær reglene på nytt: utvid det du allerede kan.

Eksempel: En drones forflytning i tre dimensjoner

En drone flyr fra ett punkt til et annet med forflytningsvektor u⃗=(2,3,6)\vec{u} = (2, 3, 6) meter (22 m øst, 33 m nord, 66 m oppover). Finn den totale strekningen dronen har flydd (lengden til vektoren).

Løsning:
  1. Vi bruker den utvidede Pytagoras-formelen: ∣u⃗∣=22+32+62|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2}
  2. =4+9+36=49= \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49}. Dronen har flydd 77 meter i luftlinje, selv om forflytningen skjer i tre ulike retninger samtidig.
Fra komponenter til strekning
LeddVerdi
2² + 3² + 6²4 + 9 + 36 = 49
49\sqrt{49}7 m
Alternativ forklaring/metode: Finn horisontal avstand først, kombiner så med høyden

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

To påfølgende Pytagoras-steg

I stedet for å ta kvadratroten av alle tre kvadratene på én gang, del beregningen i to kjente 2D-steg. Finn først den HORISONTALE avstanden (kun xx og yy): 22+32=13\sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13} → kombiner deretter denne med høyden z=6z=6 som en NY rettvinklet trekant: (13)2+62=13+36=49=7\sqrt{(\sqrt{13})^2 + 6^2} = \sqrt{13+36} = \sqrt{49} = 7. Samme svar som direkte, men metoden viser GEOMETRISK hvorfor 3D-lengdeformelen er to Pytagoras-steg etter hverandre, ikke en ny formel å pugge.

To Pytagoras-steg etter hverandre
StegUttrykk
Horisontal avstand22+32\sqrt{2²+3²} = 13\sqrt{13}
Kombiner med høyden13+62\sqrt{13 + 6²} = 49\sqrt{49}
Total lengde7 m

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Hvor mange komponenter har en vektor i rommet?

Vis fasit
  1. En vektor i rommet har én komponent per akse: x, y og z
  2. tre komponenter

L-12Regn ut (1,2,3)+(4,−1,2)(1, 2, 3) + (4, -1, 2). Svar på formen (x, y, z).

Vis fasit
  1. Legg sammen komponentvis: 1+4=5, 2+(-1)=1, 3+2=5
  2. (5, 1, 5)

L-13Regn ut 2⋅(1,−3,2)2 \cdot (1, -3, 2). Svar på formen (x, y, z).

Vis fasit
  1. Gang alle tre komponenter med 2: 2·1=2, 2·(-3)=-6, 2·2=4
  2. (2, -6, 4)
Middels(3)

M-11Finn lengden til (1,2,2)(1, 2, 2).

Vis fasit

12+22+22\sqrt{1²+2²+2²} = 1+4+4\sqrt{1+4+4} = 9\sqrt{9} = 3

M-12Finn lengden til (2,6,9)(2, 6, 9).

Vis fasit

22+62+92\sqrt{2²+6²+9²} = 4+36+81\sqrt{4+36+81} = 121\sqrt{121} = 11

M-13Regn ut (3,−1,4)−(1,2,−2)(3, -1, 4) - (1, 2, -2). Svar på formen (x, y, z).

Vis fasit
  1. Trekk fra komponentvis: 3-1=2, -1-2=-3, 4-(-2)=6
  2. (2, -3, 6)
Vanskelig(3)

V-11En vektor har lengde 1313, med komponenter u1=3u_1=3 og u2=4u_2=4. Finn u3u_3 (positiv verdi).

Vis fasit
  1. 13² = 3² + 4² + u₃²
  2. 169 = 9 + 16 + u₃²
  3. u₃² = 144
  4. u₃ = 12

V-12To vektorer er (2,1,−3)(2, 1, -3) og (6,3,−9)(6, 3, -9). Vis at den andre er 33 ganger den første, og forklar hva dette betyr for lengdene.

Vis fasit
  1. 6=3·2, 3=3·1, -9=3·(-3)
  2. (6,3,-9) = 3·(2,1,-3), så lengden blir 3 ganger så stor

V-13Forklar hvorfor 3D-lengdeformelen u12+u22+u32\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2} kan tenkes på som to Pytagoras-steg etter hverandre.

Vis fasit
  1. I 3D er horisontal avstand hypotenusen i den FØRSTE trekanten (u₁ og u₂ som kateter)
  2. denne blir så ett katet i en NY trekant sammen med u₃
  3. den endelige lengden er hypotenusen i det andre steget