Eksamensoppgaver – Vektorer i rommet (R2)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2023, Del 1 – Oppgave 4

Uten hjelpemidler – 6 poeng

Et plan $\alpha$ er gitt ved likningen

$x-2y+2z+1=0$ .

Vi har gitt punktet $A(4,2,2)$ .

a) Bestem en parameterframstilling for linjen gjennom $A$ som står normalt på planet $\alpha$ .

b) Bestem avstanden fra $A$ til $\alpha$ .

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? En linje som står normalt på et plan har normalvektoren til planet som retningsvektor. Avstanden fra et punkt til et plan kan finnes med avstandsformelen, eller ved å finne skjæringspunktet mellom normallinjen og planet.

Strategi og formel: Les av normalvektoren $\vec{n}$ direkte fra likningens koeffisienter, og sett opp linjen som $A+t\vec{n}$ . Bruk deretter avstandsformelen $d=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ med $A$ s koordinater.

Trinnvis utregning:

Normalvektor til $\alpha$ : $\vec{n}=[1,-2,2]$ (koeffisientene foran $x$ , $y$ og $z$ ). a) Linjen gjennom $A(4,2,2)$ med retningsvektor $\vec{n}$ :
$\ell:\begin{cases}x=4+t\\y=2-2t\\z=2+2t\end{cases}$ b) Avstand fra $A(4,2,2)$ til $\alpha:\ x-2y+2z+1=0$ :
$d=\dfrac{|1\cdot 4-2\cdot 2+2\cdot 2+1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}=\dfrac{|4-4+4+1|}{\sqrt{1+4+4}}=\dfrac{5}{3}$ .

Svar: a) $\ell:(x,y,z)=$ $(4+t,\ 2-2t,\ 2+2t)$ . b) Avstanden er $\dfrac{5}{3}$ .

Sensorveiledning og poengkrav (maks 6 poeng)

Poeng	Krav
6/6	Leser riktig av normalvektoren $[1,-2,2]$ direkte fra likningen, setter opp en korrekt parameterframstilling gjennom $A$ i a), og bruker avstandsformelen riktig i b) til å finne $d=\frac{5}{3}$ .
3/6	Riktig normalvektor og parameterframstilling i a), men gjør et fortegns- eller innsettingsfeil i avstandsformelen i b) (typisk å glemme absoluttverditegnet, som kan gi feil fortegn på svaret).
0/6	Bruker en vilkårlig vektor i planet (ikke normalvektoren) som retningsvektor i a), noe som gir en linje som IKKE står normalt på planet, og et helt urelatert svar i b).

Sensor-tips

Normalvektoren leses DIREKTE av koeffisientene i planlikningen $ax+by+cz+d=0$ – ingen utregning trengs. En elev som prøver å 'regne seg fram' til normalvektoren via kryssprodukt av to punkter i planet har unødvendig komplisert en enkel avlesning.
Sjekk at avstanden i b) er positiv (absoluttverdien er tatt riktig) – en avstand kan aldri bli negativ, og et negativt svar avslører en fortegnsfeil i telleren.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R2 matematikk, Høst 2023, Del 1, Oppgave 4

Utdanningsdirektoratet

Vår 2026, Del 1 – Oppgave 7

Uten hjelpemidler – 7 poeng

Et plan $\alpha$ er gitt ved likningen

$2x-5y+4z=-4$

Punktene $A(1,2,1)$ , $B(2,0,-2)$ og $C(-1,2,2)$ ligger i planet.

a) Avgjør om punktet $D(3,1,-1)$ ligger i planet $\alpha$ .

b) Bruk kryssprodukt til å vise at $[2,-5,4]$ er en normalvektor til planet.

En kule tangerer planet $\alpha$ i et punkt $P$ .

Kuleflaten er gitt ved likningen

$x^2+y^2+z^2-18y+2z+k=0$

c) Vis at punktet $(0,9,-1)$ er sentrum i kulen.

d) Bestem en parameterframstilling for linjen som går gjennom sentrum i kulen og punktet $P$ .

e) Bestem konstanten $k$ i likningen for kuleflaten.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) sjekker vi om $D$ s koordinater tilfredsstiller planlikningen. I b) beregner vi $\vec{AB}\times\vec{AC}$ og sammenligner med den oppgitte vektoren. I c) fullfører vi kvadratene i kuleflatens likning for å lese av sentrum. I d) er sentrum→ $P$ -linjen langs normalvektoren til planet (siden kulen tangerer planet). I e) bruker vi at radius er avstanden fra sentrum til planet.

Strategi og formel: a) Sett $D$ s koordinater inn i venstre side av planlikningen og sjekk om resultatet blir $-4$ . b) Regn ut $\vec{AB}$ og $\vec{AC}$ , og bruk kryssproduktformelen. c) Fullfør kvadratene i $y$ - og $z$ -leddene. d) Retningsvektoren er normalvektoren $[2,-5,4]$ siden en kule som tangerer et plan har sentrum, tangeringspunkt og normalvektor på samme linje. e) Radius $^2$ = avstanden i kvadrat fra sentrum til planet (bruk avstandsformelen), og sammenlign med den generelle formen $x^2+y^2+z^2-18y+2z+k=(x)^2+(y-9)^2+(z+1)^2+(k-82)=0$ .

Trinnvis utregning:

a) $2\cdot 3-5\cdot 1+4\cdot(-1)=6-5-4=-3\neq -4$ , så $D$ ligger IKKE i planet. b) $\vec{AB}=B-A=(1,-2,-3)$ , $\vec{AC}=C-A=(-2,0,1)$ . $\vec{AB}\times\vec{AC}=\left[(-2)\cdot 1-(-3)\cdot 0,\ (-3)\cdot(-2)-1\cdot 1,\ 1\cdot 0-(-2)\cdot(-2)\right]=[-2,\ 5,\ -4]$ . Dette er $-1$ ganger $[2,-5,4]$ , altså en vektor parallell med (motsatt rettet av) $[2,-5,4]$ – begge er gyldige normalvektorer til planet. c) $x^2+(y^2-18y)+(z^2+2z)+k=0$ $x^2+(y-9)^2-81+(z+1)^2-1+k=0$ $x^2+(y-9)^2+(z+1)^2=82-k$ . Sentrum er $(0,9,-1)$ (uansett verdien av $k$ ), som skulle vises. d) Linjen gjennom sentrum $(0,9,-1)$ og $P$ har normalvektoren $[2,-5,4]$ som retningsvektor: $\ell:(x,y,z)=(0+2t,\ 9-5t,\ -1+4t)$ . e) Radius = avstand fra sentrum $(0,9,-1)$ til planet $2x-5y+4z+4=0$ : $r=\dfrac{|2\cdot 0-5\cdot 9+4\cdot(-1)+4|}{\sqrt{2^2+(-5)^2+4^2}}=\dfrac{|-45-4+4|}{\sqrt{45}}=\dfrac{45}{\sqrt{45}}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$ . $r^2=45$ . Fra c) er $r^2=82-k$ , så $45=82-k$
$k=37$ .

Svar: a) $D$ ligger ikke i planet. b) $\vec{AB}\times\vec{AC}=$ $[-2,5,-4]$ , parallell med $[2,-5,4]$ . c) Sentrum er $(0,9,-1)$ . d) $\ell:(x,y,z)=$ $(2t,\ 9-5t,\ -1+4t)$ . e) $k=$ $37$ .

Sensorveiledning og poengkrav (maks 7 poeng)

Poeng	Krav
7/7	Riktig konklusjon i a), riktig kryssprodukt-utregning i b) med forklaring av at motsatt rettet vektor også er gyldig, riktig fullføring av kvadratene i c), riktig retningsvektor i d), og riktig bruk av avstandsformel til å finne $k=37$ i e).
3/7	Riktig i a)-c), men klarer ikke koble sammen at retningsvektoren i d) er normalvektoren til planet (siden tangeringspunktet ligger langs normalen fra sentrum), og får dermed ikke satt opp e) riktig heller.
0/7	Regner kryssproduktet med feil formel/fortegn i b), og bommer på fullføring av kvadratene i c) (f.eks. glemmer å trekke fra de utfylte konstantene), som gir feil sentrum og dermed feil i resten av oppgaven.

Sensor-tips

En vektor og dens motsatt rettede vektor ( $-1$ ganger) er BEGGE gyldige normalvektorer til samme plan – sensor bør akseptere $[-2,5,-4]$ som et fullverdig svar på b), ikke kreve at fortegnet matcher den oppgitte vektoren eksakt.
Nøkkelinnsikten i d) er at en kule som TANGERER et plan har sentrum, tangeringspunkt og normalvektoren på én rett linje – dette er den samme geometriske ideen som en sirkel som tangerer en linje i planet, bare løftet til tre dimensjoner.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R2 matematikk, Vår 2026, Del 1, Oppgave 7