Vektorbegrepet og regneregler

En VEKTOR $\vec{u} = (u_1, u_2)$ i planet beskrives med to KOMPONENTER: hvor mye den peker i $x$ -retning og hvor mye i $y$ -retning. To vektorer ADDERES ved å legge sammen komponentene hver for seg: $\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1,\ u_2 + v_2)$ . SUBTRAKSJON fungerer tilsvarende. Å GANGE en vektor med et tall $k$ (SKALARMULTIPLIKASJON) skalerer begge komponentene med $k$ : $k\vec{u} = (k u_1,\ k u_2)$ . Dette endrer LENGDEN til vektoren, men (for positiv $k$ ) ikke retningen.

Vektoraddisjon

$\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1,\ u_2 + v_2)$

Skalarmultiplikasjon

$k\vec{u} = (k u_1,\ k u_2)$

Regneregler for vektorer
Operasjon	Regel
Addisjon	(u₁,u₂) + (v₁,v₂) = (u₁+v₁, u₂+v₂)
Subtraksjon	(u₁,u₂) − (v₁,v₂) = (u₁−v₁, u₂−v₂)
Skalarmultiplikasjon	k(u₁,u₂) = (k·u₁, k·u₂)

u = (3, 4), v = (−1, 2) og summen u + v = (2, 6)

Tips

En vektor har INGEN fast posisjon: $(3,4)$ som en vektor betyr «3 til høyre, 4 opp», uansett hvor du starter. Det samme tallparet som et PUNKT betyr derimot et bestemt STED.
Skalarmultiplikasjon med et NEGATIVT tall snur vektorens retning $180°$ , i tillegg til å endre lengden.

Eksempel: Orienteringsløperens totale forskyvning

En orienteringsløper beveger seg fra startpunktet med forskyvningsvektor $\vec{u} = (3, 4)$ km, og deretter videre med $\vec{v} = (-1, 2)$ km. Finn den totale forskyvningen $\vec{u} + \vec{v}$ fra start.

Løsning:

Vi legger sammen komponentene hver for seg: $x$ -komponentene: $3 + (-1) = 2$
$y$ -komponentene: $4 + 2 = 6$
den totale forskyvningen er $\vec{u} + \vec{v} = (2, 6)$ . Løperen ender $2$ km øst og $6$ km nord for startpunktet.

Komponentvis addisjon
Komponent	Regning	Resultat
x	3 + (−1)	2
y	4 + 2	6

Alternativ forklaring/metode: Se addisjonen grafisk

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Tegne vektorene «tupp-til-hale»

I stedet for å regne med komponenter, tegn $\vec{u}$ fra origo, og tegn deretter $\vec{v}$ med HALEN plassert i TUPPEN av $\vec{u}$ . Summen $\vec{u} + \vec{v}$ er da vektoren fra origo til tuppen av $\vec{v}$ (den siste pilen). Denne «tupp-til-hale»-metoden gir samme svar som komponentvis addisjon, men viser tydeligere HVORFOR addisjon av vektorer svarer til «å bevege seg først én vei, så en annen».

Tupp-til-hale mot komponentvis addisjon
Metode	Resultat
Komponentvis addisjon	(2, 6)
Tupp-til-hale (grafisk)	Samme resultat, (2, 6)

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva er de to komponentene til en vektor $\vec{u} = (u_1, u_2)$ ?

Vis fasit

En vektor (u1, u2) i planet har to tall
første komponent er x-retning, andre er y-retning

Komponentene til en vektor
Komponent	Betydning
Første (u₁)	x-retning
Andre (u₂)	y-retning

L-22Regn ut $(2, 3) + (4, -1)$ . Svar på formen (x, y).

Vis fasit

Legg sammen komponentvis: 2+4=6, 3+(-1)=2
(6, 2)

Regn ut (2,3)+(4,-1)
Komponent	Uttrykk
x	2 + 4
y	3 + (−1)
Resultat	(6, 2)

L-23Regn ut

(5, 1) - (2, 4)

. Svar på formen (x, y).

Vis fasit

Trekk fra komponentvis: 5-2=3, 1-4=-3
(3, -3)

Regn ut (5,1)-(2,4)
Komponent	Uttrykk
x	5 − 2
y	1 − 4
Resultat	(3, −3)

Middels(3)

M-21Regn ut

3 \cdot (2, -1)

. Svar på formen (x, y).

Vis fasit

Gang begge komponenter med 3: 3·2=6, 3·(-1)=-3
(6, -3)

Regn ut 3·(2,-1)
Komponent	Uttrykk
x	3 · 2
y	3 · (−1)
Resultat	(6, −3)

M-22En kraft er beskrevet med

\vec{F}_1 = (4, 2)

N, en annen med

\vec{F}_2 = (-1, 3)

N. Finn resultantkraften

\vec{F}_1 + \vec{F}_2

. Svar som vektor (x, y) i N.

Vis fasit

Legg sammen komponentvis: 4+(-1)=3, 2+3=5
(3, 5) N

Resultantkraft F₁+F₂
Komponent	Uttrykk
x	4 + (−1)
y	2 + 3
Resultat	(3, 5) N

M-23Regn ut

-2 \cdot (3, -4)

, og forklar hva det negative fortegnet gjør med retningen.

Vis fasit

Gang begge komponenter med -2: -2·3=-6, -2·(-4)=8
(-6, 8), og negativt fortegn snur retningen 180°

Regn ut -2·(3,-4)
Komponent	Uttrykk
x	−2 · 3
y	−2 · (−4)
Resultat	(−6, 8), retning snus 180°

Vanskelig(3)

V-21En vandrer går først $\vec{u} = (5, 2)$ km, deretter $\vec{v} = (-3, 4)$ km, og til slutt $\vec{w} = (1, -1)$ km. Finn den totale forskyvningen $\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}$ . Svar som vektor (x, y) i km.

Vis fasit

Legg sammen alle x-komponenter: 5-3+1=3
alle y-komponenter: 2+4-1=5
(3, 5) km

Total forskyvning u+v+w
Komponent	Uttrykk
x	5 − 3 + 1
y	2 + 4 − 1
Resultat	(3, 5) km

V-22To vektorer er

\vec{a} = (2, 3)

\vec{b} = (x, 1)

. For hvilken

x

\vec{a} + \vec{b} = (5, 4)

Vis fasit

x-komponenten: 2+x=5
x=3, og sjekk y-komponenten: 3+1=4, stemmer

Finn x når a+b=(5,4)
Steg	Uttrykk
x-komponent	2 + x = 5
Løsning	x = 3

V-23Forklar hvorfor

(3, 4)

som en VEKTOR og

(3, 4)

som et PUNKT har ulik betydning, selv om tallene er like.

Vis fasit

Punktet (3, 4) er ETT bestemt sted
vektoren (3,4) betyr «3 til høyre, 4 opp» UANSETT hvor du starter
samme tallpar, ulik geometrisk betydning

Punkt (3,4) vs. vektor (3,4)
Type	Betydning
Punkt (3,4)	Ett bestemt sted
Vektor (3,4)	Forflytning, uavhengig av startsted