NumiSum

Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2023, Del 1 – Oppgave 3

Uten hjelpemidler – 4 poeng

I trekanten ABCABC er A(−3,−1)A(-3,-1), B(2,−2)B(2,-2) og C(5,2)C(5,2).

a) Avgjør ved hjelp av vektorregning hvilken side i trekanten som er kortest.

b) Avgjør ved hjelp av vektorregning om noen av vinklene i trekanten er 90°90°.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi sammenligne lengdene til de tre sidevektorene for å finne den korteste. I b) skal vi bruke skalarprodukt til å sjekke om noen av de tre vinklene er rette – uten å tegne eller måle noe.

Strategi og formel: a) Finn vektorene AB⃗\vec{AB}, BC⃗\vec{BC} og AC⃗\vec{AC}, og sammenlign lengdene ∣AB⃗∣|\vec{AB}|, ∣BC⃗∣|\vec{BC}| og ∣AC⃗∣|\vec{AC}|. b) En vinkel i trekanten er 90°90° nøyaktig når skalarproduktet mellom de to sidevektorene som møtes i det hjørnet, er null – sjekk alle tre hjørnene.

Trinnvis utregning:

  1. a) AB⃗=B−A=(2−(−3), −2−(−1))=(5,−1)\vec{AB}=B-A=(2-(-3),\,-2-(-1))=(5,-1)
  2. ∣AB⃗∣=52+(−1)2=26≈5,10|\vec{AB}|=\sqrt{5^2+(-1)^2}=\sqrt{26}\approx 5{,}10. BC⃗=C−B=(5−2, 2−(−2))=(3,4)\vec{BC}=C-B=(5-2,\,2-(-2))=(3,4)
  3. ∣BC⃗∣=32+42=25=5|\vec{BC}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5. AC⃗=C−A=(5−(−3), 2−(−1))=(8,3)\vec{AC}=C-A=(5-(-3),\,2-(-1))=(8,3)
  4. ∣AC⃗∣=82+32=73≈8,54|\vec{AC}|=\sqrt{8^2+3^2}=\sqrt{73}\approx 8{,}54. Korteste side: BCBC, med lengde 55. b) I hjørne AA: vektorene ut fra AA er AB⃗=(5,−1)\vec{AB}=(5,-1) og AC⃗=(8,3)\vec{AC}=(8,3)
  5. AB⃗⋅AC⃗=5⋅8+(−1)⋅3=40−3=37≠0\vec{AB}\cdot\vec{AC}=5\cdot 8+(-1)\cdot 3=40-3=37\neq 0. I hjørne BB: vektorene ut fra BB er BA⃗=(−5,1)\vec{BA}=(-5,1) og BC⃗=(3,4)\vec{BC}=(3,4)
  6. BA⃗⋅BC⃗=−15+4=−11≠0\vec{BA}\cdot\vec{BC}=-15+4=-11\neq 0. I hjørne CC: vektorene ut fra CC er CA⃗=(−8,−3)\vec{CA}=(-8,-3) og CB⃗=(−3,−4)\vec{CB}=(-3,-4)
  7. CA⃗⋅CB⃗=24+12=36≠0\vec{CA}\cdot\vec{CB}=24+12=36\neq 0. Ingen av skalarproduktene er null
  8. ingen av vinklene er rette.

Svar: a) Korteste side er BCBC (lengde 55). b) Ingen av vinklene i trekanten er 90°90° (alle tre skalarprodukt er ulik null: 3737, −11-11 og 3636).

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)
PoengKrav
4/4Finner riktige sidevektorer og riktige lengder i a) (identifiserer BCBC som korteste), og sjekker riktig alle tre skalarprodukt i b) med korrekt konklusjon om at ingen vinkel er 90°90°.
2/4Riktig i a), men sjekker i b) kun ÉN eller TO av de tre vinklene i stedet for alle tre, og trekker en forhastet konklusjon.
0/4Bruker feil formel for vektor mellom to punkter (f.eks. A−BA-B i stedet for B−AB-A konsekvent, som gir feil fortegn gjennomgående), eller forveksler lengde og skalarprodukt.

Sensor-tips

  • Den vanligste feilen i b) er å bare sjekke ÉN vinkel (typisk den ved det ser mest rettvinklet ut på en skisse) og konkludere generelt – alle tre hjørner må sjekkes for å kunne si «ingen av vinklene».
  • Sjekk at eleven er konsekvent med vektor-retningen i hvert hjørne (vektorene skal gå UT FRA hjørnet som sjekkes, ikke en blanding).

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R1 matematikk, Høst 2023, Del 1, Oppgave 3

Utdanningsdirektoratet

Vår 2026, Del 1 – Oppgave 7

Uten hjelpemidler – 4 poeng

Gitt punktene A(1,−3)A(1,-3), B(4,1)B(4,1) og C(−2,a)C(-2,a), der a∈Ra\in\mathbb{R}.

a) Bestem aa slik at vinkel BACBAC blir 90°90°.

b) Bestem aa slik at ∣AB⃗∣=∣AC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{AC}|.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi finne den aa-verdien som gjør at de to vektorene fra AA (til BB og til CC) står vinkelrett på hverandre. I b) skal vi finne den (eller de) aa-verdi(er) som gjør at AA ligger like langt fra BB som fra CC.

Strategi og formel: a) Sett opp AB⃗\vec{AB} og AC⃗\vec{AC} (sistnevnte inneholder aa), og krev at skalarproduktet er null. b) Sett opp likningen ∣AB⃗∣2=∣AC⃗∣2|\vec{AB}|^2=|\vec{AC}|^2 (kvadrert lengde unngår kvadratrøtter i utregningen) og løs for aa – vær oppmerksom på at en andregradslikning kan gi TO løsninger.

Trinnvis utregning:

  1. AB⃗=B−A=(4−1, 1−(−3))=(3,4)\vec{AB}=B-A=(4-1,\,1-(-3))=(3,4). AC⃗=C−A=(−2−1, a−(−3))=(−3,a+3)\vec{AC}=C-A=(-2-1,\,a-(-3))=(-3,a+3). a) AB⃗⋅AC⃗=0\vec{AB}\cdot\vec{AC}=0
  2. 3⋅(−3)+4⋅(a+3)=03\cdot(-3)+4\cdot(a+3)=0
  3. −9+4a+12=0-9+4a+12=0
  4. 4a+3=04a+3=0
  5. a=−34a=-\dfrac{3}{4}. b) ∣AB⃗∣2=32+42=25|\vec{AB}|^2=3^2+4^2=25. ∣AC⃗∣2=(−3)2+(a+3)2=9+(a+3)2|\vec{AC}|^2=(-3)^2+(a+3)^2=9+(a+3)^2. 25=9+(a+3)225=9+(a+3)^2
  6. (a+3)2=16(a+3)^2=16
  7. a+3=±4a+3=\pm 4
  8. a=1a=1 eller a=−7a=-7.

Svar: a) a=a=−34-\frac{3}{4}. b) a=a=11 eller a=a=−7-7.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)
PoengKrav
4/4Setter opp riktige vektorer AB⃗\vec{AB} og AC⃗\vec{AC}, løser riktig a=−34a=-\frac{3}{4} i a) via skalarprodukt lik null, og finner BEGGE løsningene a=1a=1 og a=−7a=-7 i b) via kvadrerte lengder.
2/4Riktig i a), men finner i b) kun ÉN av de to løsningene (typisk mister den negative løsningen a=−7a=-7 ved å glemme ±\pm ved kvadratroten).
0/4Setter opp AC⃗\vec{AC} feil (f.eks. A−CA-C i stedet for C−AC-A, som gir feil fortegn på aa-leddet), og får dermed feil i begge deloppgaver.

Sensor-tips

  • Den klassiske fellen i b) er å glemme at (a+3)2=16(a+3)^2=16 har TO løsninger (a+3=4a+3=4 og a+3=−4a+3=-4) – godta ikke et svar med bare én verdi uten videre begrunnelse for hvorfor den andre er forkastet.
  • Bruk av KVADRERT lengde (unngå å trekke ut kvadratrot for tidlig) er en ryddigere strategi enn å jobbe med …=…\sqrt{\ldots}=\sqrt{\ldots} direkte – begge gir riktig svar, men den kvadrerte veien har færre feilkilder.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R1 matematikk, Vår 2026, Del 1, Oppgave 7