Skalarprodukt

SKALARPRODUKTET (også kalt prikkprodukt) av to vektorer $\vec{u} = (u_1, u_2)$ og $\vec{v} = (v_1, v_2)$ er TALLET $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2$ , i motsetning til addisjon og skalarmultiplikasjon, som gir en NY VEKTOR, gir skalarproduktet et vanlig TALL. Dette tallet forteller noe viktig: er $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ , står de to vektorene VINKELRETT på hverandre (ORTOGONALE). Skalarproduktet brukes også til å finne VINKELEN mellom to vektorer.

Skalarprodukt

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2$

Vinkelen mellom to vektorer

$\cos(\theta) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

Hva skalarproduktet forteller
Skalarprodukt	Betyr
u·v = 0	Vektorene er vinkelrette (ortogonale)
u·v > 0	Vinkelen mellom dem er spiss (< 90°)
u·v < 0	Vinkelen mellom dem er stump (> 90°)

a = (2, 3) og b = (−3, 2): skalarproduktet er 0, så vektorene står vinkelrett

Tips

Skalarproduktet er et TALL, ikke en vektor. Det gir ingen mening å spørre om «retningen» til et skalarprodukt.
Sjekk om to vektorer er vinkelrette ved å regne ut skalarproduktet: er det $0$ , er vinkelen nøyaktig $90°$ .
Er skalarproduktet IKKE $0$ , kan du finne den EKSAKTE vinkelen med vinkelformelen. For $\vec{u} = (3{,}4)$ og $\vec{v} = (-1{,}2)$ : skalarproduktet er $3 \cdot (-1) + 4 \cdot 2 = -3+8=5$ , lengdene er $|\vec{u}|=5$ og $|\vec{v}|=\sqrt{5}$ → $\cos(\theta) = \frac{5}{5\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0{,}447$ → $\theta \approx 63{,}4°$ .

Eksempel: Sjekke om to kraftretninger er vinkelrette

To krefter virker med retningsvektorene $\vec{a} = (2, 3)$ og $\vec{b} = (-3, 2)$ . Er de to kreftene vinkelrette på hverandre?

Løsning:

Vi regner ut skalarproduktet: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-3) + 3 \cdot 2 = -6 + 6 = 0$
siden skalarproduktet er NØYAKTIG $0$ , står de to vektorene VINKELRETT på hverandre. De to kreftene virker vinkelrett (90°) på hverandre.

Beregning av skalarproduktet
Ledd	Verdi
u₁v₁	2 · (−3) = −6
u₂v₂	3 · 2 = 6
Sum (skalarprodukt)	0, altså vinkelrett

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-41Hva er formelen for skalarproduktet av $\vec{u} = (u_1, u_2)$ og $\vec{v} = (v_1, v_2)$ ?

Vis fasit

For komponentene u1,v1 og u2,v2 ganger skalarproduktet sammen tilsvarende par
u·v = u₁v₁ + u₂v₂

Formelen for skalarproduktet
Vektorer	Formel
u, v	u·v = u₁v₁ + u₂v₂

L-42Regn ut skalarproduktet av $(1, 0)$ og $(0, 1)$ .

Vis fasit

1·0 + 0·1 = 0+0 = 0

Skalarprodukt av (1,0) og (0,1)
Ledd	Verdi
1·0	0
0·1	0
Sum	0

L-43Hva betyr det når skalarproduktet av to vektorer er

0

Vis fasit

Et skalarprodukt lik 0 er selve testen for vinkelrette vektorer
u·v = 0 betyr vinkelrett

Betydningen av skalarprodukt = 0
Verdi	Betydning
u·v = 0	Vektorene er vinkelrette (ortogonale)

Middels(3)

M-41Regn ut skalarproduktet av $(2, 2)$ og $(3, -3)$ , og avgjør om vektorene er vinkelrette.

Vis fasit

2·3 + 2·(-3) = 6-6 = 0
0, vektorene er vinkelrette

Skalarprodukt av (2,2) og (3,-3)
Ledd	Verdi
2·3	6
2·(−3)	−6
Sum	0, vinkelrette

M-42Regn ut skalarproduktet av $(4, 1)$ og $(2, 3)$ .

Vis fasit

4·2 + 1·3 = 8+3 = 11

Skalarprodukt av (4,1) og (2,3)
Ledd	Verdi
4·2	8
1·3	3
Sum	11

M-43Skalarproduktet av

(4, 1)

(2, 3)

11

. Er skalarproduktet positivt eller negativt, og hva forteller det om vinkelen mellom vektorene?

Vis fasit

Skalarproduktet 11 er positivt
et positivt skalarprodukt betyr en spiss vinkel (under 90°)

Fortegn og vinkeltype
Skalarprodukt	Vinkel
11 (positivt)	Spiss (< 90°)

Vanskelig(3)

V-41To vektorer er $\vec{a} = (k, 4)$ og $\vec{b} = (3, -6)$ . For hvilken $k$ er de to vektorene vinkelrette?

Vis fasit

a·b = 3k + 4·(-6) = 3k - 24
satt lik 0: 3k = 24
k = 8

Finn k for vinkelrette vektorer
Steg	Uttrykk
a·b	3k + 4·(−6)
Satt lik 0	3k − 24 = 0
Løsning	k = 8

V-42Finn vinkelen mellom

\vec{u} = (3{,}4)

\vec{v} = (-1{,}2)

, avrundet til nærmeste hele grad. (Skalarprodukt = 5, |u|=5, |v|=

\sqrt{5}

.) Svar i grader, avrundet til nærmeste hele grad.

Vis fasit

cos(θ) = 5/(5· $\sqrt{5}$ ) = 1/ $\sqrt{5}$ ≈ 0,447
θ = arccos(0,447)
θ ≈ 63°

Vinkelen mellom u og v
Steg	Verdi
cos(θ)	$\frac{5}{5\sqrt{5}}$
Forenklet	$\frac{1}{\sqrt{5}}$ ≈ 0,447
θ	≈63°

V-43Forklar hvorfor skalarproduktet er et TALL og ikke en vektor, i motsetning til vektoraddisjon som gir en ny vektor.

Vis fasit

u₁v₁ + u₂v₂ er en SUM av to tall
resultatet er ETT tall
skalarproduktet gir en skalar (et tall), ikke en ny vektor med retning

Hvorfor skalarproduktet er et tall
Operasjon	Resultat
u₁v₁ + u₂v₂	En sum av to tall
Skalarprodukt	Ett tall (en skalar), ikke en vektor