NumiSum

Skalarprodukt

SKALARPRODUKTET (også kalt prikkprodukt) av to vektorer u⃗=(u1,u2)\vec{u} = (u_1, u_2) og v⃗=(v1,v2)\vec{v} = (v_1, v_2) er TALLET u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 – i motsetning til addisjon og skalarmultiplikasjon, som gir en NY VEKTOR, gir skalarproduktet et vanlig TALL. Dette tallet forteller noe viktig: er u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0, står de to vektorene VINKELRETT på hverandre (ORTOGONALE). Skalarproduktet brukes også til å finne VINKELEN mellom to vektorer.

Skalarprodukt

u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2

Vinkelen mellom to vektorer

cos⁡(θ)=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣⋅∣v⃗∣\cos(\theta) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}

Hva skalarproduktet forteller
SkalarproduktBetyr
u·v = 0Vektorene er vinkelrette (ortogonale)
u·v > 0Vinkelen mellom dem er spiss (< 90°)
u·v < 0Vinkelen mellom dem er stump (> 90°)

Tips

  • Skalarproduktet er et TALL, ikke en vektor – det gir ingen mening å spørre om «retningen» til et skalarprodukt.
  • Sjekk om to vektorer er vinkelrette ved å regne ut skalarproduktet: er det 00, er vinkelen nøyaktig 90°90°.
  • Er skalarproduktet IKKE 00, kan du finne den EKSAKTE vinkelen med vinkelformelen. For u⃗=(3,4)\vec{u} = (3,4) og v⃗=(−1,2)\vec{v} = (-1,2): skalarproduktet er 3⋅(−1)+4⋅2=−3+8=53 \cdot (-1) + 4 \cdot 2 = -3+8=5, lengdene er ∣u⃗∣=5|\vec{u}|=5 og ∣v⃗∣=5|\vec{v}|=\sqrt{5} → cos⁡(θ)=555=15≈0,447\cos(\theta) = \frac{5}{5\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0{,}447 → θ≈63,4°\theta \approx 63{,}4°.

Eksempel: Sjekke om to kraftretninger er vinkelrette

To krefter virker med retningsvektorene a⃗=(2,3)\vec{a} = (2, 3) og b⃗=(−3,2)\vec{b} = (-3, 2). Er de to kreftene vinkelrette på hverandre?

Beregning av skalarproduktet
LeddVerdi
u₁v₁2 · (−3) = −6
u₂v₂3 · 2 = 6
Sum (skalarprodukt)0, altså vinkelrett
Løsning:
  1. Vi regner ut skalarproduktet: a⃗⋅b⃗=2⋅(−3)+3⋅2=−6+6=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-3) + 3 \cdot 2 = -6 + 6 = 0
  2. siden skalarproduktet er NØYAKTIG 00, står de to vektorene VINKELRETT på hverandre. De to kreftene virker vinkelrett (90°) på hverandre.

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Hva er formelen for skalarproduktet av u⃗=(u1,u2)\vec{u} = (u_1, u_2) og v⃗=(v1,v2)\vec{v} = (v_1, v_2)?

Vis fasit
Formelen for skalarproduktet
VektorerFormel
u, vu·v = u₁v₁ + u₂v₂
  1. For komponentene u1,v1 og u2,v2 ganger skalarproduktet sammen tilsvarende par
  2. u·v = u₁v₁ + u₂v₂

L-32Regn ut skalarproduktet av (1,0)(1, 0) og (0,1)(0, 1).

Vis fasit
Skalarprodukt av (1,0) og (0,1)
LeddVerdi
1·00
0·10
Sum0

1·0 + 0·1 = 0+0 = 0

L-33Hva betyr det når skalarproduktet av to vektorer er 00?

Vis fasit
Betydningen av skalarprodukt = 0
VerdiBetydning
u·v = 0Vektorene er vinkelrette (ortogonale)
  1. Et skalarprodukt lik 0 er selve testen for vinkelrette vektorer
  2. u·v = 0 betyr vinkelrett
Middels(3)

M-31Regn ut skalarproduktet av (2,2)(2, 2) og (3,−3)(3, -3), og avgjør om vektorene er vinkelrette.

Vis fasit
Skalarprodukt av (2,2) og (3,-3)
LeddVerdi
2·36
2·(−3)−6
Sum0, vinkelrette
  1. 2·3 + 2·(-3) = 6-6 = 0
  2. 0, vektorene er vinkelrette

M-32Regn ut skalarproduktet av (4,1)(4, 1) og (2,3)(2, 3).

Vis fasit
Skalarprodukt av (4,1) og (2,3)
LeddVerdi
4·28
1·33
Sum11

4·2 + 1·3 = 8+3 = 11

M-33Er skalarproduktet i forrige oppgave positivt eller negativt, og hva forteller det om vinkelen mellom vektorene?

Vis fasit
Fortegn og vinkeltype
SkalarproduktVinkel
11 (positivt)Spiss (< 90°)
  1. Skalarproduktet 11 er positivt
  2. et positivt skalarprodukt betyr en spiss vinkel (under 90°)
Vanskelig(3)

V-31To vektorer er a⃗=(k,4)\vec{a} = (k, 4) og b⃗=(3,−6)\vec{b} = (3, -6). For hvilken kk er de to vektorene vinkelrette?

Vis fasit
Finn k for vinkelrette vektorer
StegUttrykk
a·b3k + 4·(−6)
Satt lik 03k − 24 = 0
Løsningk = 8
  1. a·b = 3k + 4·(-6) = 3k - 24
  2. satt lik 0: 3k = 24
  3. k = 8

V-32Finn vinkelen mellom u⃗=(3,4)\vec{u} = (3,4) og v⃗=(−1,2)\vec{v} = (-1,2), avrundet til nærmeste hele grad. (Skalarprodukt = 5, |u|=5, |v|=5\sqrt{5}.)

Vis fasit
Vinkelen mellom u og v
StegVerdi
cos(θ)555\frac{5}{5\sqrt{5}}
Forenklet15\frac{1}{\sqrt{5}} ≈ 0,447
θ≈63°
  1. cos(θ) = 5/(5·kvadratroten av 5) = 1/kvadratroten av 5 ≈ 0,447
  2. θ = arccos(0,447)
  3. θ ≈ 63°

V-33Forklar hvorfor skalarproduktet er et TALL og ikke en vektor, i motsetning til vektoraddisjon som gir en ny vektor.

Vis fasit
Hvorfor skalarproduktet er et tall
OperasjonResultat
u₁v₁ + u₂v₂En sum av to tall
SkalarproduktEtt tall (en skalar), ikke en vektor
  1. u₁v₁ + u₂v₂ er en SUM av to tall
  2. resultatet er ETT tall
  3. skalarproduktet gir en skalar (et tall), ikke en ny vektor med retning