Lengden til en vektor

Lengden (eller BELØPET) til en vektor $\vec{u} = (u_1, u_2)$ skrives $|\vec{u}|$ , og regnes ut med Pytagoras' setning: $|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}$ : komponentene er katetene i en rettvinklet trekant, og selve vektoren er hypotenusen. Lengden forteller hvor STOR en forflytning, kraft eller hastighet er, uavhengig av retningen.

$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}$

Lengden som Pytagoras
Vektor	Lengde
(6, 8)	$\sqrt{6²+8²}$ = $\sqrt{100}$ = 10
(5, 12)	$\sqrt{5²+12²}$ = $\sqrt{169}$ = 13
(-3, 4)	$\sqrt{(-3)²+4²}$ = $\sqrt{25}$ = 5

v = (6, 8): komponentene 6 og 8 er katetene, lengden |v| = 10 er hypotenusen

Tips

Fortegnet på en komponent har INGEN betydning for lengden, siden begge komponentene kvadreres: $(-3, 4)$ og $(3, 4)$ har samme lengde, $5$ .
Gjenkjenn Pytagoras-tripler ( $3$ - $4$ - $5$ , $5$ - $12$ - $13$ , $6$ - $8$ - $10$ ). De dukker ofte opp i oppgaver og gir hele tall som svar.

Eksempel: Finne farten til en robotbåt fra hastighetsvektoren

En robotbåt har hastighetsvektor $\vec{v} = (6, 8)$ m/min (6 m/min østover, 8 m/min nordover). Finn farten (lengden til vektoren).

Løsning:

Vi bruker Pytagoras: $|\vec{v}| = \sqrt{6^2 + 8^2}$
$= \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100}$
farten til robotbåten er $10$ m/min, uavhengig av at den beveger seg både østover og nordover samtidig.

Fra komponenter til fart
Steg	Verdi
6² + 8²	36 + 64 = 100
$\sqrt{100}$	10 m/min

Alternativ forklaring/metode: Tegn vektoren og mål hypotenusen

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Se lengden som hypotenusen i en tegnet trekant

I stedet for å regne direkte, tegn vektoren $(6,8)$ i et koordinatsystem: gå $6$ til høyre, $8$ opp. Trekk en rett linje fra origo til dette punktet: denne linjen ER selve vektoren, og den fungerer som HYPOTENUSEN i en rettvinklet trekant med katetene $6$ og $8$ . Denne visuelle tilnærmingen gjør det tydelig HVORFOR Pytagoras' setning brukes til å finne lengden.

Regne mot å tegne og måle
Metode	Resultat
Regne med Pytagoras	10
Tegne og måle hypotenusen	Samme resultat, 10

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Skriv formelen for lengden til vektoren $\vec{u} = (u_1, u_2)$ .

Vis fasit

For komponentene u1 og u2 bruker lengden Pytagoras' setning
|u| = $\sqrt{u₁² + u₂²}$

Formelen for lengden til en vektor
Vektor	Formel
u = (u₁, u₂)	\|u\| = $\sqrt{u₁² + u₂²}$

L-32Finn lengden til $(3, 4)$ .

Vis fasit

\sqrt{3²+4²}

\sqrt{9+16}

\sqrt{25}

= 5

Finn lengden til (3,4)
Steg	Verdi
3² + 4²	9 + 16 = 25
$\sqrt{25}$	5

L-33Finn lengden til $(0, 7)$ .

Vis fasit

\sqrt{0²+7²}

\sqrt{49}

= 7

Finn lengden til (0,7)
Steg	Verdi
0² + 7²	0 + 49 = 49
$\sqrt{49}$	7

Middels(3)

M-31Finn lengden til $(5, 12)$ .

Vis fasit

\sqrt{5²+12²}

\sqrt{25+144}

\sqrt{169}

= 13

Finn lengden til (5,12)
Steg	Verdi
5² + 12²	25 + 144 = 169
$\sqrt{169}$	13

M-32Finn lengden til $(-3, 4)$ , og forklar hvorfor det negative fortegnet ikke påvirker svaret.

Vis fasit

$\sqrt{(-3)²+4²}$ = $\sqrt{9+16}$ = $\sqrt{25}$ = 5
(-3)² = 9, samme som 3², så fortegnet forsvinner ved kvadrering

Finn lengden til (-3,4)
Steg	Verdi
(−3)² + 4²	9 + 16 = 25
$\sqrt{25}$	5

M-33En kraftvektor er $(8, 6)$ N. Finn kraftens størrelse (lengden til vektoren). Svar i N.

Vis fasit

\sqrt{8²+6²}

\sqrt{64+36}

\sqrt{100}

= 10 N

Kraftens størrelse for (8,6)
Steg	Verdi
8² + 6²	64 + 36 = 100
$\sqrt{100}$	10 N

Vanskelig(3)

V-31En vektor har lengde $10$ og den ene komponenten er $6$ . Finn den andre komponenten (positiv verdi).

Vis fasit

10² = 6² + y²
100 = 36 + y²
y² = 64
y = 8

Finn andre komponent, lengde 10 og x=6
Steg	Uttrykk
10² = 6² + y²	100 = 36 + y²
y²	64
y	8

V-32To vektorer er

(3, 4)

(6, 8)

. Vis at den andre vektoren har DOBBELT så stor lengde som den første, og forklar sammenhengen med skalarmultiplikasjon.

Vis fasit

|(3, 4)|=5, |(6, 8)|=10
(6,8) = 2·(3,4)
skalering med k multipliserer lengden med |k|

Dobbelt lengde ved (3,4) og (6,8)
Vektor	Lengde
\|(3,4)\|	5
\|(6,8)\|	10
Sammenheng	(6,8) = 2·(3,4), lengde dobles

V-33Forklar hvorfor lengden til en vektor ALDRI kan bli negativ, uansett hvilke fortegn komponentene har.

Vis fasit

u₁² og u₂² er alltid ≥ 0, uansett fortegn på u₁,u₂
summen er ≥0
kvadratroten av et ikke-negativt tall er alltid ≥ 0

Hvorfor lengden aldri kan bli negativ
Ledd	Fortegn
u₁², u₂²	Alltid ≥ 0
Kvadratroten av summen	Alltid ≥ 0